1、5.1平面向量的概念及線性運算考綱展示1.了解向量的實際背景2理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義3理解向量的幾何表示4掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義5掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義6了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義考點1平面向量的有關概念 向量的有關概念(1)向量：既有大小又有_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_(2)零向量：長度為_的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長度等于_的向量(4)平行向量：方向相同或_的非零向量，又叫共線向量規(guī)定：0與任一向量共線(5)相等向量：長度相等且方向_的向量(6)相反向量：長度相等且方向_的向量答案：(1)

2、方向模(2)0(3)1個單位(4)相反(5)相同(6)相反向量有關概念的理解誤區(qū)：相等向量；共線向量(1)若四邊形ABCD滿足，則四邊形ABCD的形狀是_答案：平行四邊形解析：表示ADBC且ADBC，所以四邊形ABCD是平行四邊形(2)若四邊形ABCD滿足k(k0，k1)，則四邊形ABCD的形狀是_答案：梯形解析：k(k0，k1)表示ADBC，但AD與BC不相等，所以四邊形ABCD是梯形.典題1(1)給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點，則“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；若ab，bc，則ac；若ab，bc，則ac.其中正確命題的序號是()A B C

3、 D答案A解析不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同正確，|且.又A，B，C，D是不共線的四點，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則|，且，方向相同因此.正確ab，a，b的長度相等且方向相同，又bc，b，c的長度相等且方向相同，a，c的長度相等且方向相同，故ac.不正確當b0時，a，c可能不平行綜上所述，正確命題的序號是.(2)給出下列命題：兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；若a0(為實數(shù))，則必為零；已知，為實數(shù)，若ab，則a與b共線其中錯誤命題的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案C解析錯誤兩向量共線

4、要看其方向而不是起點與終點；正確因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，故可以比較大?。诲e誤當a0時，不論為何值，a0；錯誤當0時，ab，此時，a與b可以是任意向量點石成金1.相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性2共線向量即平行向量，它們均與起點無關3向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談4非零向量a與的關系：是a方向上的單位向量考點2向量的線性運算 向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：ab_；結(jié)合律：(ab)ca(_)減法求a與b的相反向量b的和的運算aba(_)數(shù)乘

5、求實數(shù)與向量a的積的運算|a|a|，當0時，a與a的方向_；當0時，a與a的方向_；當0時，a0( a)(_)a；()a_；(ab)_答案：babcb相同相反aaab(1)教材習題改編向量和式()()化簡后等于_答案：解析：原式.(2)教材習題改編已知三角形ABC，用與表示BC邊上的中線向量，則_.答案：典題2(1)2017廣東惠州高三二模如圖，在正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，那么()A. B.C. D.答案D解析在CEF中，有.因為點E為DC的中點，所以.因為點F為BC的一個三等分點，所以.所以，故選D.(2)2017遼寧沈陽模擬已知ABC和點M滿足0.若存在

6、實數(shù)m使得m成立，則m()A2 B3 C4 D5答案B解析由0知，點M為ABC的重心，設點D為底邊BC的中點，則()()，所以3，故m3.點石成金向量線性運算的解題策略(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應的三角形或多邊形；運用法則找關系；化簡結(jié)果考點3共線向量定理的應用 共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)，

7、使得b_.答案：a處理向量問題的常見錯誤：忽視零向量；濫用結(jié)論(1)若a與b是共線向量，b與c是共線向量，則a與c的關系是_答案：共線向量或不共線向量解析：若b0，則a與c未必是共線向量；若b是非零向量，則a與c是共線向量注意：在處理向量問題時不要忽略零向量(2)已知兩向量a，b，若|a|1，|b|2，則|ab|的范圍是_答案：1,3解析：當a，b方向相同時，有|ab|3；當a，b方向相反時，有|ab|1；當a，b不共線時，1|ab|3.所以|ab|的范圍是1,3. 注意：在一般情況下，|ab|a|b|不成立.有關向量的幾個結(jié)論：三點共線；向量的中線公式；三角形重心的向量表示(1)A，B，C三

8、點共線的充要條件是對不在直線AB上的任意一點O，存在實數(shù)t使得t_.答案：1t解析：根據(jù)共線向量定理知，A，B，C三點共線的充要條件是存在實數(shù)t使得t，即t()，即t(1t).(2)ABC中，D是BC的中點，則()，則_.答案：解析：由，得2()()0，() 典題3設兩個非零向量a和b不共線(1)若ab，2a8b，3(ab)求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使kab與akb共線(1)證明因為ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以，共線又與有公共點B，所以A，B，D三點共線(2)解因為kab與akb共線，所以存在實數(shù)，使kab(akb)，即解得k1.即當

9、k1時，kab與akb共線題點發(fā)散1若將本例(1)中“2a8b”改為“amb”，則當m為何值時，A，B，D三點共線？解：(amb)3(ab)4a(m3)b，若A，B，D三點共線，則存在實數(shù)，使，即4a(m3)b(ab)，所以解得m7.故當m7時，A，B，D三點共線題點發(fā)散2若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”，則k為何值？解：因為kab與akb反向共線，所以存在實數(shù)，使kab(akb)(0)，即解得k1.又0，k，所以k1.故當k1時，兩向量反向共線點石成金1.證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線2向量a

10、，b共線是指存在不全為零的實數(shù)1，2，使1a2b0成立；若1a2b0，當且僅當120時成立，則向量a，b不共線 1.已知向量a，b不共線，且cab，da(21)b，若c與d同向，則實數(shù)_.答案：1解析：由于c與d同向，所以ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b不共線，所以有整理得2210，所以1或.又k0，所以0，故1.2已知a，b是兩個不共線的非零向量，且a與b起點相同若a，tb，(ab)三向量的終點在同一條直線上，則t_.答案：解析：a，tb，(ab)三向量的終點在同一條直線上，且a與b起點相同atb與a(ab)共線，即atb與ab共線，存在實數(shù)，使

11、atb，解得即當t時，a，tb，(ab)三向量的終點在同一條直線上.方法技巧1.向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點重合”2對于平面上的任一點O，不共線，滿足xy(x，yR)，則P，A，B共線xy1.易錯防范1.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件要特別注意零向量的特殊性2在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導致錯誤. 真題演練集訓 12015新課標全國卷設D為ABC所在平面內(nèi)一點，3，則()A.

12、 B.C. D.答案：A解析：().故選A.22014新課標全國卷設D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則()A. B. C. D.答案：A解析：()()()，故選A.32014新課標全國卷已知A，B，C為圓O上的三點，若()，則與的夾角為_答案：90解析：()，點O是ABC邊BC的中點，BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有，90. 課外拓展閱讀 專題一平面向量與三角形問題的綜合典例1已知P是ABC內(nèi)一點，且，PBC的面積是2 015，則PAB的面積是_思路分析PBC，PAB分別與ABC共底邊于BC，AB，由平面幾何知識，將每組共底邊的三角形面積之比轉(zhuǎn)化為共底邊上的對應高的比，即可得

13、出面積關系，進而計算出PAB的面積解析設SABCS，SPBCS12 015，SPABS2.解法一：(恰當切入，從“三點共線”突破)如圖所示，延長AP交BC于D，由平面幾何知識，得.由A，P，D三點共線，可得(R)由B，D，C三點共線，可得(1)(R)聯(lián)立和，有解得則，那么，于是SS1.同理，延長CP交AB于E，計算可得，所以S2S.于是S2SS1S12 0152 821.解法二：(巧妙構(gòu)造，引出向量“投影”取勝)如圖所示，構(gòu)造一個單位向量e(其中e)，那么，在單位向量e方向上的投影長度|e|與|e|分別是PBC，ABC的公共底邊上的高，則S|e|e|cose，|sinABC；因為()，所以S1

14、|cose，|S.設i為與向量垂直的單位向量，同理，可以推出S2S.于是S2SS1S12 0152 821.解法三：(劃歸轉(zhuǎn)化，牽手三角形“重心”巧解)由，可得5670.令5，6，7，連接AB，BC，CA，如圖所示，于是0.即P是ABC的重心，SPABSPBC，根據(jù)已知條件，得S1|sinBPCsinBPCSPBC，所以SPBC42S1，同理可得SPAB30S2.于是S2S12 821.故填2 821.答案2 821溫馨提示在尋找三個三角形面積之間的關系時，可以從多方面思考：可以從“三點共線”突破，運用三點共線向量式求解，思維起點低，思路直接，如解法一；可以從向量“投影”得出關系，構(gòu)造出一個中介性輔助元素單位向量e，i，如解法二；可以轉(zhuǎn)化條件形式，將轉(zhuǎn)化成5670，利用三角形“重心”性質(zhì)引出巧解，如解法三專題二用幾何法求解向量填空題利用向量加法的幾何意義或向量減法的幾何意義，可以將一些向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法，快速得到答案，避免繁瑣的運算和由于運算而產(chǎn)生的錯誤典例2已知a，b是兩個非零向量，且|a|b|ab|，則a與ab的夾角是_解