1、學案4 直線與圓、圓與圓 的 位置關系,考點一,考點二,考點三,考點四,返回目錄,1.直線與圓的位置關系 （1）直線與圓的位置關系可分為三種： 、 、 . （2）判定直線與圓的位置關系主要有兩種方法：方法一是把圓的方程和直線的方程聯(lián)立成方程組，利用判別式來討論位置.,相交,相離,相切,0 直線和圓 . =0 直線和圓 . 0 直線和圓 .,關系：,相交,相切,相離,方法二是把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較. dR直線和圓 .,相交,相切,相離,返回目錄,2.圓的切線問題 (1)圓x2+y2=r2的斜率為k的切線方程 是 . (2)過圓x2+y2+Dx+Ey+F=0上一點P(x0,y0

2、)的切線 方程為 . (3)若點P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)上，則 過點P的切線方程為 .,返回目錄,3.圓與圓的位置關系 (1)圓與圓的位置關系可分為五種: 、 、 、 、 . (2)判斷圓與圓的位置關系常用幾何法: 設O1的半徑為r1,O2的半徑為r2，兩圓的圓心距為d,當|r1-r2|dr1+r2時，兩圓 ; 當r1+r2=d時， 兩圓 ; 當|r1-r2|=d時， 兩圓 ; 當r1+r2d時， 兩圓 ; 當|r1-r2|d時，兩圓 .,內(nèi)含,外離 相交 外切 內(nèi)切 內(nèi)含,相交,外切,內(nèi)切,外離,返回目錄,已知圓x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2

3、-2m-24=0（mR）. (1)求證：不論m為何值，圓心在同一直線l上； (2)與l平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離； (3)求證：任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截 得的弦長相等.,考點一 直線與圓的位置關系,返回目錄,【分析】 用配方法將圓的一般方程配成標準方程，求出圓心坐標，消去m就得關于圓心的坐標間的 關系，就是圓心的軌跡方程；判斷直線與圓相交、 相切、相離 ， 只需比較圓心到直線的距離d與圓半徑的大小即可；證明弦長相等時，可用幾何法計算弦長.,【解析】 （1）證明：配方得（x-3m）2+y-(m-1)2=25, x=3m y=m-1， l：x-3y-3=0，則圓心恒在直

4、線l：x-3y-3=0上.,消去m得,設圓心為（x，y），則,返回目錄,（2）設與l平行的直線是l1：x-3y+b=0， 則圓心到直線l1的距離為 d= 圓的半徑為r=5， 當dr,即-5 -3b5 -3時，直線與圓相交； 當d=r，即b=5 -3時，直線與圓相切； 當dr,即b-5 -3或b5 -3時，直線與圓相離.,（3）證明：對于任一條平行于l且與圓相交的直線 l1：x-3y+b=0，由于圓心到直線l1的距離 d= ， 弦長=2 且r和d均為常量. 任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等.,返回目錄,返回目錄,判斷直線與圓的位置關系可以看成它們構成的方程組有無實數(shù)解，也可以

5、根據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關系進行判斷. 求圓的弦長有多種方法：一是直接求出直線與圓的交點坐標，再利用兩點間的距離公式得出；二是不求交點坐標 ， 利用一元二次方程根與系數(shù)的 關 系得出，即設直線的斜率為k，直線與圓聯(lián)立消去y后所得方程兩根為x1，x2，則弦長d= |x1-x2|；三是利用圓中半弦長、弦心距及半徑構成的直角三角形來求.對于圓中的弦長問題，一般利用第三種方法比較簡捷.本題所用方法就是第三種方法.,對應演練,已知圓 x2+y2=8，定點P（4，0）， 問 過P點直線的斜 率在什么范圍內(nèi)取值時 ，這條直線與已知圓 （1） 相切，（2）相交，（3）相離？并寫出過P點的切線方程.,解法

6、一:設過P點的直線的斜率為k（由題意知k存在），則其方程為y=k(x-4). y=k(x-4) x2+y2=8 即(1+k2)x2-8k2x+16k2-8=0, =(-8k2)2-4(1+k2)(16k2-8)=32(1-k2).,返回目錄,消去y，得,x2+k2(x-4)2=8,由,(1)令=0，即32(1-k2)=0, 當k=1時，直線與圓相切，切線方程為x-y-4=0或x+y-4=0. (2)令0，即32(1-k2)0,解得-1k1， 當-1k1時，直線與圓相交. (3)令0，即32(1-k2)0,解得k1或k-1, 當k-1或k1時，直線與圓相離.,返回目錄,返回目錄,解法二:設圓心到

7、直線的距離為d，則 (1)d=r，即 = ,k2=1, k=1時直線與圓相切，其切線方程為x-y-4=0或x+y-4=0. (2)dr,即 , k21，即-1k1時直線與圓相交. (3)dr，即 , k21,即k-1或k1時直線與圓相離.,已知圓O:(x-1)2+(y-2)2=4，求過點P(-1,5)的圓的切線方程.,【分析】用待定系數(shù)法，設切線方程為y-5=k(x+1)， 則圓心到直線的距離等于圓半徑，解之即可.,考點二 直線與圓相切問題,返回目錄,【解析】設切線方程為y-5=k(x+1)（當斜率存在時），即kx-y+k+5=0.由圓心到切線的距離等于半徑，得 ,解得k=- . 切線方程為5

8、x+12y-55=0. 又點P在圓O外，過圓外一點可作圓的兩條切線, 還有一條切線為x=-1.,返回目錄,返回目錄,求過一定點的圓的切線方程，首先必須判斷這點是否在圓上.若在圓上，則該點為切點；若在圓外 ，切線應有兩條. 一般用“圓心到切線的距離等于半徑長”來解較為簡單.若求出的斜率只有一個 ， 應找出過這一點與x軸垂直的另一條切線.,返回目錄,對應演練,已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=2,P點為(2,-1)，過點P作圓C的切線，切點為A,B. （1）求直線PA,PB的方程； （2）求切線PA的長； （3）求過兩點A,B的直線方程； （4）求弦長|AB|.,返回目錄,（1）由題意可設圓的

9、切線方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0，由圓心C(1,2)到切線的距離為半徑2, 即 k2-6k+7=0, 解之得k=7或k=-1. 因而所求切線方程為7x-y-15=0或x+y-1=0.,（2）在RtPCA中，|PA|2=|PC|2-|AC|2=8， |PA|=2 . （3）以P為圓心，|PA|長為半徑的圓的方程為 (x-2)2+(y+1)2=8，則線段AB為兩圓的公共弦，由圓系知，公共弦所在直線AB的方程為x-3y+3=0. （4）圓心(1,2)到弦AB的距離d= ,圓 半徑的平方r2=2,由平面幾何知識得 |AB|=,返回目錄,返回目錄,a為何值時,兩圓x2+y2-2a

10、x+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0, (1)相切;(2)相交;(3)相離.,考點三 圓與圓的位置關系,【分析】用兩圓的圓心距d和兩圓半徑的和及差的 絕對值比較大小.,【解析】將兩圓方程化為標準方程： (x-a)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-a)2=4. 設兩圓圓心距為d, 則d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. (1)當d=5,即2a2+6a+5=25時兩圓外切, 此時a=-5或a=2; 當d=1,即2a2+6a+5=1時,兩圓內(nèi)切, 此時a=-1或a=-2.,返回目錄,返回目錄,(2)當15,即2a2+6a+525時,兩圓相離, 此時

11、a2或a-5.,圓和圓的位置關系,從交點個數(shù)也就是方程組解的個數(shù)來判斷,有時得不到確切的結論.比如兩圓只有一個交點時,固然相切.但是內(nèi)切還是外切呢 ? 就不清了,所以判斷兩圓的位置關系 , 通常還是從圓心距d與兩圓半徑R,r的關系下手.,返回目錄,返回目錄,對應演練,已知圓C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，圓C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0，m為何值時，（1）圓C1與圓C2相外切；（2）圓C1與圓C2內(nèi)含？,對于圓C1與圓C2的方程，經(jīng)配方后 C1：（x-m）2+（y+2）2=9； C2：（x+1）2+（y-m）2=4. （1）如果C1與C2外切，則有 即（m+1）2+

12、（m+2）2=25. m2+3m-10=0，解得m=-5或m=2.,（2）如果C1與C2內(nèi)含，則有 (m+1)2+(m+2)21,m2+3m+20, 得-2m-1, 當m=-5或m=2時，圓C1與圓C2外切； 當-2m-1時，圓C1與圓C2內(nèi)含.,返回目錄,返回目錄,考點四 直線與圓相交的有關問題,已知點P（0，5）及圓C：x2+y2+4x-12y+24=0. （1） 若直線l過P且被圓C截得的線段長為4 ，求l的方程； （2）求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程.,【分析】（1）根據(jù)弦長求法，求直線方程中的參 數(shù).（2）由垂直關系找等量關系.,返回目錄,【解析】（1）解法一：如圖所示，AB=4

13、 ，D是AB的中點，CDAB，AD=2 ，圓x2+y2+4x-12y+24=0可化為（x+2）2+（y-6）2=16，圓心C（-2，6），半徑r=4，故AC=4，在RtACD中，可得CD=2.,設所求直線的斜率為k，則直線的方程為y-5=kx， 即kx-y+5=0.由點C到直線AB的距離公式：,，得k= . 此時直線l的方程為3x-4y+20=0. 又直線l的斜率不存在時，此時方程為x=0. 則y2-12y+24=0，y1=6+2 ，y2=6-2 ， y2-y1=4 ，故x=0滿足題意. 所求直線的方程為3x-4y+20=0或x=0.,返回目錄,解法二：設所求直線的斜率為k，則直線的方程為 y

14、-5=kx，即y=kx+5. y=kx+5 x2+y2+4x-12y+24=0， 消去y得（1+k2）x2+（4-2k）x-11=0. 設方程的兩根為x1，x2， x1+x2= x1x2= . ,返回目錄,聯(lián)立直線與圓的方程,由根與系數(shù)的關系得,由弦長公式得 |x1-x2| = , 將式代入，解得k= , 此時直線的方程為3x-4y+20=0. 又k不存在時也滿足題意，此時直線方程為x=0. 所求直線的方程為x=0或3x-4y+20=0. (2)設過P點的圓C的弦的中點為D（x，y）， 則CDPD，即CDPD=0， （x+2，y-6）（x，y-5）=0，化簡得所求軌跡方程為x2+y2+2x-1

15、1y+30=0.,返回目錄,在研究弦長及弦中點問題時，可設弦AB兩端點的坐標分別為A（x1，y1）,B（x2，y2）.（1）若OAOB（O為原點），則可轉(zhuǎn)化為x1x2+y1y2=0，再結合根與系數(shù)的關系等代數(shù)方法簡化運算過程，這在解決垂直關系問題中是常用的；（2）若弦AB的中點為（x0,y0），圓的方程為x2+y2=r2，則 該法叫平方差法，常用來解決與弦的中點、直線的斜率有關的問題.,返回目錄,對應演練,設圓上的點A（2，3）關于直線x+2y=0的對稱點仍在圓上，且與直線x-y+1=0相交的弦長為2 ，求圓的方程.,設圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2. 設所求圓的圓心為（a，b），

16、半徑為r. 點A（2，3）關于直線x+2y=0的對稱點A仍在這個圓上， 圓心（a，b）在直線x+2y=0上，a+2b=0， (2-a)2+(3-b)2=r2. ,返回目錄,又直線x-y+1=0截圓所得的弦長為2 ， r2- 解由方程組成的方程組得 b=-3 b=-7, a=6 a=14, r2=52 r2=244. 所求圓的方程為 （x-6）2+（y+3）2=52或（x-14）2+（y+7）2=244.,返回目錄,或,返回目錄,1.過圓外一點M可以作兩條直線與圓相切，其直線方程的求法有兩種： （1）用待定系數(shù)法設出直線方程，再利用圓心到切線的距離等于半徑列出關系式求出切線的斜率，進而求得直線方程. （2）用待定系數(shù)法設出直線方程，再利用直線與圓相切時交點唯一列出關系式,求出切線的斜率，進而求得直線方程. 2.若兩圓相交時，把兩圓的方程作差消去x2和y2 就得