1、伽利略斜面實(shí)驗(yàn)的分析,何述平 （西北師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）,摘 要：對(duì)伽利略斜面實(shí)驗(yàn)中的小球進(jìn)行了較詳細(xì)的力學(xué)分析，指明了小球的受力、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、能量轉(zhuǎn)化，并澄清了相關(guān)的模糊認(rèn)識(shí)；同時(shí)提出了相應(yīng)的教學(xué)建議 關(guān)鍵詞：伽利略斜面實(shí)驗(yàn)；力學(xué)分析；剛體；靜摩擦；教學(xué)建議；質(zhì)點(diǎn)模型,伽利略斜面實(shí)驗(yàn)是普通物理學(xué)中的一個(gè)重要理想實(shí)驗(yàn)，由于教材體系、學(xué)生知識(shí)水平的緣故，均對(duì)其進(jìn)行定性分析，以至于小球的受力、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、能量轉(zhuǎn)化不甚清晰，有必要對(duì)其進(jìn)行定量分析而加以明確，并澄清相關(guān)的模糊認(rèn)識(shí)本文就此做些探討，同時(shí)提出相應(yīng)的教學(xué)建議,2 伽利略斜面實(shí)驗(yàn) 伽利略斜面實(shí)驗(yàn)13，6如圖1所

2、示，小球沿導(dǎo)軌斜面1，從某高度處靜止開始下滾，經(jīng)導(dǎo)軌最低處，沿導(dǎo)軌斜面2上滾至略小于原高度處而速度為零 ；然后，再下滾、上滾，如此循環(huán)；但每次上滾的高度均略小于下滾時(shí)的高度,1 引 言,對(duì)上述伽利略斜面實(shí)驗(yàn)常見的解釋13，6是：由于小球受到摩擦的緣故；且推理道：若不受摩擦，小球不僅可上滾至相同的高度，而且可沿水平面一直滾動(dòng)下去然而，小球究竟受到的是什么摩擦滑動(dòng)摩擦、靜摩擦、滾動(dòng)摩擦，還是籠統(tǒng)指三者？又見到對(duì)沿水平面無滑滾動(dòng)時(shí)，小球不受靜摩擦力的定性討論4；但沿導(dǎo)軌斜面下滾、上滾時(shí)，小球的能量轉(zhuǎn)化問題一般很少涉及同時(shí)教學(xué)實(shí)際中，也見到不少教師仍沿用以上籠統(tǒng)解釋,3 力學(xué)分析,3.1 動(dòng)力學(xué)分析,

3、小球沿斜面1下滾，小球、斜面視作剛體；小球與斜面間的最大靜摩擦因數(shù) 時(shí)，小球沿斜面做無滑滾動(dòng)6；此時(shí)小球受重力 、支持力 、靜摩擦力 ，如圖2所示；建立坐標(biāo)系oxyz系，依剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程、無滑滾動(dòng)方程58，有,（1）,（2）,（3）,（4）,其中 為小球半徑， 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,由式（1）（4），得,可見，靜摩擦力 的作用：一方面使小球質(zhì)心的平動(dòng)減速，另一方面使小球繞其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)加速,同理，小球沿斜面2無滑上滾，靜摩擦力 ，坐標(biāo)系oxyz系，如圖3所示，則有,（5）,（6）,（7）,（8）,（9）,由式（7）（9）、（4），得,（10）,（11）,易見，靜摩擦力 的作用：一方面使小球

4、質(zhì)心的平動(dòng)加速，另一方面使小球繞其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)減速,若斜面2變?yōu)樗矫妫∏蜃鰺o滑滾動(dòng)，如圖4所示；那么，此時(shí)小球受靜摩擦力 否？,為此，只需令式（11）中 的 ，得,（12）,（13）,（14）,式（12）、（13）、（14）表明：小球沿水平面做無滑滾動(dòng)時(shí)，不受靜摩擦力 的作用；小球的質(zhì)心勻速平動(dòng)（相對(duì)水平面慣性系），小球繞其質(zhì)心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)；即小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)）保持不變,3.2 能量分析,若從能量觀（即能量法）分析，可清晰地看到小球的能量轉(zhuǎn)化如圖2所示，依剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的能量方程（平動(dòng)能量方程、轉(zhuǎn)動(dòng)能量方程）、無滑滾動(dòng)方程7，有,（15）,（16）,（17）,其中 為小球滾下

5、高 時(shí)質(zhì)心的位移,由式（15）（17）、（4），得,進(jìn)而,（18）,（19）,（20）,式（19）、（20）表示了小球從靜止開始沿斜面1質(zhì)心下降高 時(shí)的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的量值綜合式（15）、（16）、（19）、（20）可知：重力 的作用是使小球質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能增大；而靜摩擦力 的作用一方面使小球質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能減小，另一面使小球繞其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增加，且減小的量值與增加的量值相等因此，靜摩擦力 不耗損機(jī)械能，僅起把平動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的作用,同理，對(duì)小球沿斜面2上滾，即圖3所示情形可知：小球沿斜面2可上滾到相同的高度；重力 的作用是使小球質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能減小，靜摩擦力 的作用是使小球繞其質(zhì)心軸

6、的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)化成小球質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能,對(duì)小球沿水平面做無滑滾動(dòng)，即圖4所示情形因不受靜摩擦力 的作用，故小球的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能不再相互轉(zhuǎn)化，而各自保持不變,4 結(jié) 論,上述分析表明：正因?yàn)樾∏蚴艿届o摩擦力 、 的作用才使小球沿斜面下滾、上滾；小球只受靜摩擦力作用時(shí)，可上滾至相同的高度因此，籠統(tǒng)解釋小球不受摩擦?xí)r可上滾至相同的高度顯得不妥；籠統(tǒng)解釋僅適用于小球沿水平面滾動(dòng)的情形,然而，對(duì)上述真實(shí)的伽利略斜面實(shí)驗(yàn)，由于小球、斜面和水平面不是理想的剛體，所以小球還受到一定的滾動(dòng)摩擦力矩的作用，從而使小球不再沿斜面上滾至原來的高度或沿水平面一直滾動(dòng)下去；同時(shí)伴隨著機(jī)械能向內(nèi)能的轉(zhuǎn)化,5 教學(xué)建議,一般

7、，滾動(dòng)摩擦遠(yuǎn)小于滑動(dòng)摩擦；正因?yàn)槿绱?，通常用小球來做伽利略斜面?shí)驗(yàn)；但在一定條件下，小球可以沿導(dǎo)軌斜面做無滑滾動(dòng)，這又不得不將小球視作剛體；而剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)的內(nèi)容在基礎(chǔ)物理教材中又不涉及或普通物理教材中又未及時(shí)返回來探討，這大概就是以上籠統(tǒng)解釋的原因,由上述分析知，只有運(yùn)用剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程、能量方程才可將伽利略斜面實(shí)驗(yàn)中小球的受力、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、能量轉(zhuǎn)化清晰地明確；這與原本打算用質(zhì)點(diǎn)模型來說明慣性定律,的初衷相背離，使問題復(fù)雜化，從而很難獲得清楚的解釋因此，建議在教學(xué)中宜采用質(zhì)點(diǎn)模型的伽利略斜面實(shí)驗(yàn)；這就要求運(yùn)用現(xiàn)有的氣墊導(dǎo)軌裝置或較粗糙的小車、斜平面裝置，或有待新開發(fā)、設(shè)計(jì)的其它

8、實(shí)驗(yàn)裝置,參考文獻(xiàn)： 1 物理（高級(jí)中學(xué)課本（必修），第一冊(cè)，第2版）M北京：人民 教育出版社，19958081 2 物理（全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修），第一冊(cè)）M北京： 人民教育出版社，20034546 3 郭奕玲，沈慧君物理學(xué)史M北京：清華大學(xué)出版社199314 17，2325 4 陶洪物理實(shí)驗(yàn)論M南寧：廣西教育出版社，19964950 5 漆安慎，杜嬋英力學(xué)基礎(chǔ)M北京：高等教育出版社，1982 324326,6 趙凱華，羅蔚茵新概念物理教程力學(xué)（第二版）M北京：高 等教育出版社，20044143，181187 7 Kleppner D，Kolenkow R J力學(xué)引論M寧遠(yuǎn)源，劉愛暉

9、譯北 京：人民教育出版社，1980314327 8 周衍柏理論力學(xué)（第二版）M北京：高等教育出版社，1986 200204,Analyzing Galileos experiment on the inclined plane,HE Shu-ping (College of Physics and Electronics Engineering，Northwest Normal University， Lanzhou，730070，China),Abstract：The spherule in Galileos experiment on the inclined plane is analyzed mechanically in relative detail, its acted forces, state of motion and energy transformation are showed clearly, and relevant blurry cognitions are clarified；as a result corresponding teaching suggestion