1、小學(xué)數(shù)學(xué)中的行程問題小學(xué)數(shù)學(xué)中的行程問題 【基本公式】 基本概念： 行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的， 它研究的是物體速度、 時(shí)間、 行程三者之間的關(guān)系。 基本公式：路程速度時(shí)間；路程時(shí)間速度；路程速度 時(shí)間 關(guān)鍵問題：確定行程過程中的位置 相遇問題：速度和相遇時(shí)間相遇路程（請(qǐng)寫出其他公式） 追擊問題：追擊時(shí)間路程差速度差（寫出其他公式） 流水問題：順?biāo)谐蹋ù偎伲╉標(biāo)畷r(shí)間 逆水行程 （船速水速）逆水時(shí)間 順?biāo)俣却偎?逆水速度船速水速 靜水速度（順?biāo)俣饶嫠俣龋? 水 速（順?biāo)俣?逆水速度）2 流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。 過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參

2、照以上公式。 【一般行程問題公式】 平均速度時(shí)間=路程； 路程時(shí)間=平均速度； 路程平均速度=時(shí)間。 【反向行程問題公式】 反向行程問題可以分為“相遇問題” （二人從兩地出發(fā)，相向而 行）和“相離問題”（兩人背向而行）兩種。這兩種題，都可用下面 的公式解答： （速度和）相遇（離）時(shí)間=相遇（離）路程； 相遇（離）路程（速度和）=相遇（離）時(shí)間； 相遇（離）路程相遇（離）時(shí)間=速度和。 【同向行程問題公式】 追及（拉開）路程（速度差）=追及（拉開）時(shí)間； 追及（拉開）路程追及（拉開）時(shí)間=速度差； （速度差）追及（拉開）時(shí)間=追及（拉開）路程。 【列車過橋問題公式】 （橋長(zhǎng)+列車長(zhǎng)）速度=過橋時(shí)

3、間； （橋長(zhǎng)+列車長(zhǎng)）過橋時(shí)間=速度； 速度過橋時(shí)間=橋、車長(zhǎng)度之和。 【行船問題公式】 （1）一般公式： 靜水速度（船速）+水流速度（水速）=順?biāo)俣龋?船速-水速=逆水速度； （順?biāo)俣?逆水速度）2=船速； （順?biāo)俣?逆水速度）2=水速。 （2）兩船相向航行的公式： 甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度=甲船靜水速度+乙船靜水速度 （3）兩船同向航行的公式： 后（前）船靜水速度-前（后）船靜水速度=兩船距離縮?。ɡ螅?速度。 （求出兩船距離縮小或拉大速度后， 再按上面有關(guān)的公式去解答 題目） 。 【例題精講】 例 1、小王騎車到城里開會(huì)，以每小時(shí)12 千米的速度行駛，2 小時(shí)可 以到達(dá)。車行了

4、 15 分鐘后，發(fā)現(xiàn)忘記帶文件，以原速返回原地，這 時(shí)他每小時(shí)行多少千米才能按時(shí)到達(dá)？ 解答： 要求小王返回原地后到城里的速度， 就必須知道從家到城里的路程和 剩下的時(shí)間。根據(jù)題意，這兩個(gè)條件都可以求出。 15 分鐘=小時(shí) 從家到城里的路程：122=24（千米） 返回后還剩的時(shí)間：2-2=1（小時(shí)） 返回后去城里的速度:241=16（千米/時(shí)） 答：他每小時(shí)行 16 千米才能按時(shí)到達(dá)。 2相遇問題 距離=速度和相遇時(shí)間； 相遇時(shí)間=距離速度和； 速度和=距離相遇時(shí)間。 例 2、如圖，從A 到 B 是 1 千米下坡路，從 B 到 C 是 3 千米平路，從 C 到 D 是 2.5 千米上坡路.小張

5、和小王步行，下坡的速度都是6 千米/ 小時(shí)，平路速度都是 4 千米/小時(shí)，上坡速度都是 2 千米/小時(shí)。 問： （1）小張和小王分別從A， D 同時(shí)出發(fā)，相向而行，問多少時(shí)間 后他們相遇？ （2）相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)某一個(gè)人達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一人 離終點(diǎn)還有多少千米？ 解答： （1）小張從 A 到 B 需要 1660 10（分鐘） ； 小王從 D 到 C 也是下坡，需要 2.5660 25（分鐘） ； 當(dāng)小王到達(dá) C 點(diǎn)時(shí)，小張已在平路上走了 25-1015（分鐘） ， 走了 41（千米） 。 因此在 B 與 C 之間平路上留下 3-1 2（千米） 由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時(shí)

6、間是：2 （4 4）60 15（分鐘） 。 從出發(fā)到相遇的時(shí)間是 2515 40（分鐘） 。 （2）相遇后，小王再走 30 分鐘平路，到達(dá) B 點(diǎn)，從 B 點(diǎn)到 A 點(diǎn)需 要走 1260=30 分鐘，即他再走 60 分鐘到達(dá)終點(diǎn)。 小張走 15 分鐘平路到達(dá) D 點(diǎn)， 45 分鐘可走： 2 小張離終點(diǎn)還有 2.5-1.5=1（千米） 答：40 分鐘后小張和小王相遇。小王到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，小張離終點(diǎn) 1.5 （千米） 還有 1 千米。 3追及問題 追及距離=速度差追及時(shí)間； 追及時(shí)間=追及距離速度差； 速度差=追及距離追及時(shí)間。 例 3、小轎車的速度比面包車速度每小時(shí)快6 千米，小轎車和面包車 同時(shí)從

7、學(xué)校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早 10 分鐘到 達(dá)城門，當(dāng)面包車到達(dá)城門時(shí)，小轎車已離城門9 千米，問學(xué)校到城 門的距離是多少千米？ 解答： 先計(jì)算，從學(xué)校開出，到面包車到達(dá)城門用了多少時(shí)間。 此時(shí)，小轎車比面包車多走了 9 千米，而小轎車與面包車的速度 差是 6 千米/小時(shí)， 因此所用時(shí)間=961.5（小時(shí)） 小轎車比面包車早 10 分鐘到達(dá)城門，面包車到達(dá)時(shí)，小轎車離 城門 9 千米， 說明小轎車的速度是 954（千米/小時(shí)） 面包車速度是 54-648（千米/小時(shí)） 。 城門離學(xué)校的距離是 481.572（千米） 。 答：學(xué)校到城門的距離是 72 千米。 4火車過橋問題 我們

8、在研究一般的行程問題時(shí)，是不考慮汽車等物體的本身長(zhǎng)度的， 因?yàn)檫@類物體的長(zhǎng)度很小，可以忽略不計(jì)?？墒侨绻芯炕疖囆谐虇?題，因?yàn)檐嚿碛幸欢ǖ拈L(zhǎng)度，一般一百多米，就不能忽略不計(jì)了。火 車行程問題中的距離，一般是要考慮火車長(zhǎng)度的?；疖囃ㄟ^一個(gè)固定 的點(diǎn)所用的時(shí)間就是火車行駛車身長(zhǎng)度所需要的時(shí)間。 （火車長(zhǎng)度+橋的長(zhǎng)度）通過時(shí)間=火車速度 例 4、一條隧道長(zhǎng)360 米，某列火車從車頭入洞到全車進(jìn)洞用了8 秒 鐘，從車頭入洞到全車出洞共用了 20 秒鐘。這列火車長(zhǎng)多少米？ 解答： 分析畫出示意圖： 如圖，火車 8 秒鐘行的路程是火車的全長(zhǎng)，20 秒鐘行的路程是隧道 長(zhǎng)加火車長(zhǎng)。因此，火車行隧道長(zhǎng)360

9、 米，所用的時(shí)間是20-8=12 秒 鐘，即可求出火車的速度。 火車的速度是 360（20-8）=30（米/秒） 。 火車長(zhǎng) 308=240（米） 。 答：這列火車長(zhǎng) 240 米。 5火車相遇、追及問題 錯(cuò)車時(shí)間=（甲車身長(zhǎng)+乙車身長(zhǎng)）（甲車速度+乙車速度） 超車時(shí)間=（甲車身長(zhǎng)+乙車身長(zhǎng)）（甲車速度-乙車速度） 例 5、客車長(zhǎng) 182 米，每秒行 36 米。貨車長(zhǎng) 148 米，每秒行 30 米。 兩車在平行的軌道上相向而行。從相遇到錯(cuò)車而過需多少時(shí)間? 解答： 兩列火車相向而行，從車頭相遇一直到車尾離開，迎面錯(cuò)車而過，兩 列火車所行的路程是兩列火車車身長(zhǎng)度之和， 速度是兩列火車的速度 之和，

10、時(shí)間是：(182+148)(36+30)=5(秒) 答：從相遇到錯(cuò)車而過需 5 秒。 6環(huán)形行程問題 封閉環(huán)形上的相遇問題：環(huán)形周長(zhǎng)速度和=相遇時(shí)間 封閉環(huán)形上的追及問題：環(huán)形周長(zhǎng)速度差=追及時(shí)間 例 6、 小張和小王各以一定速度， 在周長(zhǎng)為 500 米的環(huán)形跑道上跑步。 小王的速度是 180 米/分。 （1）小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75 秒后兩人第一 次相遇，小張的速度是多少米/分？ （2）小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈 后才能第一次追上小王？ 解答： （1）兩人相遇，也就是合起來跑了一個(gè)周長(zhǎng)的行程。 75 秒=1.25 分。 小張的速度是 5001.

11、25-180=220（米/分） 。 （2）在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈 （一個(gè)周長(zhǎng)） ， 因此需要的時(shí)間是 500（220-180）12.5（分） 。 22012.55005.5（圈） 。 答： （1）小張的速度是 220 米/分； （2）小張跑 5.5 圈后才能追上小 王。 7流水行船問題 流水行船問題比一般的行程問題多了一個(gè)水流的影響， 因此它有 一些特殊的數(shù)量關(guān)系： 順?biāo)俣?船速+水速，逆水速度=船速-水速； 水速=順?biāo)俣?船速，船速=順?biāo)俣?水速； 水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速； 船速=（順?biāo)俣?逆水速度）2，水速=（順?biāo)俣?逆水速度）

12、 2。 例 7、甲、乙兩港間的水路長(zhǎng)208 千米，一只船從甲港開往乙港，順 水 8 小時(shí)到達(dá)，從乙港返回甲港，逆水 13 小時(shí)到達(dá)，求船在靜水中 的速度和水流速度。 解答： 順?biāo)俣龋?088=26（千米/小時(shí)） 逆水速度：20813=16（千米/小時(shí)） 船速： （26+16）2=21（千米/小時(shí)） 水速： （2616）2=5（千米/小時(shí)） 答：船在靜水中的速度為每小時(shí) 21 千米，水流速度每小時(shí) 5 千米。 8重復(fù)相遇問題 例 8、兩列火車從 A 城、B 城相向而行，第一次相遇在離 A 地 500 公 里處，相遇后，兩列車?yán)^續(xù)前進(jìn)，各自到達(dá)目的地后，又折回。第二 次相遇在離 B 城 300

13、公里處，問 A 城、B 城相距多遠(yuǎn)？ 解答： 如圖，兩列火車從出發(fā)到第二次相遇一共行了三個(gè)全程，分別為：第 一列火車從 A 城到 B 城；第二列火車從B 城到 A 城；第二列火車從A 城出發(fā)與從 B 城出發(fā)的第一列火車在途中相遇。 而這三個(gè)全程還可以 從另外一個(gè)角度考察，第一列火車行 500 公里時(shí)，兩列火車共行了一 個(gè)全程，相遇后，兩車速度依然不變，所以第一列火車行駛第二個(gè) 500 公里時(shí)，兩列火車同樣又共行了一個(gè)全程；當(dāng)?shù)谝涣谢疖囆辛说?三個(gè) 500 公里，即第一列火車行駛 5003=1500 公里時(shí)，兩列火車正 好共行了三個(gè)全程，而這時(shí)，兩列火車第二次相遇，由圖觀察可得， 這時(shí)第一列火車

14、又折回了 300 公里，即第一列火車行駛的 1500 公里 比全程多了300公里， 于是， 全程即為3500300=1200公里。 3500 300=1200。 答：A 城、B 城相距 1200 公里。 習(xí)題： 1小張從甲地到乙地步行需要 36 分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地 需要 12 分鐘。他們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇？ 解答： 走同樣長(zhǎng)的距離，小張花費(fèi)的時(shí)間是小王花費(fèi)時(shí)間的36123 （倍） ，因此自行車的速度是步行速度的 3 倍，也可以說，在同一時(shí) 間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的 3 倍。如果把甲地乙 地之間的距離分成相等的 4 段，小王走了3 段，小張走了1 段，小張

15、花費(fèi)的時(shí)間是 36（31）9（分鐘） 。 答：兩人在 9 分鐘后相遇。 2小張從家到公園，原打算每分種走 50 米。為了提早 10 分鐘到， 他把速度加快，每分鐘走 75 米。問家到公園多遠(yuǎn)？ 解答： 方法 1：可以作為“追及問題”處理。 假設(shè)另有一人， 比小張?jiān)?10 分鐘出發(fā).考慮小張以 75 米/分鐘速 度去追趕， 追上所需時(shí)間是 50 10（75- 50） 20（分鐘） 因此，小張走的距離是 75 20 1500（米） 。 答：從家到公園的距離是 1500 米。 方法 2： 小張加快速度后，每走 1 米，可節(jié)約時(shí)間（ 因此家到公園的距離是 10（ ）分鐘， ）1500（米） 。 3 一

16、輛自行車在前面以固定的速度行進(jìn)，有一輛汽車要去追趕。如 果速度是 30 千米/小時(shí)，要 1 小時(shí)才能追上；如果速度是 35 千米/ 小時(shí)，要 40 分鐘才能追上。問自行車的速度是多少？ 解答： 解法 1： 自行車 1 小時(shí)走了 301-已超前距離， 自行車 40 分鐘走了 35-已超前距離， 自行車多走 20 分鐘，走了 3035 因此，自行車的速度是： （3035 907020（千米/小時(shí)） 。 答：自行車速度是 20 千米/小時(shí)。 方法 2： 因?yàn)樽飞纤钑r(shí)間=追上距離速度差 。 ）（30）3 1 小時(shí)與 40 分鐘是 32。所以兩者的速度差之比是 23.請(qǐng)看 下面示意圖： 馬上可看出前一

17、速度差是 15。自行車速度是：35- 15 20（千 米/小時(shí)） 。 4上午 8 點(diǎn) 8 分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8 分鐘后，爸爸騎摩 托車去追他，在離家4 千米的地方追上了他。然后爸爸立即回家，到 家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8 千米， 這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？ 解答： 畫一張簡(jiǎn)單的示意圖： 圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4 4（千米） 。 而爸爸騎的距離是 4 8 12（千米） 。 這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的124 3（倍） 。 按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算， 小明騎 8 千米， 爸爸可以騎行 8324（千 米） 。 但事實(shí)上，爸爸少

18、用了 8 分鐘，騎行了 41216（千米） 。少 騎行 24-168（千米） 。 摩托車的速度是 1 千米/分，爸爸騎行 16 千米需要 16 分鐘。8 81632。 答：這時(shí)是 8 點(diǎn) 32 分。 5小張從甲地到乙地，每小時(shí)步行 5 千米，小王從乙地到甲地，每 小時(shí)步行 4 千米。兩人同時(shí)出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1 千米 的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離。 解答： 畫一張示意圖 離中點(diǎn) 1 千米的地方是 A 點(diǎn)，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的 一半多 1 千米，小王走了兩地距離的一半少 1 千米。從出發(fā)到相遇， 小張比小王多走了 2 千米。小張比小王每小時(shí)多走（5-4）千米，從 出

19、發(fā)到相遇所用的時(shí)間是 2（5-4）2（小時(shí)） 因此，甲、乙兩地的距離是（5 4）218（千米） 。 6甲、乙兩車分別從A，B 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，6 小時(shí)后相遇 于 C 點(diǎn)。如果甲車速度不變， 乙車每小時(shí)多行 5 千米， 且兩車還從 A， B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距 C 點(diǎn) 12 千米；如果乙車速 度不變，甲車每小時(shí)多行 5 千米，且兩車還從 A，B 兩地同時(shí)出發(fā)相 向而行，則相遇地點(diǎn)距 C 點(diǎn) 16 千米。求 A，B 兩地距離。 解答： 先畫一張行程示意圖如下 設(shè)乙加速后與甲相遇于 D 點(diǎn)，甲加速后與乙相遇于 E 點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)后 的相遇時(shí)間，是由速度和決定的。不論甲加速，還是

20、乙加速，它們的 速度和比原來都增加 5 千米，因此，不論在D 點(diǎn)相遇，還是在E 點(diǎn)相 遇，所用時(shí)間是一樣的，這是解決本題的關(guān)鍵。 下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差。 在同樣的時(shí)間內(nèi)，甲如果加速，就到E 點(diǎn)，而不加速，只能到 D 點(diǎn)。 這兩點(diǎn)距離是 12 16 28（千米） ，加速與不加速所形成的速 度差是 5 千米/小時(shí)。 因此，在 D 點(diǎn)（或 E 點(diǎn)）相遇所用時(shí)間是285 5.6（小時(shí)） 。 比 C 點(diǎn)相遇少用 6-5.60.4（小時(shí)） 。 甲到達(dá) D，和到達(dá) C 點(diǎn)速度是一樣的，少用 0.4 小時(shí)，少走 12 千米， 因此甲的速度是：120.430（千米/小時(shí)） 。 同樣道理，乙的速度是 160.

21、440（千米/小時(shí)） 。 A 到 B 距離是（30 40）6 420（千米） 。 答： A，B 兩地距離是 420 千米。 7如圖，A、B 是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏 點(diǎn)，小王在 B 點(diǎn)同時(shí)出 發(fā)反向行走，他們?cè)?C 點(diǎn)第一次相遇，C 離 A 點(diǎn) 80 米；在 D 點(diǎn)第二 次相遇，D 點(diǎn)離 B 點(diǎn) 6O 米.求這個(gè)圓的周長(zhǎng)。 解答： 第一次相遇，兩人合起來走了半個(gè)周長(zhǎng)；第二次相遇，兩個(gè)人合起來 又走了一圈。從出發(fā)開始算，兩個(gè)人合起來走了一周半。因此，第二 次相遇時(shí)兩人合起來所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來所走的行程 的 3 倍，那么從A 到 D 的距離，應(yīng)該是從A 到 C 距離的 3 倍，即A

22、到 D 是 803240（米） 240-60=180（米） 1802360（米） 答：這個(gè)圓的周長(zhǎng)是 360 米。 8甲村、乙村相距6 千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)， 在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回） 。在出發(fā)后 40 分鐘 兩人第一次相遇。小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村 2 千米的地方兩人 第二次相遇。問小張和小王的速度各是多少？ 解答： 畫示意圖如下： 如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人 已共同走了甲、乙兩村間距離的3 倍，因此所需時(shí)間是40360 2（小時(shí)） 。 從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了 62-210（千 米） 。 小王

23、已走了 62=8（千米） 。 因此，他們的速度分別是 小張 1025（千米/小時(shí)） ， 小王 82=4（千米/小時(shí)） 。 答：小張和小王的速度分別是 5 千米/小時(shí)和 4 千米/小時(shí)。 小張與小王分別從甲、 乙兩村同時(shí)出發(fā)， 在兩村之間往返行走 （到 達(dá)另一村后就馬上返回） ，他們?cè)陔x甲村 3.5 千米處第一次相遇，在 離乙村 2 千米處第二次相遇。 問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多 遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？ 解答： 畫示意圖如下： 第二次相遇兩人已共同走了甲、 乙兩村距離的 3 倍，因此張走了 3.5310.5（千米） 。 從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2 千米。因此，甲、乙兩村 距離是 10.5-28.5（千米） 。 每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2 倍的路程。 第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離（ 322）倍的行程。 其中張走了 3.5724.5 （千米） ， 24.5=8.58.57.5 （千米） 。 就知道第四次相遇處，離乙村 8.5-7.5=1（千米） 。 答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村 1 千米。 10繞湖一周是 24 千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向 而行。小王以 4 千米/小時(shí)速度每走 1 小時(shí)后休息 5 分鐘；小張以 6 千米/小時(shí)速度每走 50 分鐘后休息 10 分鐘。問：兩人出發(fā)多少時(shí)間 第一次相遇？ 解答： 小張的