1、深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部2020學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題時(shí)間：120分鐘 滿分：150分 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求。1拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是ABCD2若，構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是A，B，C，D，3方程表示的曲線是A一個(gè)點(diǎn)B一條直線C兩條直線D雙曲線4如圖1，在平行六面體中，與的交點(diǎn)為設(shè)，則下列向量中與相等的向量是ABCD5橢圓與橢圓（）的 圖1A長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B短軸長(zhǎng)相等C離心率相等D焦距相等6設(shè)平面與平面的夾角為，若平面，的法向量分別為和，則ABCD7與圓及圓都外切的圓的圓心在A圓上B橢圓上C拋物線上D雙曲線的

2、一支上8以，為頂點(diǎn)的三角形是A等邊三角形B銳角三角形C鈍角三角形D等腰直角三角形9已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在直線上，則的最小值是ABCD10在直三棱柱中，分別是，的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值是ABCD11已知雙曲線（，）的離心率，若，是雙曲線上任意三點(diǎn)，且，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則直線，的斜率之積為ABCD12已知空間直角坐標(biāo)系中，是單位球內(nèi)一定點(diǎn)，是球面上任意三點(diǎn)，且向量，兩兩垂直，若（注：以表示點(diǎn)的坐標(biāo)），則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是A為球心，為半徑的球面B為球心，為半徑的球面C為球心，為半徑的球面D為球心，為半徑的球面二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13雙曲線上一點(diǎn)與它的一個(gè)焦點(diǎn)間的距離等于1

3、，那么點(diǎn)與另一個(gè)焦點(diǎn)間的距離等于 14，是從點(diǎn)出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為，那么直線與平面所成角的余弦值是 15圖2為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為已知禮物的質(zhì)量為，每根繩子的拉力大小相同，則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為 （注：重力加速度取，精確到） 圖216已知橢圓，一組平行直線的斜率是，當(dāng)它們與橢圓相交時(shí)，這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)軌跡方程是 三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟17（本小題滿分10分）已知空間三點(diǎn)，（1）求以，為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）若向量

4、分別與，垂直，且，求向量的坐標(biāo)18（本小題滿分12分）設(shè)拋物線（）上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為，到軸的距離為（1）求拋物線的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)位于第一象限，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求證：19（本小題滿分12分）如圖3，在三棱錐中，是的重心（三條中線的交點(diǎn)），是空間任意一點(diǎn)（1）用向量，表示，并證明你的結(jié)論；（2）設(shè)，請(qǐng)寫出點(diǎn)在的內(nèi)部（不包括邊界）的充分必要條件（不必給出證明）圖320（本小題滿分12分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線：的距離的比是定值（其中，）（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）當(dāng)，變化時(shí)，指出（1）中軌跡方程表示的曲線形狀21（本小題滿分12分）如圖4，四邊形為梯形，四邊形為矩形

5、，平面平面，為的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的大小圖422（本小題滿分12分）已知直線：經(jīng)過橢圓：（）右焦點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的斜率為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求橢圓的方程；（2）若直線與圓：（）相切，且圓的動(dòng)切線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部2020學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求。題號(hào)123456789101112答案DCCADBDDBABB12解：選擇B由得，即又，兩兩垂直，所以是以，為三條相鄰棱的長(zhǎng)方體中與頂點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)由，

6、得（*）又，所以，同理，三式相加，得，代入（*）式，得，即（定值）所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為球心，為半徑的球面注：本題也可以采用排除法分別考慮與重合和點(diǎn)在球面上兩種極端情形，研究即得答案二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13 17 14 15 1.41（N） 16注：1、第15小題中，無(wú)單位（N）不扣分；（2）第16小題中，未注明不給分三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟17（本小題滿分10分）已知空間三點(diǎn)，（1）求以，為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）若向量分別與，垂直，且，求向量的坐標(biāo)解：（1）由已知，1分所以，；2分3分故以，為鄰邊的

7、平行四邊形的面積等于5分（2）設(shè)，由已知，得6分7分 8分所以，向量或 10分18（本小題滿分12分）設(shè)拋物線（）上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為，到軸的距離為（1）求拋物線的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)位于第一象限，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求證：解：（1）由拋物線的定義知，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，1分即有2分解之，得， 3分所以，拋物線的方程為， 4分點(diǎn)的坐標(biāo)為或 6分證明：（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，7分解之，得或，即，或，10分又，所以故12分注：1、點(diǎn)，的坐標(biāo)只需寫出一組；2、也可以利用根與系數(shù)的關(guān)系證明（略）19（本小題滿分12分）如圖3，在三棱錐中，是的重心（三條中線的交點(diǎn)），是空間任意一點(diǎn)（1）

8、用向量，表示，并證明你的結(jié)論；（2）設(shè)，請(qǐng)寫出點(diǎn)在的內(nèi)部（不包括邊界）的充分必要條件（不必給出證明）解：（1）2分證明如下： 4分 6分 7分 圖3（2）設(shè)，則點(diǎn)在的內(nèi)部（不包括邊界）的充分必要條件是：，9分且，12分20（本小題滿分12分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線：的距離的比是定值（其中，）（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）當(dāng)，變化時(shí)，指出（1）中軌跡方程表示的曲線形狀解：（1）設(shè)，由已知，得2分所以，兩邊平方，得， 化簡(jiǎn)，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為5分（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，（1）中軌跡方程化為，它表示的曲線是直線軸；7分當(dāng)時(shí)，（1）中軌跡方程化為，它表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸

9、長(zhǎng)為的橢圓；9分當(dāng)時(shí)，（1）中軌跡方程化為，它表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為的雙曲線 12分21（本小題滿分12分）如圖4，四邊形為梯形，四邊形為矩形，平面平面，為的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的大小證明：（1）（法1）連結(jié)與相交于，連結(jié)1分因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為中點(diǎn) 圖4又為的中點(diǎn)，所以，在中，3分平面5分（法2）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，且為的中點(diǎn)，所以1分3分從而與，是共面向量又平面，所以平面5分解：（2）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以又平面平面，平面，平面平面，所以平?分而，所以，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖5 圖5設(shè)，由已知，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，且，所以，且，即，取，得，即同理，可求得平面的一個(gè)法向量為 10分所以，平面與平面的夾角為 12分22（本小題滿分12分）已知直線：經(jīng)過橢圓：（）右焦點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的斜率為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求橢圓的方程；（2）若直線與圓：（）相切，且圓的動(dòng)切線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值解：（1）設(shè)，則，兩式相減并整理，得，即所以 2分又直線：與軸的交點(diǎn)為，由已知，得3分聯(lián)立，解得，所以，橢