1、第三章 三角恒等變換學習目標1.進一步掌握三角恒等變換的方法.2.會運用正弦、余弦、正切的兩角和與差公式與二倍角公式對三角函數(shù)式進行化簡、求值和證明1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式cos()_.cos()_.sin()_.sin()_.tan()_.tan()_.2二倍角公式sin 2_.cos 2_.tan 2_.3升冪公式1cos 2_.1cos 2_.4降冪公式sin xcos x_，cos2x_，sin2x_.5和差角正切公式變形tan tan _，tan tan _.6輔助角公式y(tǒng)asin xbcos x_.類型一靈活變角的思想在三角恒等變換中的應用例1已知，為銳角，cos ，ta

2、n()，求cos 的值反思與感悟給值求值的重要思想是探求已知式與待求式之間的聯(lián)系，常常在進行角的變換時，要注意各角之間的和、差、倍、半的關(guān)系，如2，()，()，()()，()()等跟蹤訓練1如圖，在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為，.(1)求tan()的值；(2)求的值類型二整體換元思想在三角恒等變換中的應用例2求函數(shù)f(x)sin xcos xsin xcos x，xR的最值及取到最值時x的值反思與感悟在三角恒等變換中，有時可以把一個代數(shù)式整體視為一個“元”來參與計算和推理，這個“元”可以明確地設出來跟蹤訓練2

3、求函數(shù)ysin xsin 2xcos x(xR)的值域類型三轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角恒等變換中的應用例3已知函數(shù)f(x)2sin(x3)sin2sin21，xR.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值反思與感悟(1)為了研究函數(shù)的性質(zhì)，往往要充分利用三角變換公式轉(zhuǎn)化為正弦型(余弦型)函數(shù)，這是解決問題的前提(2)本題充分運用兩角和(差)、二倍角公式、輔助角轉(zhuǎn)換公式消除差異，減少角的種類和函數(shù)式的項數(shù)，將三角函數(shù)表達式變形化簡，然后根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì)跟蹤訓練3已知cos，x，求的值類型四構(gòu)建方程(組)的思想在三角

4、恒等變換中的應用例4已知sin x2cos y2，求2sin xcos y的取值范圍反思與感悟在三角恒等變換中，有時可以把某個三角函數(shù)式看作未知數(shù)，聯(lián)系已知條件或三角公式，設法建立關(guān)于未知數(shù)的方程組，從而使問題得以解決跟蹤訓練4已知關(guān)于的方程cos sin a0在區(qū)間(0,2)上有兩個不相等的實數(shù)解，求cos()的值1已知sin cos ，那么sin _，cos 2_.2已知是第三象限角，且sin4cos4，則sin 2_.3已知sin cos ，sin cos ，則sin()_.4設為銳角，若cos，則sin的值為_5已知函數(shù)f(x)cos xsin(x)cos2x，xR.(1)求f(x)的

5、最小正周期；(2)求f(x)在閉區(qū)間，上的最大值和最小值本章所學的內(nèi)容是三角恒等變換重要的工具，在三角函數(shù)式求值、化簡、證明，進而研究三角函數(shù)的性質(zhì)等方面都是必要的基礎，是解答整個三角函數(shù)類試題的必要基本功，要求準確，快速化到最簡，再進一步研究函數(shù)的性質(zhì)答案精析知識梳理1cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 22sin cos cos2sin22cos2112sin232cos22sin24.5tan()(1tan tan )tan()(1tan tan )6.sin(x)題型探究例1解是銳角，cos ，

6、sin ，tan .tan tan().是銳角，cos .跟蹤訓練1解(1)由題可知，cos ，cos .由于，為銳角，則sin ，sin ，故tan ，tan ，則tan().(2)因為tan()1，sin ，sin ，即，故.例2解設sin xcos xt，則tsin xcos xsin，t，sin xcos x.f(x)sin xcos xsin xcos x，g(t)t(t1)21，t，當t1，即sin xcos x1時，f(x)min1，此時，由sin，解得x2k或x2k，kZ.當t，即sin xcos x時，f(x)max，此時，由sin，即sin1，解得x2k，kZ.綜上，當x2

7、k或x2k，kZ時，f(x)取得最小值，f(x)min1；當x2k，kZ時，f(x)取得最大值，f(x)max.跟蹤訓練2解令sin xcos xt，則由tsin知，t，又sin 2x1(sin xcos x)21t2，y(sin xcos x)sin 2xt1t22.當t時，ymax；當t時，ymin1.函數(shù)的值域為.例3解(1)因為f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x2sin，所以f(x)的最小正周期為.又因為x0，所以2x，所以f(x)的最大值為2，最小值為1.(2)由(1)可知，f(x0)2sin.又因為f(x0)，所以sin.由x0，得2x0，所以cos，cos 2x0coscoscos sinsin .跟蹤訓練3解sin 2xtan.x，x2，又cos，sin.tan.cos xcoscoscos sinsin .sin xsinsincos sin cos，sin 2x.例4解設2sin xcos ya.由解得從而解得1a.故2sin xcos y的取值范圍是.跟蹤訓練4解設xcos ，ysin ，則有消去y，并整理得4x22axa210.由已知得co