1、3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握常見增長函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)、并體會增長快慢；理解直線上升，對數(shù)增長，指數(shù)爆炸的含義(重點).2.會分析具體的實際問題，并進行數(shù)學(xué)建模解決實際問題(重點)預(yù)習(xí)教材P95P101，完成下面問題：知識點三種函數(shù)模型的性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化趨勢隨x增大逐漸近似與y軸平行隨x增大逐漸近似與x軸平行隨n值而不同增長速度yax(a1)：隨著x的增大，y增長速度越來越快，會遠遠大于yxn(n0)的增長速度，ylogax(a1)的增長速度越來越慢存在一個x0，當(dāng)xx0時，有axxnl

2、ogax【預(yù)習(xí)評價】(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)當(dāng)x每增加一個單位時，y增加或減少的量為定值，則y是x的一次函數(shù)()(2)函數(shù)yx衰減的速度越來越慢()(3)不存在一個實數(shù)m，使得當(dāng)xm時，1.1xx100.()提示(1)因為一次函數(shù)的圖象是直線，所以當(dāng)x增加一個單位時，y增加或減少的量為定值(2)由函數(shù)yx的圖象可知其衰減的速度越來越慢(3)根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)增長速度的比較可知存在一個實數(shù)m，使得當(dāng)xm時，1.1xx100.題型一幾類函數(shù)模型的增長差異【例1】(1)下列函數(shù)中，增長速度最快的是()Ay2 017xByx2 017Cylog2 017xDy2 017x(2)四個自變量

3、y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907則關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是_解析(1)比較冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長速度最快，故選A(2)以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化從表格中可以看出，四個變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關(guān)于x

4、呈指數(shù)型函數(shù)變化答案(1)A(2)y2規(guī)律方法常見的函數(shù)模型及增長特點(1)線性函數(shù)模型：線性函數(shù)模型ykxb(k0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變(2)指數(shù)函數(shù)模型：能用指數(shù)型函數(shù)f(x)abxc(a，b，c為常數(shù)，a0，b1)表達的函數(shù)模型，其增長特點是隨著自變量x的增大，函數(shù)值增長的速度越來越快，常稱之為“指數(shù)爆炸”(3)對數(shù)函數(shù)模型：能用對數(shù)型函數(shù)f(x)mlogaxn(m，n，a為常數(shù)，m0，x0，a1)表達的函數(shù)模型，其增長的特點是開始階段增長得較快，但隨著x的逐漸增大，其函數(shù)值變化得越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長”(4)冪函數(shù)模型：能用冪型函數(shù)f(x)axb(a，b，為常數(shù)

5、，a0，1)表達的函數(shù)模型，其增長情況由a和的取值確定【訓(xùn)練1】下列函數(shù)中隨x的增大而增長速度最快的是()AyexBy100 ln xCyx100Dy1002x解析指數(shù)函數(shù)yax，在a1時呈爆炸式增長，并且a值越大，增長速度越快，應(yīng)選A答案A典例遷移題型二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型的比較【例2】函數(shù)f(x)2x和g(x)x3的圖象如圖所示設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x12,9x210，所以x16x2，從圖象上可以看出，當(dāng)x1xx2時，f(x)g(x)，所以f(6)x2時，f(x)g(x)，所以f(2 0

6、11)g(2 011)又因為g(2 011)g(6)，所以f(2 011)g(2 011)g(6)f(6)【遷移1】(變換條件)在例2中，若將“函數(shù)f(x)2x”改為“f(x)3x”，又如何求解第(1)題呢？解由圖象的變化趨勢以及指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長速度可知：C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)x3，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)3x.【遷移2】(變換所求)本例條件不變，例2(2)題中結(jié)論改為：試結(jié)合圖象，判斷f(8)，g(8)，f(2 015)，g(2 015)的大小解因為f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x12,9x210，所以x18x2，從圖象上可以看出，當(dāng)x1xx2時，f(

7、x)g(x)，所以f(8)x2時，f(x)g(x)，所以f(2 015)g(2 015)，又因為g(2 015)g(8)，所以f(2 015)g(2 015)g(8)f(8)規(guī)律方法由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變量的增長，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)題型三函數(shù)模型的選擇問題【例3】某化工廠開發(fā)研制了一種新產(chǎn)品，在前三個月的月生產(chǎn)量依次為100t,120t,130t.為了預(yù)測今后各個月的生產(chǎn)量，需要以這三個月的月產(chǎn)量為依據(jù)，用一個函數(shù)來模擬月產(chǎn)量y(t)與月序數(shù)x之

8、間的關(guān)系對此模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)yf(x)ax2bxc(a，b，c均為待定系數(shù)，xN*)或函數(shù)yg(x)pqxr(p，q，r均為待定系數(shù)，xN*)，現(xiàn)在已知該廠這種新產(chǎn)品在第四個月的月產(chǎn)量為137t，則選用這兩個函數(shù)中的哪一個作為模擬函數(shù)較好？解根據(jù)題意可列方程組解得所以yf(x)5x235x70.同理yg(x)800.5x140.再將x4分別代入與式得f(4)54235470130(t)，g(4)800.54140135(t)與f(4)相比，g(4)在數(shù)值上更為接近第四個月的實際月產(chǎn)量，所以式作為模擬函數(shù)比式更好，故選用函數(shù)yg(x)pqxr作為模擬函數(shù)較好規(guī)律方法建立函數(shù)模型應(yīng)遵循的三個

9、原則(1)簡化原則：建立函數(shù)模型，原型一定要簡化，抓主要因素，主要變量，盡量建立較低階、較簡便的模型(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計算、推理，且能得出正確結(jié)論(3)反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題【訓(xùn)練2】某債券市場發(fā)行三種債券，A種面值為100元，一年到期本息和為103元；B種面值為50元，半年到期本息和為51.4元；C種面值為100元，但買入價為97元，一年到期本息和為100元作為購買者，分析這三種債券的收益，如果只能購買一種債券，你認為應(yīng)購買哪種？解A種債券的收益是每100元一年到期收

10、益3元；B種債券的半年利率為，所以100元一年到期的本息和為1002105.68(元)，收益為5.68元；C種債券的利率為，100元一年到期的本息和為100103.09(元)，收益為3.09元通過以上分析，應(yīng)購買B種債券課堂達標(biāo)1如表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型為()x45678910y15171921232527A一次函數(shù)模型B二次函數(shù)模型C指數(shù)函數(shù)模型D對數(shù)函數(shù)模型解析隨著自變量每增加1函數(shù)值增加2，函數(shù)值的增量是均勻的，故為線性函數(shù)即一次函數(shù)模型故選A答案A2當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中，增長速度最快的應(yīng)是()Ay3xBylog3xCyx3Dy3x解析幾種

11、函數(shù)模型中，指數(shù)函數(shù)增長最快，故選D答案D3某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)yf(x)的圖象大致是()解析設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意，axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，yf(x)的圖象大致為D中圖象答案D4當(dāng)2x4時，2x，x2，log2x的大小關(guān)系是()A2xx2log2xBx22xlog2xC2xlog2xx2Dx2log2x2x解析法一在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)ylog2x，yx2，y2x在區(qū)間(2,4)上從上往下依次是yx2，y2x，ylog2x的圖象，所以x22xlog2x.法二比較三個

12、函數(shù)值的大小，作為選擇題，可以采用特殊值代入法可取x3，經(jīng)檢驗易知選B答案B5有甲乙兩種商品，經(jīng)銷這兩種商品所能獲得的利潤分別是p萬元和q萬元，它們與投入資金m(萬元)的關(guān)系式為pm，q.今有3萬元資金投入這兩種商品若設(shè)甲商品投資x萬元，投資兩種商品所獲得的總利潤為y萬元(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；(2)如何分配資金可使獲得的總利潤最大？并求最大利潤的值解(1)由題意知，對甲種商品投資x萬元，獲總利潤為y萬元，則對乙種商品的投資為(3x)萬元，所以yx(0x3)(2)令t(0t)，則x3t2，所以y(3t2)t2，所以當(dāng)t時，ymax1.05(萬元)由t可求得x0.75(萬元)，3x2.25(萬元)，所以為了