1、高考專題突破六高考中的概率與統(tǒng)計(jì)問題【考點(diǎn)自測(cè)】1在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)，其規(guī)則如算法框圖所示，則能輸出數(shù)對(duì)(x，y)的概率是()A. B. C. D.答案B解析由題意知，可行域?yàn)檎叫危敵鰯?shù)對(duì)(x，y)形成的圖形為圖中陰影部分，故所求概率為P.2(2017湖南邵陽(yáng)二模)假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y的22列聯(lián)表如下：y1y2總計(jì)x1a10a10x2c30c30總計(jì)6040100對(duì)同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X與Y有關(guān)系的可能性最大的一組為()Aa45，c15 Ba40，c20Ca35，c25 Da30，c30答案A解析根據(jù)22列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，當(dāng)與相差越大時(shí)，X與Y有關(guān)系的可能性越大，即a，c相差

2、越大，與相差越大，故選A.3設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x10的均值和方差分別為1和4，若yixia(a為非零常數(shù)，i1,2，10)，則y1，y2，y10的均值和方差分別為()A1a,4 B1a,4aC1,4 D1,4a答案A解析1，yixia，所以y1，y2，y10的均值為1a，方差不變?nèi)詾?.故選A.4已知高一年級(jí)某班有63名學(xué)生，現(xiàn)要選1名學(xué)生作為標(biāo)兵，每名學(xué)生被選中的概率是相同的，若“選出的標(biāo)兵是女生”的概率是“選出的標(biāo)兵是男生”的概率的，則這個(gè)班男生的人數(shù)為_答案33解析根據(jù)題意，設(shè)該班的男生人數(shù)為x，則女生人數(shù)為63x，因?yàn)槊棵麑W(xué)生被選中的概率是相同的， 根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式知，“

3、選出的標(biāo)兵是女生”的概率是，“選出的標(biāo)兵是男生”的概率是，故，解得x33，故這個(gè)班男生的人數(shù)為33.5某單位為了解用電量y(度)與氣溫x()之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫()1813101用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程為ybxa中的b2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為4 時(shí)，用電量約為_度答案68解析根據(jù)題意知10，40，因?yàn)榛貧w直線過樣本點(diǎn)的中心，所以a40(2)1060，所以當(dāng)x4時(shí)，y(2)(4)6068，所以用電量約為68度.題型一古典概型與幾何概型例1 (1)(2017榆林二模)若函數(shù)f(x) 在區(qū)間0，e上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則f(x)的值不

4、小于常數(shù)e的概率是()A. B1C. D.答案B解析當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，即a2b2.由題意知所有的基本事件有9個(gè)，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值滿足a2b2的有6個(gè)基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率為.(2)(2017青島模擬)如圖所示，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的大正方形，若直角三角形中較小的銳角.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是_答案

5、解析易知小正方形的邊長(zhǎng)為1，故小正方形的面積為S1(1)242，又大正方形的面積為S224，故飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率P.題型二概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用例2 (2017西安質(zhì)檢)長(zhǎng)時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的身體健康，某校為了解A，B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)，分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)作為樣本繪制成莖葉圖如圖所示(圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個(gè)位數(shù)字)(1)你能否估計(jì)哪個(gè)班級(jí)平均每周上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng)？(2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過19的數(shù)據(jù)記為a，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過21的數(shù)據(jù)記為b，求ab的概率解(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(9

6、11142031)17，由此估計(jì)A班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間為17小時(shí)；B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(1112212526)19，由此估計(jì)B班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間為19小時(shí)所以B班學(xué)生上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng)(2)A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù)a有3個(gè)，分別為9,11,14，B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)b也有3個(gè)，分別為11,12,21.從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個(gè)共有9種不同的情況，分別為(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，其中ab的情況有(14,11)，(14,12)2種，故ab的概率P.思維升

7、華 概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn)它與其他知識(shí)融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性跟蹤訓(xùn)練2 某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段：40,50)，50,60)，90,100)后得到如圖所示的頻率分布直方圖(1)求圖中實(shí)數(shù)a的值；(2)若該校高一年級(jí)共有640人，試估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)；(3)若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0,50)與90,100)兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的概率解

8、(1)由已知，得10(0.0050.0100.020a0.0250.010)1，解得a0.03.(2)根據(jù)頻率分布直方圖，可知成績(jī)不低于60分的頻率為110(0.0050.010)0.85.由于該校高一年級(jí)共有學(xué)生640人，利用樣本估計(jì)總體的思想，可估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)為6400.85544.(3)易知成績(jī)?cè)?0,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為400.052，這2人分別記為A，B；成績(jī)?cè)?0,100)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為400.14，這4人分別記為C，D，E，F(xiàn).若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0,50)與90,100)兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，則所有的基本事件有(A，B)，(A

9、，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15個(gè)如果2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都在40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在90,100)分?jǐn)?shù)段內(nèi)，那么這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值一定不大于10.如果一個(gè)成績(jī)?cè)?0,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)，另一個(gè)成績(jī)?cè)?0,100)分?jǐn)?shù)段內(nèi)，那么這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值一定大于10.記“這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10”為事件M，則事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共7個(gè)，故所

10、求概率P(M).題型三概率與統(tǒng)計(jì)案例的綜合應(yīng)用例3 某校計(jì)劃面向高一年級(jí)1 200名學(xué)生開設(shè)校本選修課程，為確保工作的順利實(shí)施，先按性別進(jìn)行分層抽樣，抽取了180名學(xué)生對(duì)社會(huì)科學(xué)類、自然科學(xué)類這兩大類校本選修課程進(jìn)行選課意向調(diào)查，其中男生有105人在這180名學(xué)生中選擇社會(huì)科學(xué)類的男生、女生均為45人(1)分別計(jì)算抽取的樣本中男生、女生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻率，并以統(tǒng)計(jì)的頻率作為概率，估計(jì)實(shí)際選課中選擇社會(huì)科學(xué)類的學(xué)生人數(shù)；(2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，完成以下22列聯(lián)表并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)？選擇自然科學(xué)類選擇社會(huì)科學(xué)類合計(jì)男生女生合計(jì)

11、附：2，其中nabcd.P(2k)0.5000.4000.2500.1500.100k0.4550.7081.3232.0722.706P(2k)0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828解(1)由條件知，抽取的男生有105人，女生有18010575(人)男生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻率為，女生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻率為.由題意，知男生總數(shù)為1 200700，女生總數(shù)為1 200500，所以估計(jì)選擇社會(huì)科學(xué)類的人數(shù)為700500600.(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表如下：選擇自然科學(xué)類選擇社會(huì)科學(xué)類合計(jì)男生6045105女生304575合計(jì)90

12、90180則25.142 95.024，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下能認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)思維升華 統(tǒng)計(jì)以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計(jì)算為主，概率以考查概率計(jì)算為主，往往和實(shí)際問題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來，只有這樣才能有效地解決問題跟蹤訓(xùn)練3 近幾年出現(xiàn)各種食品問題，食品添加劑會(huì)引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病為了解三高疾病是否與性別有關(guān)，醫(yī)院隨機(jī)對(duì)入院的60人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下的列聯(lián)表：(1)請(qǐng)將如圖的列聯(lián)表補(bǔ)充完整若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女生抽多少人？(2)為了研究患三高疾病是否

13、與性別有關(guān)，請(qǐng)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量2，并說明是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為患三高疾病與性別有關(guān).患三高疾病不患三高疾病總計(jì)男630女總計(jì)36下面的臨界值表供參考：P (2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式2，其中nabcd)解(1)完善補(bǔ)充列聯(lián)表如下：患三高疾病不患三高疾病總計(jì)男24630女121830總計(jì)362460在患三高疾病人群中抽9人，則抽取比例為，所以女性應(yīng)該抽取123(人)(2)根據(jù)22列聯(lián)表，則2107.879.所以可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的

14、前提下認(rèn)為患三高疾病與性別有關(guān)1某單位對(duì)職員中的老年、中年、青年進(jìn)行健康狀況調(diào)查，其中老年、中年、青年職員的人數(shù)之比為k53，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個(gè)容量為120的樣本，已知在老年職員中抽取了24人，則在青年職員中抽取的人數(shù)為_答案36解析老年、中年、青年職員的人數(shù)之比為k53，解得k2，在青年職員中抽取的人數(shù)為12036.2在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的所有格點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn))中任取3個(gè)點(diǎn)，則該3點(diǎn)恰能作為一個(gè)三角形的3個(gè)頂點(diǎn)的概率為_答案解析不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)有(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5個(gè)，從中任取3個(gè)點(diǎn)，有10種取法，

15、其中共線的3點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，有(3,1)，(3,2)，(3,3)，1種情況，所以能夠作為三角形3個(gè)頂點(diǎn)的情況有9種，故所求概率是.3(2018唐山模擬)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100)分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不

16、足60的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80的為“生產(chǎn)能手”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成22列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？P(2k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828附：2.解(1)由已知得，樣本中有25周歲以上(含25周歲)組工人60名，25周歲以下組工人40名所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60的工人中，25周歲以上(含25周歲)組工人有600.053(人)，記為A1，A2，A3；25周歲以下組工人有400.052(人)，記為B1，B2.從中隨機(jī)抽

17、取2名工人，所有的可能結(jié)果共有10種，它們是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)其中，至少有1名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種，它們是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)故所求的概率P.(2)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上(含25周歲)組”中的生產(chǎn)能手有600.2515(人)，“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有400.37515(人)，據(jù)此可得22列聯(lián)表如下：生產(chǎn)

18、能手非生產(chǎn)能手合計(jì)25周歲以上(含25周歲)組15456025周歲以下組152540合計(jì)3070100所以得21.79.因?yàn)?.792.706.所以沒有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”4(2018北京海淀區(qū)模擬)某商場(chǎng)在元旦舉行購(gòu)物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，規(guī)定顧客從裝有編號(hào)為0,1,2,3,4的五個(gè)相同小球的抽獎(jiǎng)箱中一次任意摸出兩個(gè)小球，若取出的兩個(gè)小球的編號(hào)之和等于7，則中一等獎(jiǎng)，等于6或5，則中二等獎(jiǎng)，等于4，則中三等獎(jiǎng)，其余結(jié)果為不中獎(jiǎng)(1)求中二等獎(jiǎng)的概率；(2)求不中獎(jiǎng)的概率解(1)記“中二等獎(jiǎng)”為事件A.從五個(gè)小球中一次任意摸出兩個(gè)小球，不同的結(jié)果有0,1，0,2，0,3，

19、0,4，1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共10個(gè)基本事件記兩個(gè)小球的編號(hào)之和為x，由題意可知，事件A包括兩個(gè)互斥事件：x5，x6.事件x5的取法有2種，即1,4，2,3，故P(x5)；事件x6的取法有1種，即2,4，故P(x6).所以P(A)P(x5)P(x6).(2)記“不中獎(jiǎng)”為事件B，則“中獎(jiǎng)”為事件，由題意可知，事件包括三個(gè)互斥事件：中一等獎(jiǎng)(x7)，中二等獎(jiǎng)(事件A)，中三等獎(jiǎng)(x4)事件x7的取法有1種，即3,4，故P(x7)；事件x4的取法有0,4，1,3，共2種，故P(x4).由(1)可知，P(A).所以P()P(x7)P(x4)P(A).所以不中獎(jiǎng)的概率為P(

20、B)1P()1.5某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下：零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))2345加工的時(shí)間y(小時(shí))2.5344.5(1)求出y關(guān)于x的線性回歸方程ybxa，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線；(2)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要的時(shí)間(注：b，ab，iyi52.5，54)解(1)由表中數(shù)據(jù)得(2345)3.5，(2.5344.5)3.5，b0.7，a3.50.73.51.05.y0.7x1.05.回歸直線如圖所示(2)將x10代入線性回歸方程，得y0.7101.058.05，故預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要8.05小時(shí)6某校高三期中考試后，數(shù)學(xué)教師對(duì)本次全部數(shù)學(xué)成績(jī)按120進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的成績(jī)?yōu)闃颖?，成?jī)用莖葉圖記錄如圖所示，但部分?jǐn)?shù)據(jù)不小心丟失，同時(shí)得到如下表所示的頻率分布表：分?jǐn)?shù)段(分)50，