1、,一、向量組的秩和最大無關(guān)組,3.2 向量組的秩和最大無關(guān)組,二、等價向量組,一、向量組的秩和最大無關(guān)組,設(shè) A 為一 n 維向量組( A 0), 則 A 的任一線性無關(guān) 部分組所含向量個數(shù)不多于 n 個.,提示:,這是因為,當 s n 時, n 維向量組 a1, , as 線性相關(guān).,A 的線性無關(guān)部分組所含向量個數(shù)存在最大值:,存在正整數(shù) r, 使得 A 中有 r 個向量線性無關(guān), 而 A 中 任意多于 r 個向量(若存在的話)線性相關(guān).,向量組的秩,設(shè) A 為一向量組, A 的線性無關(guān)部分組所含向量個數(shù) 的最大值 r, 稱為向量組 A 的秩, 記為 R(A).,規(guī)定0的秩為 0.,向量組

2、的最大無關(guān)組,設(shè)向量組 A 的秩為 r, 如果 a1, , ar 為 A 的一個線性 無關(guān)部分組, 那么稱 a1, , ar 為 A 的一個最大無關(guān)組.,最大無關(guān)組的性質(zhì),設(shè) A 為一向量組, 則部分組 a1, , ar 為 A 的一個最大 無關(guān)組的充分必要條件是,(2) A 中任一向量可由 a1, , ar 線性表示.,(1) a1, , ar 線性無關(guān);,必要性:,提示:,則向量 b 可由 a1, , ar 線性表示.,設(shè)向量組 a1, , ar 線性無關(guān),若 a1, , ar, b 線性相關(guān),從略.,向量組的最大無關(guān)組,設(shè)向量組 A 的秩為 r, 如果 a1, , ar 為 A 的一個線

3、性 無關(guān)部分組, 那么稱 a1, , ar 為 A 的一個最大無關(guān)組.,最大無關(guān)組的性質(zhì),設(shè) A 為一向量組, 則部分組 a1, , ar 為 A 的一個最大 無關(guān)組的充分必要條件是,(2) A 中任一向量可由 a1, , ar 線性表示.,(1) a1, , ar 線性無關(guān);,于是,設(shè) b1, , bs 為 A 中向量, s r.,充分性:,存在數(shù) kij , 使得,故 b1, , bs 線性相關(guān).,因此 r 為秩, a1, , ar 為最大無關(guān)組.,例1 設(shè) x1, , xn-r (r = R(A)為 n 元方程組 Ax = 0 的一個 基礎(chǔ)解系, S 為 Ax = 0 的解集, 則,因為

4、基礎(chǔ)解系線性無關(guān),且 S 中的任一向量可由基礎(chǔ)解系,線性表示,所以基礎(chǔ)解系是 S 的一個最大無關(guān)組.,n 元方程組 Ax = 0 的解集 S 的秩等于 n - R(A).,Ax = 0 的解集 S 的一個最大無關(guān)組也即基礎(chǔ)解系.,證明,若 x 滿足 Ax = 0,則 ATAx = 0.,若 x 滿足 ATAx = 0,則 xTATAx = 0,即 (Ax)T(Ax) = 0,設(shè) aT = (a1, , an ), 則,提示:,綜上可知 Ax = 0 與 ATAx = 0 同解.,從而 Ax = 0.,例2 證明,設(shè)其解集為 S, 則,其中 n 為未知元的個數(shù).,初等行變換保持矩陣的列向量組的線

5、性關(guān)系.,證明,設(shè)矩陣 A 經(jīng)初等行變換化為矩陣 B.,設(shè)矩陣 A 的列向量組有一線性關(guān)系,因矩陣 A 與 B 行等價,故方程組 Ax = 0 與 Bx = 0 同解.,由此可知也有,定理1,記,易知 b1, b2, b3, b4, b5 的秩為3,定理1,初等行變換保持矩陣的列向量組的線性關(guān)系.,例3 設(shè),且有,且有,行最簡形矩陣的秩等于它的列向量組的秩.,矩陣的秩等于它的(行)列向量組的秩.,注: R(a1, , am) 既表示向量組的秩, 也表示矩陣的秩.,一個最大無關(guān)組為 b1, b2, b4,因此 a1, a2, a3, a4, a5 的秩為3,一個最大無關(guān)組為 a1, a2, a4

6、,秩與最大無關(guān)組的一個算法,化矩陣 A 為行最簡形 A0, 通過觀察 A0, 便知 A 的列向 量組的秩和一個特定的最大無關(guān)組, 以及 A 的其余列向量 在該最大無關(guān)組下的線性表示.,易知 b1, b2, b3, b4, b5 的秩為3,例3 設(shè),且有,且有,一個最大無關(guān)組為 b1, b2, b4,因此 a1, a2, a3, a4, a5 的秩為3,一個最大無關(guān)組為 a1, a2, a4,解,且有,例4 設(shè),(1) 求 a1, a2, a3, a4 的秩和一個最大無關(guān)組;,(2) 求其余向量在此最大無關(guān)組下的線性表示.,化矩陣 (a1, a2, a3, a4) 為行最簡形:,向量組 a1,

7、a2, a3, a4 的秩為2,一個最大無關(guān)組為a1, a2,若向量組 B 中的任一向量都可由向量組 A中的向量線 性表示, 就稱向量組 B 可由向量組 A 線性表示.,等價向量組,可以相互線性表示的兩個向量組, 稱等價向量組.,向量組的等價具有反身性、對稱性和傳遞性.,向量組的線性表示具有傳遞性:,線性表示,若向量組 C 可由向量組 B 線性表示, 向量組 B 可由向 量組 A 線性表示, 則向量組 C 可由向量組 A 線性表示.,二、等價向量組,向量組與其最大無關(guān)組等價.,若 R(A) R(A, B) r,證明,設(shè) a1, , ar 為向量組 A 的一個最大無關(guān)組.,向量組 B 也可由 a

8、1, , ar 線性表示.,因此 a1, , ar 為向量組 (A, B) 的一個最大無關(guān)組,因向量組 A 可由 a1, , ar 線性表示,線性表示的傳遞性知,向量組 B 可由向量組 A 線性表示的充分必要條件是,定理3,其中 (A, B) 表示向量組 A 與 B 的并集構(gòu)成的向量組.,必要性:,故由向量組,從而,當然向量組 B 可由 a1, , ar 線性表示,的一個最大無關(guān)組,充分性:,則 a1, , ar 為向量組(A, B),從而向量組 B 可由向量組 A 線性表示.,定理4,向量組 A 與向量組 B 等價的充分必要條件是,向量組 B 可由向量組 A 線性表示的充分必要條件是,定理3,其中 (A, B) 表示向量組 A 與 B 的并集構(gòu)成的向量組.,所以 R(A) R(A, B) 2.,證