1、1.2橢圓的簡單性質(zhì)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進一步鞏固橢圓的簡單性質(zhì).2.掌握直線與橢圓位置關(guān)系等相關(guān)知識.知識點一點與橢圓的位置關(guān)系思考1判斷點P(1,2)與橢圓y21的位置關(guān)系.思考2類比點與圓的位置關(guān)系的判定，你能給出點P(x0，y0)與橢圓1(ab0)的位置關(guān)系的判定嗎？梳理設(shè)P(x0，y0)，橢圓1(ab0)，則點P與橢圓的位置關(guān)系如下表所示：位置關(guān)系滿足條件P在橢圓外1P在橢圓上1P在橢圓內(nèi)b0)的位置關(guān)系？梳理(1)判斷直線和橢圓位置關(guān)系的方法將直線的方程和橢圓的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程.若0，則直線和橢圓_；若0，則直線和橢圓_；若b0)相交，兩個交點為A(x1

2、，y1)、B(x2，y2)，則線段AB叫作直線l截橢圓所得的弦，線段AB的長度叫作_.下面我們推導(dǎo)弦長公式：由兩點間的距離公式，得|AB|，將y1kx1m，y2kx2m代入上式，得|AB|x1x2|，而|x1x2|，所以|AB|，其中x1x2與x1x2均可由根與系數(shù)的關(guān)系得到.(3)直線和橢圓相交是三種位置關(guān)系中最重要的，判斷直線和橢圓相交可利用0.例如，直線l：yk(x2)1和橢圓1.無論k取何值，直線l恒過定點(2,1)，而定點(2,1)在橢圓內(nèi)部，所以直線l必與橢圓相交.類型一點、直線與橢圓位置關(guān)系的判斷命題角度1點與橢圓位置關(guān)系的判斷例1已知點P(k,1)，橢圓1，點在橢圓外，則實數(shù)k

3、的取值范圍為_.引申探究若將本例中P點坐標(biāo)改為“(1，k)”呢？反思與感悟處理點與橢圓位置關(guān)系問題時，緊扣判定條件，然后轉(zhuǎn)化為解不等式等問題，注意求解過程與結(jié)果的準(zhǔn)確性.跟蹤訓(xùn)練1已知點(3,2)在橢圓1(ab0)上，則()A.點(3，2)不在橢圓上 B.點(3，2)不在橢圓上C.點(3,2)在橢圓上 D.以上都不正確命題角度2直線與橢圓位置關(guān)系的判斷例2(1)直線ykxk1與橢圓1的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切C.相離 D.不確定(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個不同的交點P和Q.求k的取值范圍.反思與感悟直線與橢圓的位置關(guān)系判別方法(代數(shù)

4、法)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到一元二次方程(1)0直線與橢圓相交有兩個公共點.(2)0直線與橢圓相切有且只有一個公共點.(3)0直線與橢圓相離無公共點.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知直線l過點(3，1)，且橢圓C：1，則直線l與橢圓C的公共點的個數(shù)為()A.1 B.1或2 C.2 D.0(2)若直線ykx2與橢圓1相切，則斜率k的值是()A. B.C. D.類型二弦長及中點問題例3已知橢圓1的弦AB的中點M的坐標(biāo)為(2,1)，求直線AB的方程.引申探究在本例中求弦AB的長.反思與感悟直線與橢圓的交點問題，一般考慮直線方程與橢圓方程組成的方程組的解的問題，即判斷消元后所得的一元二次方程的根的判別式.解

5、決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式.而用弦長公式時，若能結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系“設(shè)而不求”，可大大簡化運算過程.跟蹤訓(xùn)練3已知橢圓1和點P(4,2)，直線l經(jīng)過點P且與橢圓交于A、B兩點.(1)當(dāng)直線l的斜率為時，求線段AB的長度；(2)當(dāng)點P恰好為線段AB的中點時，求l的方程.類型三橢圓中的最值(或范圍)問題例4已知橢圓4x2y21及直線yxm.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程.反思與感悟求最值問題的基本策略(1)求解形如|PA|PB|的最值問題，一般通過橢圓的定義把折線轉(zhuǎn)化為直線，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時|PA|PB|取得最值.(2)求解形如|PA

6、|的最值問題，一般通過二次函數(shù)的最值求解，此時一定要注意自變量的取值范圍.(3)求解形如axby的最值問題，一般通過數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為直線問題解決.(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍.跟蹤訓(xùn)練4已知動點P(x，y)在橢圓1上，若點A的坐標(biāo)為(3,0)，|1，且0，求|的最小值.1.若點A(a,1)在橢圓1的內(nèi)部，則a的取值范圍是()A.a B.aC.2a2 D.1a，故點在橢圓外.思考2當(dāng)P在橢圓外時，1；當(dāng)P在橢圓上時，1；當(dāng)P在橢圓內(nèi)時，0相切一解0相離無解0，解得k.即k的取值范圍為.跟蹤訓(xùn)練2(1)C(2)C例3解方法一根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式法由橢圓的對稱性，知

7、直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y1k(x2).將其代入橢圓方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩根，于是x1x2.又M為線段AB的中點，2，解得k.故所求直線的方程為x2y40.方法二點差法設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2.M(2,1)為線段AB的中點，x1x24，y1y22.又A，B兩點在橢圓上，則x4y16，x4y16，兩式相減，得(xx)4(yy)0，于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.，即kAB.故所求直線的方程為x2y40.方法三對稱點法(或共線法

8、)設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為A(x，y)，由于點M(2,1)為線段AB的中點，則另一個交點為B(4x,2y).A，B兩點都在橢圓上，得x2y40.即點A的坐標(biāo)滿足這個方程，根據(jù)對稱性，點B的坐標(biāo)也滿足這個方程，而過A，B兩點的直線只有一條，故所求直線的方程為x2y40.引申探究解由上例得直線AB方程為x2y40.聯(lián)立方程組消去y并整理，得x(x4)0，得x0或x4，得兩交點坐標(biāo)A(0,2)，B(4,0)，故|AB|2.跟蹤訓(xùn)練3解(1)由已知可得直線l的方程為y2(x4)，即yx.由消去y可得x2180，若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).則x1x20，x1x218.于是|AB| 63.

9、所以線段AB的長度為3.(2)方法一設(shè)l的斜率為k，則其方程為y2k(x4).聯(lián)立消去y得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0.若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，由于AB的中點恰好為P(4,2)，所以4，解得k，且滿足0.這時直線的方程為y2(x4)，即x2y80.方法二設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式相減得0，整理得kAB由于P(4,2)是AB的中點，x1x28，y1y24，于是kAB，于是直線AB的方程為y2(x4)，即x2y80.例4解(1)由得5x22mxm210，因為直線與橢圓有公共點， 所以4m220(m21)0，解得m.(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由(1)知：5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB| .所以當(dāng)m0時，|AB|最大，此時直線方程為yx.跟蹤訓(xùn)練4解由|1，A(3,0)，知點M在以A(3,0)為圓心，1為半徑的圓上運動，0且P在橢圓上運動，PMAM，即PM為A的切線，連接PA(如圖)，則| ，當(dāng)|minac532時，|min.當(dāng)堂訓(xùn)練1.A2.C3.24.(2,2)5.解設(shè)直線l與橢圓的交點為M(x1，y