1、1.0 矢量及其代數(shù)運(yùn)算1.1 三種常用的坐標(biāo)系1.2 矢量函數(shù)的微積分1.3 標(biāo)量函數(shù)的梯度1.4 矢量函數(shù)的散度1.5 矢量函數(shù)的旋度1.6 場(chǎng)函數(shù)的微分算子和恒等式,第1章 矢量分析,標(biāo)量（Scalar）- 一個(gè)僅用大小就能夠完整描述的物理量。 例如，電壓、 溫度、 時(shí)間、 質(zhì)量、電荷、電流等。 矢量(Vector) - 一個(gè)有大小和方向的物理量。 例如：電場(chǎng)、磁場(chǎng)、力、速度、力矩等都是矢量。,1.0矢量及其代數(shù)運(yùn)算,1、矢量的表示 矢量的一般表示： A=aA,矢量A的方向,矢量A的大小,a表示單位矢量（unit vector） ， 其大小等于1。 A=0，稱空矢(Null Vector

2、)或零矢(Zero Vector),2、位置矢量 從原點(diǎn)指向任意空間點(diǎn)P的矢量r ，稱為位置矢量。 位置矢量能夠由它在三個(gè)相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定。,點(diǎn)P在直角坐標(biāo)系中的位置 r =axx+ayy+azz x、y、z是位置矢量r在 x、y、z對(duì)應(yīng)垂面上的投影。,任一矢量A可表示為： A=axAx (x,y,z) +ayAy (x,y,z) +azAz (x,y,z) 矢量A的大小A為：,例題1：已知直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P1(-3，1，4)和P2(2，-2，3)求: (1)P1、P2兩點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的位置矢量r1、r2； (2)P1到P2的距離矢量R； (3) 矢量r1 在r2 的投影。

3、,3、矢量的代數(shù)運(yùn)算（加減運(yùn)算和乘法運(yùn)算） （1）矢量的加法和減法 加法 C = A + B = ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz) 減法 D=AB=A+(B)=ax(AxBx)+ay(AyBy)+az(AzBz) 結(jié)論：矢量的加法和加法運(yùn)算滿足平行四邊形法則。,A,C =B +C,A,B,C,A,A,B,C,C =B -C,-B,C = A + B = ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz),D=AB=A+(B)=ax(AxBx)+ay(AyBy)+az(AzBz),（2）矢量的乘積（標(biāo)量積和矢量積） 標(biāo)量積(Scalar Product) AB=

4、ABcos 結(jié)論：兩個(gè)不為零的矢量的標(biāo)量積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互垂直。 直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式： axay=ayaz= azax=0 axax=ayay=azaz=1,標(biāo)量積也稱為點(diǎn)積(Dot Product)，等于一個(gè)矢量與另一個(gè)矢量在該矢量上投影的乘積,若A B呢？若AB呢？,思考題：1、若AB=AC，則B=C ？ 2、用矢量法證明三角形的余弦定理,標(biāo)量積服從交換律和分配律， 即 AB=BA A(B+C)=AB+AC,矢量積 (Vector Product),大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積,其方向垂直于矢量A與B組成的平面，與A、B滿足右手關(guān)系,思考：若A

5、B呢？若AB呢？,C=AB=anABsin,右手螺旋定則,四指：由第一矢量轉(zhuǎn)向第二矢量,拇指：指向它們失量積的方向,結(jié)論：兩個(gè)非零矢量的叉積等于零矢量，則這兩個(gè)矢量必然相互平行。 直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式： axay=az, ayaz=ax, azax=ay axax=ayay=azaz=0 注意：矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律，即 AB=BA A(B+C)=AB+AC,在直角坐標(biāo)系中，矢量的叉積還可以表示為 =ax(AyBzAzBy)+ay(AzBxAxBz)+az(AxByAyBx) 矢量的其他運(yùn)算詳見附錄一。,結(jié) 論 矢量的加法和加法運(yùn)算滿足平行四邊形法則； 兩個(gè)矢量的點(diǎn)

6、積等于標(biāo)量，兩個(gè)叉積等于矢量； 兩個(gè)不為零的矢量的點(diǎn)積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互垂直； 兩個(gè)非零矢量的叉積等于零矢量，則這兩個(gè)矢量必然相互平行。,1. 直角坐標(biāo)系（重點(diǎn)）直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)變量是x、y、z，如圖1-1-1所示。它們的變化范圍是,1.1 三種常用的坐標(biāo)系,圖1-1-1 直角坐標(biāo)系,x，y，z 表示M點(diǎn)到對(duì)應(yīng)垂直面的距離 ex、ey、ez過空間任意點(diǎn)的坐標(biāo)矢量，它們相互正交，而且遵循exey=ez的右手螺旋法則。（不隨M點(diǎn)位置的變化） 在直角坐標(biāo)系內(nèi)的任一矢量A可表示為,由點(diǎn)M(x，y，z)沿ex、ey、ez方向分別取微分長度元dx、dy、dz。由x，x+dx；y，y+dy；

7、z，z+dz這六個(gè)面決定一個(gè)直角六面體，它的各個(gè)面的面積元是 (與ex垂直) (與ey垂直) (與ez垂直),該直角六面體的體元是,2. 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系(簡(jiǎn)稱柱坐標(biāo)系)中的三個(gè)坐標(biāo)變量是r、j、 z，如圖1-1-2所示。,圖1-1-2 柱坐標(biāo)系,在點(diǎn)M(，j，z)處沿er、ej、ez方向的長度元分別是,與三個(gè)坐標(biāo)單位矢量相垂直的面積元分別是 (與e垂直) (與ej垂直) (與ez垂直),(1-1-5),(1-1-6),(1-1-4),體積元是:,d=dl dlj dlz= d dj dz,3. 球坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)變量是r、，如圖1-1-3所示，它們的變化范圍是,圖1-1-3

8、球坐標(biāo)系,在點(diǎn)M(r，)處沿er、e、e方向的長度元分別是,與三個(gè)坐標(biāo)單位矢量相垂直的面積元分別是 (與er垂直) (與e垂直) (與ej垂直),(1-1-9),體積元是d=dlr dl dlj=r2 sin dr d dj(1-1-10),(1-1-8),1.1.2 三種坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的關(guān)系由圖1-1-4所示的幾何關(guān)系，可直接寫出三種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系。1. 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系的關(guān)系 (1-1-11) (1-1-12),圖1-1-4 三種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系,2. 直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系 (1-1-13) (1-1-14),3. 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系 (1-1-1

9、5) (1-1-16),1.1.3 三種坐標(biāo)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系都有一個(gè)z變量，有一個(gè)共同的坐標(biāo)單位矢量ez，其他坐標(biāo)矢量都落在xOy平面內(nèi)。,圖1-1-1 直角坐標(biāo)系,圖1-1-2 柱坐標(biāo)系,圖1-1-5 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系的坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系,1、直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系單位矢量之間的關(guān)系 直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系都有一個(gè)z變量，有一個(gè)共同的坐標(biāo)單位矢量ez，其他坐標(biāo)矢量都落在xOy平面內(nèi)。因此，這兩種坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量及其關(guān)系可以用圖1-1-5表示出來，這種變換關(guān)系寫成矩陣形式為 (1-1-17) (1-1-18),柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系都有一個(gè)變量，有一個(gè)共同的坐標(biāo)單位

10、矢量e，而其他坐標(biāo)矢量都落在過z軸的平面內(nèi)。因此，這兩種坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量及其關(guān)系可以用圖1-1-6表示出來，將這種變換關(guān)系寫成矩陣形式為 (1-1-19) (1-1-20),2、求標(biāo)系和柱坐標(biāo)系單位矢量之間的關(guān)系,直角坐標(biāo)系和球標(biāo)系的坐標(biāo)單位矢量間關(guān)系要用三維空間圖形才能表示出來，其圖解要復(fù)雜一些。但利用前面得到的坐標(biāo)單位矢量之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，將式(1-1-17)代入式(1-1-19)，將式(1-1-20)代入式(1-1-18)可以得到 (1-1-21) (1-1-22),3、直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系單位矢量之間的關(guān)系,例1-1-1 如果有一矢量在柱坐標(biāo)系下的表達(dá)式為A=Ae+Ae+Azez，試

11、求出它在直角坐標(biāo)系下的各分量大小。解 利用式(1-1-18)，可得,其他坐標(biāo)系的矢量變換可以類似得到，它們與坐標(biāo)單位矢量的變換是一致的。,例1-1-2 寫出空間任一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系下的位置矢量表達(dá)式，然后將此位置矢量轉(zhuǎn)換成在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的矢量。解 在空間任一點(diǎn)P(x，y，z)的位置矢量為A=xex+yey+zez,于是，位置矢量在柱坐標(biāo)系下得表達(dá)式為 A=e+zez理可得，在球坐標(biāo)系下得位置矢量表達(dá)式為A=rer可見，位置矢量在不同坐標(biāo)系下得到的表達(dá)式是不同的。,1.2 矢量的微積分,直角坐標(biāo)系中，矢量的微積分運(yùn)算同高等數(shù)學(xué)的微積分，只是記得加上矢量符號(hào)！,1.3 標(biāo)量函數(shù)的梯度,1.3

12、.1 標(biāo)量場(chǎng)及方向?qū)?shù) 標(biāo)量場(chǎng)：標(biāo)量在空間的分布 標(biāo)量場(chǎng)的表示： u=u(x，y，z) 假定u(x，y，z)是坐標(biāo)變量的單值連續(xù)可微函數(shù)。 等值面方程：u(x，y，z)=C (C為任意常數(shù)),在標(biāo)量場(chǎng)中，空間的每一點(diǎn)上只對(duì)應(yīng)一個(gè)場(chǎng)函數(shù)的確定值。所以等值面互不相交，或者說場(chǎng)中的一個(gè)點(diǎn)只能在一個(gè)等值面上。,方向?qū)?shù)： 表示在標(biāo)量場(chǎng)中某點(diǎn)沿各個(gè)方向的變化快慢情況。,定義：,圖1-3-1 等值面示意圖,有沒有一個(gè)最大變化率？,取得最大變化率沿著什么方向？,1.3.2 梯度1. 梯度的定義 定義：大小等于場(chǎng)點(diǎn)M 所有方向?qū)?shù)中的最大值、方向?yàn)槿〉眠@個(gè)最大值時(shí)所沿的方向的一個(gè)矢量。,表達(dá)式：標(biāo)量場(chǎng)u(x，

13、y，z)在點(diǎn)M處的梯度(gradient)是一個(gè)矢量，記作 gradu=G (1-3-8),2. 梯度的性質(zhì)(1) 一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u的梯度是一個(gè)矢量函數(shù)。在給定點(diǎn)，梯度的方向就是函數(shù)u變化率最大的方向，它的模恰好等于函數(shù)u在該點(diǎn)的最大變化率的數(shù)值。即 ，說明梯度總是指向函數(shù)u(x，y，z)增大的方向。,(2) 函數(shù)u在給定點(diǎn)沿任意 l 方向的方向?qū)?shù)等于函數(shù)u 的梯度在 l 方向上的投影。,(3) 在任一點(diǎn)M，標(biāo)量場(chǎng)u(x，y，z)的梯度垂直于過該M點(diǎn)的等值面，也就是垂直于過該點(diǎn)的等值面的切平面。,根據(jù)這一性質(zhì)，曲面u(x，y，z)=C上任一點(diǎn)的單位法線矢量n0可以用梯度表示，即 (1-3-12

14、),3. 哈密頓(Hamilton)算子為了方便，我們引入一個(gè)算子 (1-3-13)稱為哈密頓算子。讀作“del(德爾)”或“nabla(那勃拉)”。“”既是一個(gè)微分算子，又可以看做是一個(gè)矢量，所以稱它為一個(gè)矢量性微分算子。,算子對(duì)標(biāo)量函數(shù)作用產(chǎn)生一矢量函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中有(1-3-14)上式右邊剛好是gradu，所以用哈密頓算子可將梯度記為(1-3-15),4. 梯度運(yùn)算基本公式 (C為常數(shù)) (1-3-16) (C為常數(shù)) (1-3-17) (1-3-18) (1-3-19)(1-3-20)(1-3-21),1.4.1 矢量場(chǎng)的通量,矢量場(chǎng)：矢量在空間的分布 矢量場(chǎng)的表示為： F=F(x

15、，y，z) 該矢量函數(shù)用分量表示為：,1.4 矢量函數(shù)的散度,通量 定義：矢量F 在場(chǎng)中某一個(gè)曲面S上的面積分，稱為該矢量場(chǎng)通。 表達(dá)式： (1-4-2),dS為在場(chǎng)中任意曲面S上的點(diǎn)M周圍取一小面積元； n0為dS的方向,對(duì)于封閉曲面， n0取為封閉曲面的外法線方向； 對(duì)于開曲面， n0取該面元外圍封閉曲線 l 的右手螺旋方向。,圖1-4-1 矢量場(chǎng)通量,通過閉合曲面S的總通量可表示為 (1-4-3),閉合曲面的總通量的意義： 表明S 內(nèi)必有矢量的源（正源）； 表明 S 內(nèi)必有矢量的源（正源）； 表明 S 內(nèi)無矢量的源。,1.4.2 散度（divergence） 1. 散度的定義,S為任一點(diǎn)

16、M的鄰域內(nèi)所作的一包圍該點(diǎn)的任意閉合面；,定義：在連續(xù)函數(shù)的矢量場(chǎng)F 中，任一點(diǎn)M處單位體積上的通量，稱為矢量場(chǎng)F在該點(diǎn)的散度，（也稱為“通量源密度”）。 表達(dá)式：,為閉合曲面S所限定的體積；,表示以任意方式趨于零(即縮至M點(diǎn))。,記作divF(讀作F的散度)。即 (1-4-4),若divF0，則該點(diǎn)有發(fā)出的通量的正源；,若在某一區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)上的矢量場(chǎng)的散度都等于零，則稱該區(qū)域內(nèi)的矢量場(chǎng)為無源場(chǎng)。（也成為無散場(chǎng)，如：磁場(chǎng)強(qiáng)度）,若divF0，則該點(diǎn)有吸收的通量的負(fù)源;,若divF=0，則該點(diǎn)無源。,2. 散度在各坐標(biāo)系中的表達(dá)式,結(jié)論：divF 剛好等于哈密頓算子 與矢量F的標(biāo)積。 一個(gè)矢量

17、函數(shù)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)。,直角坐標(biāo)系中： (1-4-11),1.4.3 高斯(Gauss)散度定理,高斯定理： (1-4-17) 說明：左邊：空間任一體積內(nèi) 的體積分， 右邊： 矢量F 穿出該體積閉合表面的凈通量 意義：矢量F 在閉合曲面上的凈通量等于其散度在該曲面所包圍體積內(nèi)的體積分。,體積是閉合曲面的包圍區(qū)域，閉合面積是體積的外表面,例1-3-1 點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)，在離其 r 處產(chǎn)生的電通量密度為其中r=xex+yey+zez，求任意點(diǎn)處電通量密度的散度，并求穿出以r為半徑的球面的電通量。,解：,同理可得所以,可見，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)(r=0)外，空間各點(diǎn)得電通量密度散度均為0。這證明

18、在此球面上所穿過的電通量的源正是點(diǎn)電荷q。,例1-3-2 在的矢量場(chǎng)中，假設(shè)有一個(gè)邊長為2a，中心在直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，各表面與三個(gè)坐標(biāo)面平行的正六面體。試求從正六面體內(nèi)穿出的電場(chǎng)凈通量。,3. 散度的基本運(yùn)算公式 (C為常矢量) (1-4-13) (C為常數(shù)) (1-4-14) (1-4-15) (u為標(biāo)量函數(shù)) (1-4-16),試證明：,1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度 1. 環(huán)量的定義 定義：矢量場(chǎng)A 環(huán)繞閉合路徑l 的線積分為該矢量的環(huán)量(Circulation)，記作如圖1-14所示) 表達(dá)式： 為曲線l 上任意一點(diǎn)的線元dl 與該點(diǎn)處矢量A的夾角。 如果矢量的環(huán)量不等于零，則在l 內(nèi)必然有

19、產(chǎn)生這種場(chǎng)的旋渦源； 如果矢量的環(huán)量等于零，則我們說在l 內(nèi)沒有旋渦源。 矢量的環(huán)量也是一標(biāo)量,(1-3-19),大小和什么有關(guān)？,圖1-14 矢量場(chǎng)的環(huán)量,2. 矢量場(chǎng)的旋度 1) 旋度的定義 環(huán)量面密度：矢量場(chǎng)中點(diǎn)P處的矢量A沿閉合曲線 l 之正向的環(huán)量與閉合曲線面積S之比，稱為矢量場(chǎng)在沿n方向的環(huán)量面密度(亦即環(huán)量對(duì)面積的變化率)。,說明：面元S為閉合曲線 l 所包圍的面積； S的法向矢量n與l 的正向與成右手螺旋關(guān)系； S P表示為P位點(diǎn)置處。,圖1-15 閉合曲線方向與面元的方向示意圖,保持S不變化，該點(diǎn)的環(huán)量面密度是否變化？,可見：環(huán)量面密度與l 所圍成的面元S的方向有關(guān)。 如果l

20、 圍成的面元矢量與旋渦面的方向重合，則環(huán)量面密度最大； 如果所取面元矢量與旋渦面的方向之間有一夾角，得到的環(huán)量面密度總是小于最大值； 若面元矢量與旋渦面方向相垂直，則環(huán)量面密度等于零。,由,2）旋度的定義(Curl 或Rotation) 定義：旋度R 的方向?yàn)榄h(huán)量面密度最大的方向，其模即為最大環(huán)量面密度的數(shù)值。 記作 rotA=R (1-3-2) 說明： 對(duì)于矢量場(chǎng)A其旋度R必是唯一固定矢量； 旋度R在任意面元方向上的投影就給出該方向上的環(huán)量面密度。,矢量場(chǎng)的旋度仍為矢量！,圖1-16旋度及其投影,任意元面的環(huán)量面密度為旋度矢量在n方向的投影，如圖1-16所示，即,(1-5-3),在直角坐標(biāo)系

21、中，旋度的表達(dá)式為：,(1-5-8),為方便起見，也引入算子，則旋度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為,(1-5-9),旋度的性質(zhì)： 一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度表示該矢量場(chǎng)單位面積上的環(huán)量，它描述的是場(chǎng)分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律。 矢量場(chǎng)的旋度為一矢量，它用以研究矢量場(chǎng)的矢量源在空間的分布狀況。 若矢量場(chǎng)的旋度不為零，則稱該矢量場(chǎng)是有旋的。(如：水從槽子流出或流入是流體旋轉(zhuǎn)速度場(chǎng)) 若矢量場(chǎng)的旋度等于零，即A=0，則稱此矢量場(chǎng)是無旋的或保守的。（如：靜電場(chǎng)）,旋度的一個(gè)重要性質(zhì)就是任意矢量旋度的散度恒等于零，即 (1-3-28) 這就是說，如果有一個(gè)矢量場(chǎng)B的散度等于零（ ），則該矢B就可以用另一個(gè)矢量

22、A的旋度來表示，即當(dāng) 則有 (1-3-29),試證明：,3 斯托克斯定理(StokesTheorem) 斯托克斯定理 其中S是閉合路徑 l 所圍成的面積，它的方向與l 的方向成右手螺旋關(guān)系。 物理意義：矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分等于該矢量場(chǎng)A的旋度沿曲面S 法向分量的面積分(證明從略)。,(1-5-17),例1-3-3圖 四分之一圓盤,【例1-3-3】已知一矢量場(chǎng)F=axxyay2x, 試求： (1) 該矢量場(chǎng)的旋度; (2) 該矢量沿半徑為3的四分之一圓盤邊界的線積分，如圖所示，驗(yàn)證斯托克斯定理。,解 (1),(2) 矢量沿四分之一圓盤邊界的線積分：,由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系： x=r

23、 cos, y=r sin dl=a rd=ax(rsin)+ay(r cos)d,可見， 斯托克斯定理 成立。,補(bǔ)充：亥姆霍茲定理,定理：如果知道一個(gè)矢量場(chǎng)的散度和旋度，則這個(gè)矢量場(chǎng)唯一確定。 表示：,性質(zhì)： 1）若 ，則 ，該矢量場(chǎng)必為保守場(chǎng)（有勢(shì)場(chǎng)），無旋場(chǎng)。,2）若 ，則 ，該矢量場(chǎng)必為無散場(chǎng)，有旋場(chǎng)。,1.6 場(chǎng)函數(shù)的微分算子和恒等式,1 哈密頓一階微分算子及恒等式,哈密頓算符：,恒等式：,2 二階微分算子及恒等式,復(fù) 習(xí),標(biāo)量場(chǎng)：標(biāo)量在空間的分布 u=u(x，y，z) 等值面方程：u(x，y，z)=C(C為任意常數(shù)),方向?qū)?shù),標(biāo)量場(chǎng)的梯度 定義：大小等于場(chǎng)在點(diǎn)M所有方向?qū)?shù)中的最

24、大值、方向等于取到這個(gè)最大值所沿的方向的一個(gè)矢量。,表達(dá)式： gradu=G (1-4-6),2. 梯度的性質(zhì)(1) 一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u的梯度是一個(gè)矢量函數(shù)。梯度總是指向函數(shù)u(x，y，z)增大的方向。,(2) 函數(shù)u在給定點(diǎn)沿任意 l 方向的方向?qū)?shù)等于函數(shù)u 的梯度在 l 方向上的投影。,(3) 在任一點(diǎn)M，標(biāo)量場(chǎng)u(x，y，z)的梯度垂直于過該M點(diǎn)的等值面，也就是垂直于過該點(diǎn)的等值面的切平面。,3. 哈密頓(Hamilton)算子 (1-3-13)它是一個(gè)矢量性微分算子。,用哈密頓算子可將梯度記為,矢量場(chǎng)：F=F(x，y，z) 分量表示為：,通量,閉合曲面的總通量的意義： 表明S 內(nèi)必有矢量

25、的源（正源）； 表明 S 內(nèi)必有矢量的源（正源）； 表明 S 內(nèi)無矢量的源。,矢量的散度,若divF0，則該點(diǎn)有發(fā)出的通量的正源； 若divF0，則該點(diǎn)有吸收的通量的負(fù)源; 若divF=0，則該點(diǎn)無源。,直角坐標(biāo)系中：,高斯(Gauss)散度定理,高斯定理： (1-3-18) 說明：左邊：空間任一體積內(nèi) 的體積分， 右邊： 矢量F 穿出該體積閉合表面的凈通量 意義：矢量F 在閉合曲面上的凈通量等于其散度在該曲面所包圍體積內(nèi)的體積分。,體積是閉合曲面的包圍區(qū)域，閉合面積是體積的外表面,矢量的環(huán)量表達(dá)式： 矢量的環(huán)量也是一標(biāo)量,(1-3-19),2）旋度的定義(Curl 或Rotation) 定義

26、：旋度R 的方向?yàn)榄h(huán)量面密度最大的方向，其模即為最大環(huán)量面密度的數(shù)值。 記作 rotA=R (1-3-2) 說明： 對(duì)于矢量場(chǎng)A其旋度R必是唯一固定矢量； 旋度R在任意面元方向上的投影就給出該方向上的環(huán)量面密度。,矢量場(chǎng)的旋度仍為矢量！,圖1-16旋度及其投影,任意元面的環(huán)量面密度為旋度矢量在n方向的投影，如圖1-16所示，即,(1-5-3),在直角坐標(biāo)系中，旋度的表達(dá)式為：,(1-5-8),為方便起見，也引入算子，則旋度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為,(1-5-9),旋度的性質(zhì)： 一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度表示該矢量場(chǎng)單位面積上的環(huán)量，它描述的是場(chǎng)分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律。 矢量場(chǎng)的旋度為一矢量，它用以研究矢量場(chǎng)的矢量源在空間的分布狀況。 若矢量場(chǎng)的旋度不為零，則稱該矢量場(chǎng)是有旋的 (otational)。(如：水從槽子流出或流入是流體旋轉(zhuǎn)速度場(chǎng)) 若矢量場(chǎng)的旋度等于零，即