1、2.2.1橢圓的標準方程(一)學(xué)習(xí)目標1.了解橢圓的實際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程、橢圓標準方程的推導(dǎo)與化簡過程.2.掌握橢圓的定義、標準方程及幾何圖形知識點一橢圓的定義思考1給你兩個圖釘、一根無彈性的細繩、一張紙板，一支鉛筆，如何畫出一個橢圓？思考2在上述畫橢圓過程中，筆尖移動需滿足哪些條件？如果改變這些條件，筆尖運動時形成的軌跡是否還為橢圓？梳理(1)我們把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于_(大于|F1F2|)的點的軌跡(或集合)叫做_這兩個定點叫做橢圓的_，兩焦點間的距離叫做橢圓的_(2)橢圓的定義用集合語言敘述為：PM|MF1|MF2|2a，2a|F1F2|(3)2

2、a與|F1F2|的大小關(guān)系所確定的點的軌跡如下表：條件結(jié)論2a|F1F2|動點的軌跡是橢圓2a|F1F2|動點的軌跡是線段F1F22abc一定成立嗎？思考2若兩定點A、B間的距離為6，動點P到兩定點的距離之和為10，如何求出點P的軌跡方程？梳理(1)橢圓標準方程的兩種形式焦點位置標準方程焦點焦距焦點在x軸上1(ab0)F1(c，0)，F(xiàn)2_2c焦點在y軸上1(ab0)F1_，F(xiàn)2(0，c)2c(2)橢圓的標準方程與其在坐標系中的位置的對應(yīng)關(guān)系橢圓在坐標系中的位置標準方程1(ab0)1(ab0)焦點坐標F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系b2a2c2(3)

3、根據(jù)方程判斷橢圓的焦點位置及求焦點坐標判斷橢圓焦點在哪個軸上就要判斷橢圓標準方程中x2項和y2項的分母哪個更大一些，即“誰大在誰上”如方程為1的橢圓，焦點在y軸上，而且可求出焦點坐標F1(0，1)，F(xiàn)2(0，1)，焦距|F1F2|2.類型一橢圓的定義解讀例1點P(3，0)是圓C：x2y26x550內(nèi)一定點，動圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點，判斷圓心M的軌跡反思與感悟橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視定義中到兩定點的距離之和是常數(shù)，而不能是變量常數(shù)(2a)必須大于兩定點間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷曲線是否為橢圓的限制條件跟蹤訓(xùn)練1下列命題是真命題的是_(將所有真命題的序號都

4、填上)已知定點F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，則滿足|PF1|PF2|的點P的軌跡為橢圓；已知定點F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，則滿足|PF1|PF2|4的點P的軌跡為線段；到定點F1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)的距離相等的點的軌跡為橢圓類型二求橢圓的標準方程命題角度1用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程例2求焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點P(，)，Q(0，)的橢圓的標準方程引申探究求與橢圓1有相同焦點，且過點(3，)的橢圓方程反思與感悟(1)若橢圓的焦點位置不確定，需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓方程為mx2ny21(mn，m0，n0)(2)與橢圓1(ab0)有公共焦點的橢圓方程為1

5、(ab0，b2)，與橢圓1(ab0)有公共焦點的橢圓方程為1(ab0，b2)跟蹤訓(xùn)練2求適合下列條件的橢圓的標準方程(1)橢圓的兩個焦點坐標分別為F1(4，0)，F(xiàn)2(4，0)，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10；(2)橢圓過點(3，2)，(5，1)；(3)橢圓的焦點在x軸上，且經(jīng)過點(2，0)和點(0，1)命題角度2用定義法求橢圓的標準方程例3已知一動圓M與圓C1：(x3)2y21外切，與圓C2：(x3)2y281內(nèi)切，試求動圓圓心M的軌跡方程反思與感悟用定義法求橢圓標準方程的思路：先分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，可以先定位，再確定a，b的值跟蹤訓(xùn)練3

6、已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為和，過點P作焦點所在的坐標軸的垂線，垂足恰好為橢圓的一個焦點，求此橢圓的方程類型三橢圓中焦點三角形問題例4(1)已知P是橢圓1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且F1PF230，求F1PF2的面積；(2)已知橢圓1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上若|PF1|4，求F1PF2的大小反思與感悟在橢圓中，當橢圓上的點不是橢圓與焦點所在軸的交點時，這個點與橢圓的兩個焦點可以構(gòu)成一個三角形，這個三角形就是焦點三角形這個三角形中一條邊長等于焦距，另兩條邊長之和等于橢圓定義中的常數(shù)在處理橢圓中的焦點三角形問題時，可結(jié)合橢圓的定義|MF1|MF2

7、|2a及三角形中的有關(guān)定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)來求解跟蹤訓(xùn)練4(1)在橢圓C：1(ab0)的焦點三角形PF1F2中，F(xiàn)1PF2，點P的坐標為(x0，y0)，求證：PF1F2的面積c|y0|b2tan；(2) 已知橢圓的方程為1，橢圓上有一點P滿足PF1F290(如圖)求PF1F2的面積1已知A(5，0)，B(5，0)動點C滿足|AC|BC|10，則點C的軌跡是()A橢圓 B直線C線段 D點2若方程3x2ky21表示焦點在y軸上的橢圓，則k的可能取值為()A1 B3 C0 D23已知橢圓C：1內(nèi)有一點M(2，3)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左，右焦點，P為橢圓C上一點，則

8、|PM|PF1|的最大值為_，最小值為_4橢圓8x23y224的焦點坐標為_5求經(jīng)過兩點(2，)，(1，)的橢圓的標準方程1橢圓的定義式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)在解題過程中將|PF1|PF2|看成一個整體，可簡化運算2橢圓的定義中要求一動點到兩定點的距離和為常數(shù)，因而在解決問題時，若出現(xiàn)“兩定點”、“距離之和”這樣的條件或內(nèi)容，應(yīng)考慮是否可以利用橢圓的定義來解決3凡涉及橢圓上的點的問題，首先要考慮它應(yīng)滿足橢圓的定義|MF1|MF2|2a(M為橢圓上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點)，一般進行整體變換，其次要考慮該點的坐標M(x0，y0)適合橢圓的方程，然后再進行代數(shù)運算提醒：完

9、成作業(yè)第二章2.2.1(一)答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1在紙板上固定兩個圖釘，繩子的兩端固定在圖釘上，繩長大于兩圖釘間的距離，筆尖貼近繩子，將繩子拉緊，移動筆尖即可畫出橢圓思考2筆尖到兩圖釘?shù)木嚯x之和不變，等于繩長繩長大于兩圖釘間的距離若在移動過程中繩長發(fā)生變化，即到兩定點的距離不是定值，則軌跡就不是橢圓若繩長不大于兩圖釘間的距離，軌跡也不是橢圓梳理(1)常數(shù)橢圓焦點焦距知識點二思考1不一定，只需ab，ac即可，b，c的大小關(guān)系不確定思考2以兩定點的中點為坐標原點，以AB所在直線為x軸建立直角坐標系，則A(3，0)，B(3，0)設(shè)P(x，y)，依題意得|PA|PB|10， 所以10，即點P的

10、軌跡方程為1.梳理(1)(c，0)(0，c)題型探究例1解方程x2y26x550化標準形式為(x3)2y264，圓心為(3，0)，半徑r8.因為動圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點，所以|MC|MP|r8，根據(jù)橢圓的定義，動點M到兩定點C，P的距離之和為定值86|CP|，所以動點M的軌跡是橢圓跟蹤訓(xùn)練1例2解方法一當橢圓焦點在x軸上時，可設(shè)橢圓的標準方程為1(ab0)依題意有解得由ab0知不合題意，故舍去當橢圓焦點在y軸上時，可設(shè)橢圓的標準方程為1(ab0)依題意有解得所以所求橢圓的標準方程為1.方法二設(shè)橢圓的方程為mx2ny21(m0，n0，mn)則解得所以所求橢圓的方程為5x24y21，故橢圓的標

11、準方程為1.引申探究解據(jù)題意可設(shè)其方程為1(9)，又橢圓過點(3，)，將此點代入橢圓方程，得11(21舍去)，故所求的橢圓方程為1.跟蹤訓(xùn)練2解(1)設(shè)其標準方程為1(ab0)則2a10，c4，故b2a2c29，所求橢圓的標準方程為1.(2)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2By21 (A0，B0，AB)，則解得故所求橢圓的標準方程為1.(3)設(shè)橢圓的標準方程為1(ab0)則解得所求橢圓的標準方程為y21.例3解依題意得C1(3，0)，r11，C2(3，0)，r29，設(shè)M(x，y)，動圓半徑為R，則|MC1|1R，|MC2|9R，故|MC1|MC2|106|C1C2|，據(jù)橢圓定義知，點M的軌跡是一個以C

12、1，C2為焦點的橢圓，且a5，c3，故b2a2c216.故所求動圓圓心M的軌跡方程為1.跟蹤訓(xùn)練3解設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，不妨取|PF1|，|PF2|，由橢圓的定義，知2a|PF1|PF2|2.即a.由|PF1|PF2|知，PF2垂直于焦點所在的坐標軸在RtPF2F1中，4c2|PF1|2|PF2|2，c2，b2a2c2.又所求的橢圓的焦點可以在x軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為1或1.例4解(1)由橢圓的標準方程，知a，b2，c1，|F1F2|2.又由橢圓的定義，知|PF1|PF2|2a2.在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF

13、2|cosF1PF2，即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30，即420(2)|PF1|PF2|，|PF1|PF2|16(2)16(2)84.(2)由1，知a3，b，c，|PF2|2a|PF1|2，cosF1PF2，又0F1PF2180，F(xiàn)1PF2120.跟蹤訓(xùn)練4(1)證明|F1F2|y0|c|y0|.在PF1F2中，根據(jù)橢圓定義，得|PF1|PF2|2a.兩邊平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2.根據(jù)余弦定理，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 4c2.，得(1cos )|PF1|PF2|2b2，所以|PF1|PF2|.根據(jù)三角形的面積公式，得sin b2.又因為tan，所以SPF1F2b2tan.(2)解由已知得a2，b，所以c1.從而|F1F2|2c2.在PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2|P