1、普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學 人教版 高三新數(shù)學第一輪復習教案（講座3）函數(shù)的基本性質(zhì)一課標要求1通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；2結合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；二命題走向從近幾年來看，函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質(zhì)相關聯(lián)，因此在復習中，針對不同的函數(shù)類別及綜合情況，歸納出一定的復習線索。預測2007年高考的出題思路是：通過研究函數(shù)的定義域、值域，進而研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及最值。預測明年的對本講的考察是：（1）考察函數(shù)性質(zhì)的選擇題1個或1個填空題，還可能結合導數(shù)出研究函數(shù)性質(zhì)的大題；（2）以中等難度、題型新穎的試

2、題綜合考察函數(shù)的性質(zhì)，以組合形式、一題多角度考察函數(shù)性質(zhì)預計成為新的熱點。三要點精講1奇偶性（1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意： 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)； 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關于原點

3、對稱）。（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱； 確定f(x)與f(x)的關系； 作出相應結論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)。（3）簡單性質(zhì)：圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y軸對稱；設，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2單調(diào)性（1）定義：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于

4、定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；注意： 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)； 必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當x1x2時，總有f(x1)f(x2)（2）如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。（3）設復合函數(shù)y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定義域的某個區(qū)間，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A

5、上是增（或減）函數(shù)，y= f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x)在A上是增函數(shù)；若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y= f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x)在A上是減函數(shù)。（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟： 任取x1，x2D，且x10與a 0時， ，當a 0時，f(x)為奇函數(shù)； 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).點評：判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時應先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的解析式能化簡，一般應考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程（要保證定義域不變）。例2(2002天津文.1

6、6)設函數(shù)f（x）在（，+）內(nèi)有定義，下列函數(shù)：y=|f（x）|；y=xf（x2）；y=f（x）；y=f（x）f（x）。必為奇函數(shù)的有_（要求填寫正確答案的序號）答案：；解析：y=（x）f（x）2=xf（x2）=y；y=f（x）f（x）=y。點評：該題考察了判斷抽象函數(shù)奇偶性的問題。對學生邏輯思維能力有較高的要求。題型二：奇偶性的應用例3（2002上海春，4）設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當x0時，f（x）=log3（1+x），則f（2）=_ _。答案：1；解：因為x0時，f（x）=log3（1+x），又f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）=f（x），設x0，所以f（x）=f（x）=f（1x），

7、所以f（2）=log33=1。點評：該題考察函數(shù)奇偶性的應用。解題思路是利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)在對稱區(qū)域上函數(shù)的取值。例4已知定義在R上的函數(shù)y= f(x)滿足f(2+x)= f(2x)，且f(x)是偶函數(shù)，當x0，2時，f(x)=2x1，求x4，0時f(x)的表達式。解：由條件可以看出，應將區(qū)間4，0分成兩段考慮：若x2，0，x0，2，f(x)為偶函數(shù)，當x2，0時，f(x)= f(x)=2x1,若x4，2，4+ x0，2，f(2+x)+ f(2x)，f(x)= f(4x)，f(x)= f(x)= f4（x）= f(4+x)=2（x+4）1=2x+7；綜上，點評：結合函數(shù)的數(shù)字特征，借助函

8、數(shù)的奇偶性，處理函數(shù)的解析式。題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性例5（2001天津，19）設，是上的偶函數(shù)。（1）求的值；（2）證明在上為增函數(shù)。解：（1）依題意，對一切，有，即。對一切成立，則，。（2）(定義法)設，則，由，得，即，在上為增函數(shù)。（導數(shù)法），在上為增函數(shù)點評：本題用了兩種方法：定義法和導數(shù)法，相比之下導數(shù)法比定義法更為簡潔。例6已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對xR有f(x)0，且f(5)=1，設F(x)= f(x)+，討論F (x)的單調(diào)性，并證明你的結論。解：這是抽角函數(shù)的單調(diào)性問題，應該用單調(diào)性定義解決。在R上任取x1、x2，設x1x2，f(x2)= f(x1)， f(x)

9、是R上的增函數(shù)，且f(10)=1，當x10時0 f(x)10時f(x)1; 若x1x25，則0f(x1)f(x2)1, 0 f(x1)f(x2)1,0, F (x2)x15，則f(x2)f(x1)1 , f(x1)f(x2)1, 0, F(x2) F (x1)；綜上，F(xiàn) (x)在（，5）為減函數(shù)，在（5，+）為增函數(shù)。點評：該題屬于判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性。抽象函數(shù)問題是函數(shù)學習中一類比較特殊的問題，其基本能力是變量代換、換元等，應熟練掌握它們的這些特點。題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例7（2001春季北京、安徽，12）設函數(shù)f（x）（ab0），求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明f（x）在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。

10、.解：在定義域內(nèi)任取x1x2，f（x1）f（x2），ab0，ba0，x1x20，只有當x1x2b或bx1x2時函數(shù)才單調(diào)當x1x2b或bx1x2時f（x1）f（x2）0f（x）在（b，）上是單調(diào)減函數(shù)，在（，b）上是單調(diào)減函數(shù)點評：本小題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的基本知識。對于含參數(shù)的函數(shù)應用函數(shù)單調(diào)性的定義求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例8（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。解：（1）函數(shù)的定義域為，分解基本函數(shù)為、顯然在上是單調(diào)遞減的，而在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的。根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。（2）解法一：函數(shù)的定義域為R，分解基本函數(shù)為和

11、。顯然在上是單調(diào)遞減的，上單調(diào)遞增；而在上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的。且，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。解法二：， 令 ，得或，令 ，或單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。點評：該題考察了復合函數(shù)的單調(diào)性。要記住“同向增、異向減”的規(guī)則。題型五：單調(diào)性的應用例9已知偶函數(shù)f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式flog2(x2+5x+4)0。解：f(2)=0,原不等式可化為flog2(x2+5x+4)f(2)。 又f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，f(x)在(,0)上為減函數(shù)且f(2)=f(2)=0。不等式可化為log2(x2+5x

12、+4)2或log2(x2+5x+4)2由得x2+5x+44，x5或x0由得0x2+5x+4得x4或1x由得原不等式的解集為x|x5或x4或1x或x0。例10已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)在0，+上是增函數(shù)，是否存在實數(shù)m，使f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)對所有0,都成立？若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由。解：f(x)是R上的奇函數(shù)，且在0，+上是增函數(shù)，f(x)是R上的增函數(shù)，于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為f(cos23)f(2mcos4m)，即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m20。設t=cos,則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=

13、t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在0，1上的最小值為正。當0,即m0m1與m042m4+2，421,即m2時，g(1)=m10m1。m2綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m42。另法(僅限當m能夠解出的情況)： cos2mcos+2m20對于0,恒成立，等價于m(2cos2)/(2cos) 對于0,恒成立當0,時，(2cos2)/(2cos) 42，m42。點評：上面兩例子借助于函數(shù)的單調(diào)性處理了恒成立問題和不等式的求解問題。題型六：最值問題例11（2002全國理，21）設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+|xa|+1，xR。（1）討論f（x）

14、的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。解：（1）當a=0時，函數(shù)f（x）=（x）2+|x|+1=f（x），此時f（x）為偶函數(shù)。當a0時，f（a）=a2+1，f（a）=a2+2|a|+1，f（a）f（a），f（a）f（a）。此時函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。（2）當xa時，函數(shù)f（x）=x2x+a+1=（x）2+a+。若a，則函數(shù)f（x）在（，a）上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f（x）在（，a）上的最小值為f（a）=a2+1。若a，則函數(shù)f（x）在（，a上的最小值為f（）=+a，且f（）f（a）。當xa時，函數(shù)f（x）=x2+xa+1=（x+）2a+。若a，則函數(shù)f（x）在a，+上的最小值為f

15、（）=a，且f（）f（a）。若a，則函數(shù)f（x）在a，+上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)f（x）在a，+上的最小值為f（a）=a2+1。綜上，當a時，函數(shù)f（x）的最小值是a。當a時，函數(shù)f（x）的最小值是a2+1。當a時，函數(shù)f（x）的最小值是a+。點評：函數(shù)奇偶性的討論問題是中學數(shù)學的基本問題，如果平時注意知識的積累，對解此題會有較大幫助.因為xR，f（0）=|a|+10，由此排除f（x）是奇函數(shù)的可能性.運用偶函數(shù)的定義分析可知，當a=0時，f（x）是偶函數(shù)，第2題主要考查學生的分類討論思想、對稱思想。例12設m是實數(shù)，記M=m|m1，f(x)=log3(x24mx+4m2+m+)。(1)證明：當

16、mM時，f(x)對所有實數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則mM；(2)當mM時，求函數(shù)f(x)的最小值；(3)求證：對每個mM,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1。 (1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log3(x2m)2+m+,當mM時，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定義域為R。反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則只須x24mx+4m2+m+0。令0，即16m24(4m2+m+)0，解得m1，故mM。(2)解析：設u=x24mx+4m2+m+，y=log3u是增函數(shù)，當u最小時，f(x)最小。而u=(x2m)2+m+，顯然，當x=m時，u取最小值為m+，此

17、時f(2m)=log3(m+)為最小值。(3)證明：當mM時，m+=(m1)+ +13，當且僅當m=2時等號成立。log3(m+)log33=1。點評：該題屬于函數(shù)最值的綜合性問題，考生需要結合對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)來進行處理。題型七：周期問題例13若y=f(2x)的圖像關于直線和對稱，則f(x)的一個周期為（ ）A B C D解：因為y=f(2x)關于對稱，所以f(a+2x)=f(a2x)。所以f(2a2x)=fa+(a2x)=fa(a2x)=f(2x)。同理，f(b+2x) =f(b2x)，所以f(2b2x)=f(2x)，所以f(2b2a+2x)=f2b(2a2x)=f(2a2x)=f

18、(2x)。所以f(2x)的一個周期為2b2a，故知f(x)的一個周期為4(ba)。選項為D。點評：考察函數(shù)的對稱性以及周期性，類比三角函數(shù)中的周期變換和對稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a和x=b對稱（ab），則這個函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為2（ba）。例14已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值。證明：；求的解析式；求在上的解析式。解：是以為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，。當時，由題意可設，由得，。是奇函數(shù)，又知在上是一次函數(shù)，可設，而，當時，從而當時，故時，。當時，有，。當時，。點評：該題屬于普通函數(shù)周期性應用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征。五思維總結1判斷函