1、高中數(shù)學(xué)巧學(xué)巧解大全目錄第一部分高中數(shù)學(xué)活題巧解方法總論第一篇數(shù)學(xué)具體解題方法代入法 直接法 定義法 參數(shù)法 交軌法 幾何法 弦中點(diǎn)軌跡求法 比較法 基本不等式法 綜合法 分析法 放縮法 反證法 換元法 構(gòu)造法 數(shù)學(xué)歸納法 配方法 判別式法 序軸標(biāo)根法 向量平行法 向量垂直法 同一法 累加法 累乘法 倒序相加法 分組法 公式法 錯位相減法 裂項(xiàng)法 迭代法 角的變換法 公式的變形及逆用法 降冪法 升冪法 “1”的代換法 引入輔助角法 三角函數(shù)線法 構(gòu)造對偶式法 構(gòu)造三角形法 估算法 待定系數(shù)法 特殊優(yōu)先法 先選后排法 捆綁法 插空法 間接法 篩選法（排除法） 數(shù)形結(jié)合法 特殊值法 回代法（驗(yàn)證法

2、） 特殊圖形法 分類法 運(yùn)算轉(zhuǎn)換法 結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換法 割補(bǔ)轉(zhuǎn)換法 導(dǎo)數(shù)法 象限分析法 補(bǔ)集法 距離法 變更主元法 差異分析法 反例法 閱讀理解法 信息遷移法 類比聯(lián)想法 抽象概括法 邏輯推理法 等價(jià)轉(zhuǎn)化法 根的分布法 分離參數(shù)法 抽簽法隨機(jī)數(shù)表法第二篇數(shù)學(xué)思想方法函數(shù)與方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 分類討論思想 化歸轉(zhuǎn)化思想 整體思想第三篇數(shù)學(xué)邏輯方法比較法 綜合法 分析法 反證法 歸納法 抽象與概括 類比法第二部分 部分難點(diǎn)巧學(xué)一、看清“身份”始作答分清集合的代表元素是解決集合問題的關(guān)鍵二、集合對實(shí)數(shù)說：你能運(yùn)算，我也能！集合的運(yùn)算（交、并、補(bǔ)、子等）三、巧用集合知識確定充分、必要條件四、活用德摩根定律

3、，巧解集合問題五、“補(bǔ)集”幫你突破巧用“補(bǔ)集思想”解題六、在等與不等中實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化融函數(shù)、方程和不等式為一體七、邏輯趣題欣賞八、多角度、全方位理解概念談對映射概念的掌握九、函數(shù)問題的靈魂定義域十、函數(shù)表達(dá)式的“不求”藝術(shù)十一、奇、偶函數(shù)定義的變式應(yīng)用十二、巧記圖象、輕松解題十三、特殊化思想十四、逆推思想十五、構(gòu)造思想十六、分類思想十七、轉(zhuǎn)化與化歸思想十八、向量不同于數(shù)量、向量的數(shù)量積是數(shù)量十九、定比分點(diǎn)公式中應(yīng)注意的含義二十、平移公式中的新舊坐標(biāo)要分清二十一、解斜三解形問題，須掌握三角關(guān)系式二十二、活用倒數(shù)法則巧作不等變換不等式的性質(zhì)和應(yīng)用二十三、小小等號也有大作為絕對值不等式的應(yīng)用二十四、“

4、抓兩頭，看中間”，巧解“雙或不等式”不等式的解法二十五、巧用均值不等式的變形式解證不等式二十六、不等式中解題方法的類比應(yīng)用二十七、吃透重點(diǎn)概念，解幾學(xué)習(xí)巧入門二十八、把握性質(zhì)變化，解幾特點(diǎn)早領(lǐng)悟二十九、重點(diǎn)知識外延，概念的應(yīng)用拓展三十、把握基本特點(diǎn)，穩(wěn)步提高解題能力三十一、巧記圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓錐曲線方程的焦點(diǎn)位置三十二、巧用圓錐曲線的焦半徑公式三十三、直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題三十四、求軌跡的常用方法三十五、與圓錐曲線有關(guān)的最值問題、定值問題、參數(shù)范圍問題三十六、空間問題向平面轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)平面的基本性質(zhì)三十七、既不平行，也不相交的兩條直線異面三十八、從“低（維）”到“高（維）”，判定線面

5、、面面的平行，應(yīng)用性質(zhì)則相反三十九、相互轉(zhuǎn)化研究空間線線、線面、面面垂直的“利器”四十、找（與所求角有關(guān)的線）、作（所缺線）、證（為所求）、算（其值）解空間角問題的步驟四十一、作（或找垂線段）、證（為所求）、算（長度）解距離問題的基本原則四十二、直線平面性質(zhì)集中展示的大舞臺棱柱、棱錐四十三、突出球心、展示大圓、巧作截面解有關(guān)球問題的要點(diǎn)四十四、排列、組合問題的巧解策略四十五、二項(xiàng)式定理的要點(diǎn)透析四十六、正確理解頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別四十七、要正確理解事件、準(zhǔn)確判定事件屬性四十八、求隨機(jī)事件的概率的方法步驟四十九、重要的概率模型五十、抓住關(guān)鍵巧判斷試驗(yàn)、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)變量的判斷五十一、隨機(jī)變量與

6、函數(shù)的關(guān)系五十二、離散型隨機(jī)變量分布列的兩條性質(zhì)的巧用五十三、理解是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的上方寶劍數(shù)學(xué)期望的巧妙理解五十四、與E的本質(zhì)區(qū)別五十五、巧用公式快計(jì)算公式DE2（E）2的理解與應(yīng)用五十六、公式的比較與巧記五十七、化難為易、化繁為簡巧歸納五十八、湊結(jié)論，一錘定音五十九、取特殊，直接代換六十、巧設(shè)問，判斷函數(shù)的連續(xù)性六十一、注意理解曲線 yf (x) 在一點(diǎn)p ( x0, y0 )的切線概念六十二、加強(qiáng)理解函數(shù)yf (x)在（a ,b）上的導(dǎo)函數(shù)六十三、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性六十四、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式六十五、函數(shù)yf (x)在點(diǎn)xx0處的極值理解六十六、求可導(dǎo)函數(shù)yf (x)在區(qū)間（a ,b）上的

7、極值方法六十七、分清實(shí)部與虛部，轉(zhuǎn)化為方程或不等式是判定復(fù)數(shù)類型的基本方法六十八、利用復(fù)數(shù)相等條件轉(zhuǎn)化為方程組，復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是求復(fù)數(shù)的基本方法六十九、記住常用結(jié)論，簡化復(fù)數(shù)運(yùn)算七十、應(yīng)用復(fù)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求與復(fù)數(shù)有關(guān)的問題 鄭重聲明依照中華人民共和國著作權(quán)法，本書版權(quán)所有，任何人或單位都不得仿冒高中理科巧學(xué)巧解大全從事圖書出版活動，不得擅自抄襲本書的研究成果，不得盜版及銷售盜版圖書，一旦發(fā)現(xiàn)，將違法圖書寄往中華人民共和國新聞出版總署和工商行政管理總局，并將采取法律手段，使侵權(quán)者必將受到法律的嚴(yán)懲！ 第一部分 高中數(shù)學(xué)活題巧解方法總論一、代入法若動點(diǎn)依賴于另一動點(diǎn)而運(yùn)動，而點(diǎn)的軌跡方程已

8、知（也可能易于求得）且可建立關(guān)系式，于是將這個點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式代入已知（或求得）曲線的方程，化簡后即得點(diǎn)的軌跡方程，這種方法稱為代入法，又稱轉(zhuǎn)移法或相關(guān)點(diǎn)法?！纠?】（2009年高考廣東卷）已知曲線：與直線：交于兩點(diǎn)和，且，記曲線C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D.設(shè)點(diǎn)是L上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A和點(diǎn)B均不重合.若點(diǎn)Q是線段AB的中點(diǎn)，試求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程；【巧解】聯(lián)立與得，則中點(diǎn)，設(shè)線段 的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，又點(diǎn)在曲線上，化簡可得，又點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn)和點(diǎn)重合，則，即，中點(diǎn)的軌跡方程為（）.【例2】（2008年，江西卷）設(shè) 在直線上，過點(diǎn)作雙曲

9、線的兩條切線、，切點(diǎn)為、，定點(diǎn)M。 過點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為N，試求的重心G所在的曲線方程?！厩山狻吭O(shè)，由已知得到，且，（1）垂線的方程為：，由得垂足，設(shè)重心所以 解得 由 可得 即為重心所在曲線方程巧練一：（2005年，江西卷）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).，求APB的重心G的軌跡方程.巧練二：（2006年，全國I卷）在平面直角坐標(biāo)系中，有一個以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量，求點(diǎn)M的軌跡方程二、直接法直接從題設(shè)

10、的條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則通過準(zhǔn)確的運(yùn)算、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、合理的?yàn)證得出正確的結(jié)論，從而確定選擇支的方法叫直接法。從近幾年全國各地的高考數(shù)學(xué)試題來看，絕大大部分選擇題的解答用的是此法。但解題時也要“盯住選項(xiàng)特點(diǎn)”靈活做題，一邊計(jì)算，一邊對選項(xiàng)進(jìn)行分析、驗(yàn)證，或在選項(xiàng)中取值帶入題設(shè)計(jì)算，驗(yàn)證、篩選而迅速確定答案。【例1】（2009年高考全國II卷）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交C于A、B兩點(diǎn)。若，則C的離心率為（ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】設(shè)，由，得，設(shè)過點(diǎn)斜率為的直線方程為，由消去得：， ， 將 代入得化簡得 ，化簡得：，即。故本題選（A）【例2】（

11、2008年，四川卷）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則（ ）（A）13（B）2（C）（D）【巧解】，函數(shù)為周期函數(shù)，且，故選（C）巧練一：（2008年，湖北卷）若上是減函數(shù)，則b的取值范圍是（ ）ABCD巧練二：（2008年，湖南卷）長方體ABCDA1B1C1D1的8個頂點(diǎn)在同一個球面上，且AB=2，AD=AA1=1，則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是（ ）ABCD 三、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。選擇題的命題側(cè)重于對圓錐曲線定義的考查，凡題目中涉及焦半徑、通徑、準(zhǔn)線、離心率及離心率的取值范圍等問題，用圓錐曲線的第一和第二定義解題，是一種重要的解題策略?！纠?】（2009年高考福建卷，理13）

12、過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為450的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的長為8，則 【巧解】依題意直線的方程為，由消去得：，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義。，故本題應(yīng)填2?！纠?】（2008年，山東卷，理10）設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26. 若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】由題意橢圓的半焦距為，雙曲線上的點(diǎn)滿足點(diǎn)的軌跡是雙曲線，其中，故雙曲線方程為，選（A）巧練一：（2008年，陜西卷）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過F1作傾斜角為30的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的

13、離心率為（ ）ABCD巧練二：（2008年，遼寧卷）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（ ）（A）（B）3（C）（D）四、向量坐標(biāo)法向量坐標(biāo)法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，通過坐標(biāo)化，把長度之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)之間的關(guān)系，使問題易于解決，并從一定程度上揭示了問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。在解題實(shí)踐中若能做到多用、巧用和活用，則可源源不斷地開發(fā)出自己的解題智慧，必能收到事半功倍的效果。【例1】（2008年，廣東卷）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F. 若=a，=b，則=（ ）AxyOBDCEAa +

14、b Ba +b Ca +b Da +b【巧解】如圖所示，選取邊長為2的正方形則，直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，則解之得，故本題選B【例2】已知點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且0，則、的面積之比等于（ ）A9：4：1 B1：4：9 C3：2：1D1：2：3ABCxyO【巧解】不妨設(shè)為等腰三角形，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，設(shè)，0，即解之得，即，又直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離，因此，故選C巧練一：（2008年，湖南卷）設(shè)D、E、F分別是ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且（ ）A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直巧練二：設(shè)是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則與面積之比是 .五、查字典法查字典是大家比較熟悉的，我們用類

15、似“查字典”的方法來解決數(shù)字排列問題中數(shù)字比較大小的問題，避免了用分類討論法時容易犯的重復(fù)和遺漏的錯誤，給人以“神來之法”的味道。利用“查字典法”解決數(shù)字比較大小的排列問題的思路是“按位逐步討論法”（從最高位到個位），查首位時只考慮首位應(yīng)滿足題目條件的情況；查前“2”位時只考慮前“”位中第“2”個數(shù)應(yīng)滿足條件的情況；依次逐步討論，但解題中既要注意數(shù)字不能重復(fù)，又要有充分的理論準(zhǔn)備，如奇、偶問題，3的倍數(shù)和5的倍數(shù)的特征，0的特性等等。以免考慮不全而出錯。【例1】（2007年，四川卷）用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有（ ）（A）288個（B）24

16、0個（C）144個（D）126個【巧解】本題只需查首位，可分3種情況， 個位為0，即 型，首位是2，3，4，5中的任一個，此時個數(shù)為； 個位為2，即， 此種情況考慮到萬位上不為0，則萬位上只能排3，4，5，所以個數(shù)為；個位為4， 型，此種特點(diǎn)考慮到萬位上不為0，則萬位上只能排2，3，5，所以個數(shù)為；故共有個。故選（B）【例2】（2004年全國II卷）在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有（ ）A56個B57個C58個D60個【巧解】（1）查首位：只考慮首位大于2小于4的數(shù)，僅有1種情況：即型，此特點(diǎn)只需其它數(shù)進(jìn)行全排列即可。有種，（2

17、）查前位：只考慮前“”位中比既大又小的數(shù)，有4種情況：，型，而每種情況均有種滿足條件，故共有種。（3）查前位：只考慮前“3”位中既比大又小于5的數(shù)，有4種情況：，型，而每種情況均有種滿足條件，故共有種。（3）查前4位：只考慮前“4”位中既比4大又小于2的數(shù)，此種情況只有 23154和43512兩種情況滿足條件。故共有個，故選C 巧練一：用數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且不大于4310的四位偶數(shù)共有（ ）A110種B109種C108種D107種巧練二：（2007年，四川卷）用數(shù)字1,2,3,4,5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字,并且比20000大的五位偶數(shù)共有（ ）（A）48個（B）36個（C）24個（D）

18、18個六、擋板模型法擋板模型法是在解決排列組合應(yīng)用問題中，對一些不易理解且復(fù)雜的排列組合問題，當(dāng)元素相同時，可以通過設(shè)計(jì)一個擋板模型巧妙解決，否則，如果分類討論，往往費(fèi)時費(fèi)力，同時也難以解決問題?！纠?】體育老師把9個相同的足球放入編號為1，2，3的三個箱中，要求每個箱子放球的個數(shù)不少于其編號，則不同的放球方法有（ ）A8種B10種C12種D16種【巧解】先在2號盒子里放1個小球，在3號盒子里放2個小球，余下的6個小球排成一排為：，只需在6個小球的5個空位之間插入2塊擋板，如：，每一種插法對應(yīng)著一種放法，故共有不同的放法為種. 故選B【例2】兩個實(shí)數(shù)集，若從A到B的映射使得B中每個元素都有原象

19、，且，則這樣的映射共有（ ）個ABCD【巧解】不妨設(shè)兩個集合中的數(shù)都是從小到大排列，將集合的50個數(shù)視為50個相同的小球排成一排為：，然后在50個小球的49個空位中插入24塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種滿足條件對應(yīng)方法，故共有不同映射共有種. 故選B巧練一：兩個實(shí)數(shù)集合A=a1, a2, a3, a15與B=b1, b2, b3, b10，若從A到B的是映射f使B中的每一個元素都有原象，且f(a1)f(a2) f(a10)f(a11)f(a15), 則這樣的映射共有（ ）A個B個C1015個D巧練二：10個完全相同的小球放在標(biāo)有1、2、3、4號的四個不同盒子里，使每個盒子都不空的放法有（ ）種A

20、24B84C120D96七、等差中項(xiàng)法等差中項(xiàng)法是根據(jù)題目的題設(shè)條件（或隱含）的特征，聯(lián)想到等差數(shù)列中的等差中項(xiàng)，構(gòu)造等差中項(xiàng)，從而可使問題得到快速解決，從而使解題過程變得簡捷流暢，令人賞心悅目?！纠?】（2008年，浙江卷）已知，則（ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】根據(jù)特征，可得成等差數(shù)列，為與的等差中項(xiàng)?？稍O(shè)，其中；則，又，故，由選項(xiàng)知應(yīng)選（C）【例2】（2008年，重慶卷）已知函數(shù)的最大值為M,最小值為m,則的值為（ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】由可得，為與的等差中項(xiàng)，令，其中，則，即，又，則，故，解之得，即，故選（C）巧練：（2008年，江蘇卷）的最小值 .八、逆向化法逆向化

21、法是在解選擇題時, 四個選項(xiàng)以及四個選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的都是解題重要的信息。 逆向化策略是把四個選項(xiàng)作為首先考慮的信息，解題時，要“盯住選項(xiàng)”，著重通過對選項(xiàng)的分析，考查，驗(yàn)證，推斷進(jìn)行否定或肯定，或者根據(jù)選項(xiàng)之間的關(guān)系進(jìn)行邏輯分析和篩選，找到所要選擇的，符合題目要求的選項(xiàng)?！纠?】（2008年，湖北卷）函數(shù)的定義域?yàn)椋?）ABC D【巧解】觀察四個選項(xiàng)取端點(diǎn)值代入計(jì)算即可，取，出現(xiàn)函數(shù)的真數(shù)為0，不滿足，排含有1的答案C，取代入計(jì)算解析式有意義，排不含有的答案B，取出現(xiàn)二次根式被開方數(shù)為負(fù)，不滿足，排含有2的答案A，故選D評析：求函數(shù)的定義域只需使函數(shù)解析式有意義，凡是考查具體函數(shù)

22、的定義域問題都可用特值法代入驗(yàn)證快速確定選項(xiàng)?！纠?】（2008年，江西卷）已知函數(shù)，若對于任一實(shí)數(shù)與的值至少有一個為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A（0，2）B（0，8）C（2，8）D（，0）【巧解】觀察四個選項(xiàng)中有三個答案不含2，那么就取代入驗(yàn)證是否符合題意即可，取，則有 ，這個二次函數(shù)的函數(shù)值 對且恒成立，現(xiàn)只需考慮當(dāng)時函數(shù)值是否為正數(shù)即可。這顯然為正數(shù)。故符合題意，排除不含的選項(xiàng)A、C、D。所以選B巧練一：（2007年，湖北卷）函數(shù)（x0）的反函數(shù)是（ ）A.（x1）C.（x1）巧練二：（2004年，重慶卷）不等式的解集是（ ） A B C D九、極限化法極限化法是在解選擇題時,有一些

23、任意選取或者變化的元素,我們對這些元素的變化趨勢進(jìn)行研究,分析它們的極限情況或者極端位置,并進(jìn)行估算,以此來判斷選擇的結(jié)果.這種通過動態(tài)變化,或?qū)O端取值來解選擇題的方法是一種極限化法.【例1】正三棱錐中，在棱上，在棱上，使，設(shè)為異面直線與所成的角，為異面直線與所成的角，則的值是 （ ） A BCD【巧解】當(dāng)時，且，從而。因?yàn)?，排除選擇支故選D（或時的情況，同樣可排除），所以選D【例2】若，當(dāng)1時，的大小關(guān)系是（ ）A B C D【巧解】當(dāng)時，故，所以選B巧練一：若的大小關(guān)系（ ）ABCD與x的取值有關(guān)巧練二：對于任意的銳角，下列不等關(guān)系式中正確的是（ ）（A） （B）（C） （D） 十、整體

24、化法整體化法是在解選擇題時,有時并不需要把題目精解出來,而是從題目的整體去觀察,分析和把握,通過整體反映的性質(zhì)或者對整體情況的估算,確定具體問題的結(jié)果,例如,對函數(shù)問題,有時只需要研究它的定義域,值域,而不一定關(guān)心它的解析示式,對函數(shù)圖象,有時可以從它的整體變化趨勢去觀察,而不一定思考具體的對應(yīng)關(guān)系,或者對4個選項(xiàng)進(jìn)行比較以得出結(jié)論,或者從整體,從全局進(jìn)行估算,而忽略具體的細(xì)節(jié)等等,都可以縮短解題過程,這是一種從整體出發(fā)進(jìn)行解題的方法.【例1】已知是銳角，那么下列各值中，可能取到的值是（ ）A BCD【巧解】，又是銳角，即，故選B【例2】(2002年,全國卷)據(jù)2002年3月5日九屆人大五次會

25、議政府工作報(bào)告指出“2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元,比上一年增長7.3%.”如果“十五”期間(2001-2005年)每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值按此年增長率增長,那么,到“十五”末,我國國內(nèi)生產(chǎn)總值約為（ ）（A）億元 (B)億元 (C) 億元 (D)億元【巧解】 注意到已知條件給出的數(shù)據(jù)非常精確, 2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到億元,精確到億元,而四個選項(xiàng)提供的數(shù)據(jù)都是近似值, 精確到千億元,即后三位都是0,因此,可以從整體上看問題,忽略一些局部的細(xì)節(jié).把億元近似地視為億元,又把近似地視為,這樣一來,就有 Oxy2巧練一： 如圖所示為三角函數(shù)，（的圖象的一部分，則此函數(shù)的周期可能是（ ）A BC

26、D巧練二：（全國卷）如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EFAB，EF，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（ ）（A） （B）5 （C）6 （D）十一、參數(shù)法在解題過程中，適當(dāng)引入一個或幾個新變量代替原式中的某些量，使得原式中僅含有這些新變量，以此作為媒介，在進(jìn)行分析和綜合，然后對新變量求出結(jié)果，從而解決問題的方法叫參數(shù)法?！纠?】（2008年，安徽卷）設(shè)橢圓過點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為（）求橢圓的方程；（）當(dāng)過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩不同點(diǎn)時，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上。【巧解】(1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2) 由得：設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)

27、分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則且，又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而，于是 ， ， ， 從而 ， ，又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即 并結(jié)合，得,即點(diǎn)總在定直線上?！纠?】（2004年，遼寧卷）設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時，求動點(diǎn)P的軌跡方程；【巧解】直線l過點(diǎn)M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為記、由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)、是方程組 的解.將代入并化簡得，所以于是設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則消去參數(shù)k得 當(dāng)k不存在時，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿足方程，所以點(diǎn)P的軌跡方程為巧練一：（2008年，全國I卷）直線通過點(diǎn)，則有（

28、 ）AB C D 巧練二： 如圖，已知直線l與拋物線相切于點(diǎn)P(2，1)，且與x軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）. （I）若動點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的軌跡C； （II）若過點(diǎn)B的直線l（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），試求OBE與OBF面積之比的取值范圍.十二、交軌法如果所求軌跡是兩條動曲線（包括直線）的交點(diǎn)所得，其一般方法是恰當(dāng)?shù)匾M(jìn)一個參數(shù)，寫出兩條動曲線的方程，消去參數(shù)，即得所求的軌跡方程，所以交軌法是參數(shù)法的一種特殊情況?！纠?】已知橢圓C： ,短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為. （）求橢圓C的方程； （）設(shè)直線經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)F交橢圓C交

29、于A、B兩點(diǎn),分別過A、B作橢圓的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，求兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程?！厩山狻浚ǎ┰O(shè)橢圓的半焦距為，依題意解之得，所求橢圓方程為（）由（I）知，設(shè)，對橢圓求導(dǎo)：，即，則過A點(diǎn)的切線方程為 整理得 同理過B點(diǎn)的切線方程為 ，又在兩切線、上，因此，兩點(diǎn)在均在直線上，又在直線上，即為交點(diǎn)的軌跡方程【例2】過拋物線C：上兩點(diǎn)M，N的直線交y軸于點(diǎn)P（0，b）. （）若MON是鈍角（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)b的取值范圍； （）若b=2，曲線C在點(diǎn)M，N處的切線的交點(diǎn)為Q.證明：點(diǎn)Q必在一條定直線上運(yùn)動.【巧解】（）設(shè)點(diǎn)M，N坐標(biāo)分別為由題意可設(shè)直線方程為y=kx+b, （）當(dāng)b=2時，由（

30、）知函數(shù)y=x2的導(dǎo)數(shù)y=2x，拋物線在兩點(diǎn)處切線的斜率分別為在點(diǎn)M，N處的切線方程分別為巧練一：已知定點(diǎn)A（1，0）和定直線上的兩個動點(diǎn)E、F，滿足，動點(diǎn)P滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）. （）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程； （）設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)與軌跡C交于A、B兩點(diǎn),分別過A、B作軌跡C的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，求兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程。巧練二：如圖，在以點(diǎn)O為圓心，|AB|=4為直徑的半圓ADB中，ODAB，P是半圓弧上一點(diǎn)，POB=30. 曲線C是滿足|MA|MB|為定值的動點(diǎn)M的軌跡，且曲線C過點(diǎn)P. （）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程； （）設(shè)過點(diǎn)D的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、

31、F. 分別過E、F.作軌跡C的兩條切線，E、F.為切點(diǎn)，求兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程。十三、幾何法利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律，然后得出題目結(jié)論的方法叫做幾何法?！纠?】(2008年，浙江卷)已知、是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足 的最大值是（ ）（A）1（B）2（C）（D）OxyC【巧解】不妨設(shè)以、所在直線為軸，軸，且，由已知得，整理得即，所以向量的坐標(biāo)是以為圓心，為半徑的一個圓且過原點(diǎn)，故的最大值即為圓的直徑為，故本題選（C）【例2】（2008年，江蘇卷）若AB=2，AC=的最大值 .【巧解】建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由B(2,0)Axy即，化簡得配

32、方得，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的一個圓（除去與軸的兩個交點(diǎn)），所以當(dāng)點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對值為，即時，有最大值為，所以答案為巧練一：已知，其中，則的最小值為 .巧練二：已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值等于 .十四、弦中點(diǎn)軌跡法有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦重點(diǎn)軌跡。“點(diǎn)差法”解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率?！纠?】（2009年高考海南、寧夏卷）已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為（2，2），則直線的方程為 .【巧解】由知拋物線C的方程為，設(shè)，代入拋物線方程則有：，兩式相減有，即，又，即。故：，

33、即，本題應(yīng)填【例2】橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，若過原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的值為 （ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】設(shè)的中點(diǎn)為，則，又，兩式相減，得，即，又，故選（B）巧練一：若橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為 .巧練二：若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則此弦所在直線的斜率是為 .十五、比較法現(xiàn)實(shí)世界的同類量之間，有相等關(guān)系，也有不等關(guān)系。兩個可以比較大小的量和，若，則它們分別表示，我們把根據(jù)兩個量的差的正、負(fù)或零判斷兩個量不等或相等的方法叫做差式比較法；當(dāng)兩個量均為正值時，有時我們又可以根據(jù)，或來判斷，這個方法叫做商式比較法。這兩種方法在數(shù)列與函數(shù)、不等式交匯問題

34、中應(yīng)用廣泛。比較法之一（作差法0步驟：作差變形定號結(jié)論（1）作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差。（2）變形：常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“積”。（3）定號：就是確定是大于，還是等于，還是小于，最后下結(jié)論。概括為“三步，一結(jié)論”，這里的“定號”是目的，“變形”是關(guān)鍵。注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以把式子靈活變形，通過作商或?qū)⑺鼈兊钠椒讲顏肀容^大小?！纠?】已知數(shù)列中，且點(diǎn)在直線上 （1）求的通項(xiàng)公式； （2）若函數(shù)，求函數(shù)的最小值.【巧解】（1）點(diǎn)在直線上，即且數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列 （2），是單調(diào)遞增的，故的最小值是【例2】（）已知函數(shù)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，

35、點(diǎn)（n，Sn）（nN*），在曲線上，求an.（）在（）的條件下，若，且Tn是數(shù)列cn的前n項(xiàng)和.試問Tn是否存在最大值？若存在，請求出Tn的最大值，若不存在，請說明理由.【巧解】（）點(diǎn)（n，Sn）在曲線上，所以當(dāng)n=1時，a1= S1=3，當(dāng)n2時，an= Sn- Sn-1=9-6n， （）利用錯位相減法， 存在最大值 巧練一：（2005年，全國卷）若，則（ ）Aabc Bcba Ccab Dba0,則ab與1.分析：當(dāng)a1時，原不等式等價(jià)于：1-a,即 1,1-a0, ; 當(dāng)0a1時，原不等式等價(jià)于 01- a,1-a1, 0a0, 0, 從而1-a, 同號，由倒數(shù)法則，得1x1時,x(,+

36、)；當(dāng)0a1時，x(1,).注：有關(guān)不等式性質(zhì)的試題，常以選擇題居多，通常采用特例法,排除法比較有效。二、小小等號也有大作為絕對值不等式的應(yīng)用絕對值不等式：|a|-|b|ab|a|+|b|。這里a,b既可以表示向量，也可以表示實(shí)數(shù)。當(dāng)a,b表示向量時，不等式等號成立的條件是：向量a與b共線；當(dāng)a,b表示實(shí)數(shù)時，有兩種情形：（1）當(dāng)ab0時，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=|a|-|b|;(2)當(dāng)ab0時，|a+b|=|a|-|b|, |a-b|=|a|+|b|.簡單地說就是當(dāng)a,b同號或異號時，不等式就可轉(zhuǎn)化為等式（部分地轉(zhuǎn)化），這為解決有關(guān)問題提供了十分有效的解題工具。如：若1lo

37、gba B、| logab+logba|2 C、(logba)2|logab+logba|分析：由已知，得0ba)得x0(大于大的);再由(同)得x0與x0與得0x2;由x1與得-1x1.這樣所得的不等式的解集為(0,1).（3）雙或不等式組的解集合成 形如的不等式組稱為“雙或”型不等式組（實(shí)際上包括多個“或”型不等式組成的不等式組也在此列），這是解不等式組中的一個難點(diǎn)。解決這類不等式組時常借用數(shù)軸來確定，但學(xué)生在求解時總會出現(xiàn)一些錯誤。這里介紹一種不通過數(shù)軸的直接方法：“抓兩頭 看中間”！如：,先比較a,b,c,d四個數(shù)的大小，如abcd,則其解集中必含有xd（即抓兩頭）；再看xb與xc的交集，若有公共部分，則bx0)是將分式化為整式，體現(xiàn)分式的整式化作用;試試下面兩個問題如何解:求證：（1）a2+b2+c2ab+bc+ac;(2) +a+b+c. (a,b,c0)（析：（1）由a22ab-b2得b22bc-c2 ,c22ac-a2,三式相加整理即得；（2）2a-b同樣可得另兩式，再將三式相加整理即得）。(3)ab(