1、3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解空間向量坐標(biāo)的概念，會(huì)確定一些簡(jiǎn)單幾何體的頂點(diǎn)坐標(biāo).2.掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律，并會(huì)判斷兩個(gè)向量是否共線(xiàn)或垂直.3.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點(diǎn)間距離公式，并能運(yùn)用這些知識(shí)解決一些相關(guān)問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算思考設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，那么mn，mn，m，mn如何運(yùn)算？答案mn(x1x2，y1y2)，mn(x1x2，y1y2)，m(x1，y1)，mnx1x2y1y2.梳理空間向量a，b，其坐標(biāo)形式為a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)減法ab

2、(a1b1，a2b2，a3b3)數(shù)乘a(a1，a2，a3)數(shù)量積aba1b1a2b2a3b3知識(shí)點(diǎn)二空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則名稱(chēng)滿(mǎn)足條件向量表示形式坐標(biāo)表示形式abab(R)a1b1，a2b2，a3b3(R)abab0a1b1a2b2a3b30模|a|a|夾角cosa，bcosa，b類(lèi)型一空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算例1已知a(1，2，1)，ab(1，2，1)，則b等于()A.(2，4，2) B.(2，4，2)C.(2，0，2) D.(2，1，3)答案A解析依題意，得ba(1，2，1)a(1，2，1)2(1，2，1)(2，4，2).反思與感悟關(guān)于

3、空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的兩類(lèi)問(wèn)題(1)直接計(jì)算問(wèn)題首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，然后準(zhǔn)確運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算.(2)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)首先把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來(lái)，然后通過(guò)建立方程組，解方程求出其坐標(biāo).跟蹤訓(xùn)練1若向量a(1，1，x)，b(1，2，1)，c(1，1，1)，且滿(mǎn)足條件(ca)(2b)2，則x_.答案2解析據(jù)題意，有ca(0，0，1x)，2b(2，4，2)，故(ca)2b2(1x)2，解得x2.類(lèi)型二空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示例2已知空間三點(diǎn)A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，設(shè)a，b.(1)若|c|3，c.求c；(2)若kab與ka2b互相垂直，求k.解(1

4、)因?yàn)?2，1，2)，且c，所以設(shè)c(2，2)，得|c|3|3，解得1.即c(2，1，2)或c(2，1，2).(2)因?yàn)閍(1，1，0)，b(1，0，2)，所以kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4).又因?yàn)?kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0.即(k1，k，2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k.引申探究若將本例(2)中改為“若kab與ka2b互相垂直”，求k的值.解由題意知kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)，(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0，即(k1)(k2)k280，解得k2或k，故所求k的值為2或.反思與感悟(1)平行與垂

5、直的判斷應(yīng)用向量的方法判定兩直線(xiàn)平行，只需判斷兩直線(xiàn)的方向向量是否共線(xiàn).判斷兩直線(xiàn)是否垂直，關(guān)鍵是判斷兩直線(xiàn)的方向向量是否垂直，即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0.(2)平行與垂直的應(yīng)用適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)ab)，建立關(guān)于參數(shù)的方程.選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.跟蹤訓(xùn)練2在正方體AC1中，已知E、F、G、H分別是CC1、BC、CD和A1C1的中點(diǎn).證明：(1)AB1GE，AB1EH；(2)A1G平面EFD.證明如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)

6、，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，由中點(diǎn)性質(zhì)得E，F(xiàn)，G，H.(1)(1，0，1)， ，2，1010，.即AB1GE，AB1EH.(2)，00，00，A1GDF，A1GDE.又DFDED，A1G平面EFD.類(lèi)型三空間向量的夾角與長(zhǎng)度的計(jì)算例3棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn).(1)求證：EFCF；(2)求與所成角的余弦值；(3)求CE的長(zhǎng).(1)證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F(xiàn)，G.所以， ，.因?yàn)?0，所以，即EFCF.(2)解因?yàn)?0()，|，|，所以cos，.(3)解|CE

7、|.反思與感悟通過(guò)分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便寫(xiě)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)便捷.建立坐標(biāo)系后，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再寫(xiě)出相應(yīng)向量的坐標(biāo)表示，把向量坐標(biāo)化，然后再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解夾角和距離問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，DAB60，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60.(1)求四棱錐PABCD的體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)DE與PA所成角的余弦值.解(1)四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且DAB60，OAOC，BOOD1，S菱形ABCD222.在RtPOB中，PBO60，PO

8、OBtan 60.VPABCDS菱形ABCDPO22.(2)如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，C(0，0)，D(1，0，0)，A(0，0)，P(0，0，).E，.00()，|，|.cos，.異面直線(xiàn)所成的角為銳角或直角，異面直線(xiàn)DE與PA所成角的余弦值為.1.已知向量a(3，2，1)，b(2，4，0)，則4a2b等于()A.(16，0，4) B.(8，16，4) C.(8，16，4) D.(8，0，4)答案D解析4a2b4(3，2，1)2(2，4，0)(12，8，4)(4，8，0)(8，0，4).2.若a(2，3，1)，b(2，0，

9、3)，c(0，2，2)，則a(bc)的值為()A.4 B.15 C.3 D.7答案C解析bc(2，2，5)，a(bc)4653.3.已知a(2，3，1)，則下列向量中與a平行的是()A.(1，1，1) B.(4，6，2) C.(2，3，5) D.(2，3，5)答案B解析若b(4，6，2)，則b2(2，3，1)2a，所以ab.4.已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab與2ab互相垂直，則k的值是()A.1 B. C. D.答案D解析依題意得(kab)(2ab)0，所以2k|a|2kab2ab|b|20，而|a|22，|b|25，ab1，所以4kk250，解得k.5.已知A(2，5，

10、1)，B(2，2，4)，C(1，4，1)，則向量與的夾角為_(kāi).答案解析(0，3，3)，(1，1，0)，|3，|，0(1)31303，cos，又，0，.1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則(x2x1，y2y1，z2z1).一個(gè)向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去它的起點(diǎn)坐標(biāo).2.兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|AB|.3.空間向量的數(shù)量積和夾角有關(guān)，經(jīng)常以空間向量數(shù)量積為工具，解決立體幾何中與夾角相關(guān)的問(wèn)題，把空間兩條直線(xiàn)所成的角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩條直線(xiàn)對(duì)應(yīng)向量的夾角問(wèn)題，但要注意空間兩

11、條直線(xiàn)所成的角與對(duì)應(yīng)向量的夾角的取值范圍.40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.已知a(2，4，5)，b(3，x，y)分別是直線(xiàn)l1，l2的方向向量.若l1l2，則()A.x6，y15 B.x3，y C.x3，y15 D.x6，y答案D解析由l1l2，得，解得x6，y.2.已知直線(xiàn)l的方向向量為a，平面內(nèi)兩共點(diǎn)向量，下列關(guān)系中能表示l的是()A.a B.ak C.ap D.以上均不能答案D3.已知a(1，5，2)，b(m，2，m2)，若ab，則m的值為()A.0 B.6 C.6 D.6答案B解析ab，1m522(m2)0，解得m6.4.已知a(1，0，1)，b(2，1，1)，c(3，1，0)，則|ab

12、2c|等于()A.3 B.2 C. D.5答案A解析ab2c(9，3，0)，|ab2c|3 .5.若ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，2，1)，B(4，2，3)，C(6，1，4)，則ABC的形狀是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形答案A解析(3，4，2)，(5，1，3)，(2，3，1).由0，得A為銳角；由0，得C為銳角；由0，得B為銳角.所以ABC為銳角三角形.6.已知向量a(2x，1，3)，b(1，2y，9)，若a與b為共線(xiàn)向量，則()A.x1，y1 B.x，yC.x，y D.x，y答案C解析a(2x，1，3)與b(1，2y，9)共線(xiàn)，(y0)，x，y.二、填

13、空題7.若A(m1，n1，3)，B(2m，n，m2n)，C(m3，n3，9)三點(diǎn)共線(xiàn)，則mn_.答案0解析因?yàn)?m1，1，m2n3)，(2，2，6)，由題意得，所以，所以m0，n0，所以mn0.8.已知空間三點(diǎn)A(1，1，1)，B(1，0，4)，C(2，2，3)，則與的夾角的大小是_.答案解析(2，1，3)，(1，3，2)，7，|，|，cos ，又0，.9.已知點(diǎn)A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，則滿(mǎn)足DBAC，DCAB的點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi).答案(1，1，2)解析設(shè)點(diǎn)D(x，y，z)，則(x，1y，z)，(1，0，2)，(x，y，2z)，(1，1，0)，因?yàn)镈BAC，DCAB，

14、所以，則解得所以D(1，1，2).10.已知向量a(5，3，1)，b(2，t，)，若a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_(kāi).答案解析由已知得ab5(2)3t13t，因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以ab0，即3t0，所以t.若a與b的夾角為180，則存在0，使ab(0)，即(5，3，1)，所以所以t，故t的取值范圍是.三、解答題11.已知空間三點(diǎn)A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)，求以，為鄰邊的平行四邊形的面積S.解(2，1，3)，(1，3，2)，cos，sin，S|sin，7，以，為鄰邊的平行四邊形的面積為7.12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分

15、別為AB和BC的中點(diǎn)，試在棱B1B上找一點(diǎn)M，使得D1M平面EFB1.解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，E，設(shè)M(1，1，m).連接AC，則(1，1，0).而E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以(，0).又因?yàn)椋?1，1，m1)，而D1M平面EFB1，所以D1MEF，且D1MB1E，即0，且0.所以 解得m，即M為B1B的中點(diǎn).13.在長(zhǎng)方體OABCO1A1B1C1中，OA2，AB3，AA12，E是BC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法解決下列問(wèn)題.(1)求異面直線(xiàn)AO1與B1E所成角的余弦值；(2)過(guò)點(diǎn)O