1、2.5.1離散型隨機(jī)變量的平均值預(yù)習(xí)教科書P6063，考慮下面的問題并完成1 .什么是離散型隨機(jī)變量的平均值？ 如何用離散型隨機(jī)變量的分布列求平均值？2 .離散型隨機(jī)變量的平均值有哪些性質(zhì)？3 .兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的平均值是什么？1 .離散型隨機(jī)變量的平均或數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量x的分布列xx1x2是西是xn號(hào)驅(qū)逐艦p型p1p2是飛彈是pnE(X)=x1p1 x2p2 xipi xnpn_被稱為隨機(jī)變量x的平均或數(shù)學(xué)期望，反映了離散型隨機(jī)變量所取的值的平均水平。2 .離散型隨機(jī)變量平均值的性質(zhì)如果Y=aX b，其中a和b是常數(shù)，則y也可以是隨機(jī)變量，其中P(Y=axi b)=P(X=xi )，

2、I=1，2，n，e。3 .兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布的平均值(1)如果x遵循兩點(diǎn)分布，則E(X)=p；(2)如果x遵循兩個(gè)分布，即x到XB(n，p )，則E(X)=np。兩點(diǎn)分布和兩點(diǎn)分布的關(guān)系(1)同點(diǎn)：在一次考試中發(fā)生還是不發(fā)生(2)不同點(diǎn)：隨機(jī)變量可取值不同，兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量可取值為0、1、2項(xiàng)分布中，隨機(jī)變量可取值x=0、1、2、n. 試驗(yàn)次數(shù)不同，兩點(diǎn)分布一般只有一次試驗(yàn)的兩個(gè)分布進(jìn)行了n次試驗(yàn)地址1 .判斷下面的命題是否正確。(1)隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期待E(X )是變量，根據(jù)x的變化而變化。(2)隨機(jī)變量的平均值與樣本的平均值相同。(3)如果隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E()=3，那么E(4-5)=7

3、. ()回答： 1、2、32 .離散型隨機(jī)變量x的分布列是x123p型x的數(shù)學(xué)期望E(X)=()甲組聯(lián)賽日本職業(yè)足球聯(lián)賽回答： a假設(shè)隨機(jī)變量x到XB(16，p )且E(X)=4，則p=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案：4 .一個(gè)人的弓箭手每次射擊中的目標(biāo)概率為0.8，他獨(dú)立射擊的3次中的目標(biāo)次數(shù)x的平均值為答案：2.4求離散型隨機(jī)變量的平均值有一種有獎(jiǎng)銷售的飲料，如果瓶蓋上印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”或者“謝謝購買”的文字，那瓶蓋上印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”的文字就中獎(jiǎng)了。 當(dāng)選概率為：甲、乙、丙三名學(xué)生每人購買該飲料。(1)求甲方當(dāng)選、乙方、丙方均不當(dāng)選的概率(2

4、)求出當(dāng)選人數(shù)的分布列及平均值E()。(1)甲、乙、丙當(dāng)選的事件分別為a、b、cP(A)=P(B)=P(C)=。P(A)=P(A)P()P()=。所以甲當(dāng)選，乙和丙都不當(dāng)選的概率是(2)的可取值為0、1、2、3。P(=k)=Ck3-k，k=0，1，2，3。P(=0)=C03=；P(=1)=C2=；P(=2)=C2=、P(=3)=C30=。當(dāng)選人數(shù)的分布0123p型E()=0 1 2 3=。求離散型隨機(jī)變量的平均值(1)可能值的決定：從隨機(jī)變量x的意義上，寫出x可能的所有值(2)求出概率：求出x按每個(gè)值取的概率(3)寫分布列：寫x的分布列(4)求平均：根據(jù)平均的定義求E(X )。其中寫隨機(jī)變量的

5、分布列是解決這類問題的關(guān)鍵活用1 .甲、乙兩人分別進(jìn)行3次射擊，甲擊中目標(biāo)的概率，乙擊中目標(biāo)的概率，甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為x，乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為y(1)求x的概率分布列(2)求x和y的數(shù)學(xué)期待解： (1)已知的x的所有可能值為0、1、2、3。P(X=k)=Ck3-k。P(X=0)=C3=；P(X=1)=C2=；P(X=2)=C2=；P(X=3)=C3=。因此，x的概率分布如下表所示x0123p型從(1)中得知E(X)=0 1 2 3=1.5或題意XB、YB。E(X)=3=1.5，E(Y)=3=2。2 .某選手投籃的概率P=0.6(1)求出一次投籃時(shí)投中次數(shù)的數(shù)學(xué)期待(2)求出反復(fù)投籃5次時(shí)投中次數(shù)

6、的數(shù)學(xué)期待。解： (1)的分布如下：01p型0.40.6E()=00.4 10.6=0.6，即，一次投籃時(shí)的投中次數(shù)的數(shù)學(xué)期待為0.6 .(2)遵循 b (5，0.6 )的兩個(gè)分布。E()=np=50.6=3，即，重復(fù)5次投籃時(shí)投中次數(shù)的數(shù)學(xué)期待為3 .離散型隨機(jī)變量的均值性質(zhì)典型例已知的隨機(jī)變量x的分布列如下所示x-2-1012p型米如果Y=-2X的話，那么e=_ _ _ _ _ .解析從隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)來看m=1，m=、E(X)=(-2) (-1) 0 1 2=-。從Y=-2X得到E(Y)=-2E(X )，即，E(Y)=-2=。答案一個(gè)問題改變1.變更問題本例的條件不變，如果Y=2X-

7、3，則求出E(Y )。解：由公式E(aX b)=aE(X) b和E(X)=-得出。E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2-3=-。2.變更條件、變更問題本例的條件不變，求=aX 3且E()=-、a的值。解： E()=E(aX 3)=aE(X) 3=-a 3=-，a=15。離散型隨機(jī)變量性質(zhì)有關(guān)問題的解問題構(gòu)想所給的隨機(jī)變量和x的關(guān)系是=aX b、a、b是常數(shù)的話，一般的思維方法是在求出E(X )之后，使用公式E(aX b)=aE(X) b求出E()。平均值的實(shí)用化典型例某百貨大樓銷售某商品，根據(jù)過去的資料訂正，顧客采用的支付期間數(shù)的分布是12345p型0.40.20.20.10.1百貨大

8、樓銷售該商品，采用一期支付，其利潤(rùn)分兩期或三期支付200元，其利潤(rùn)分四期或五期支付250元，其利潤(rùn)為300元.表示銷售該商品的利潤(rùn)(1)求出事件a的“購買該商品的3位顧客中，至少有1人采用1期支付”的概率P(A )(2)求出的分布列及平均值E()。(1)a所示的上通告知道“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用了分期付款”，上通告表示“購買該商品的3位顧客中沒有采用分期付款”。P()=(1-0.4)3=0.216，P(A)=1-P()=1-0.216=0.784。的可取值為200元、250元、300元P(=200)=P(=1)=0.4，p (=250 )=p (=2) p (=3)=0.20.2

9、=0. 4，p (=300 )=p (=4) p (=5)=0. 10.1=0. 2，因此的分布列200250300p型0.40.40.2E()=2000.4 2500.4 3000.2=240 (元)。1 .實(shí)際問題中的平均問題平均值實(shí)際應(yīng)用廣泛，如體育比賽的預(yù)定和成績(jī)預(yù)測(cè)、消費(fèi)預(yù)測(cè)、工程方案預(yù)測(cè)、產(chǎn)品合格率預(yù)測(cè)、投資收益等可以用隨機(jī)變量的平均值來估計(jì)2 .概率模型的解答步驟(1)審查問題，確定實(shí)際問題是哪個(gè)概率模型，可用的事件類型，使用的公式是哪個(gè)(2)確定隨機(jī)變量的分布列，并且校正隨機(jī)變量的平均值(3)結(jié)合實(shí)際意義，回答概率、平均值等所表示的結(jié)論活用甲、乙兩個(gè)人輪流投籃，每個(gè)人先投籃，先

10、投籃保證先投籃者獲勝，直到有人獲勝，或者每個(gè)人投三次時(shí)投籃結(jié)束。解： Ak、Bk分別表示甲、乙在第k次投籃中投出P(Ak)=、P(Bk)=、(k=1、2、3 )。的所有可能值都是一、二、三。從獨(dú)立性知道P(=1)=P(A1) P(1B1)=，P(=2)=P(11A2) P(112B2)=22=、P(=3)=P(1122)=22=。從以上可知，的分布123p型數(shù)學(xué)期望是E()=1 2 3=。一級(jí)的學(xué)業(yè)水平達(dá)到了1 .離散型隨機(jī)變量x的分布列為x01p型x的數(shù)學(xué)期望E(X)=()A.2 B.2或德國足球甲級(jí)聯(lián)賽解析：由于選擇c在分布列中的概率和為1，所以=1，即a2 a-2=0，解為a=-2 (舍

11、去)或者a=1，在E(X)=.的情況下選擇c。2 .隨機(jī)變量的分布列如下表所示，E()的值為()012345p型2x3x7x2x3xx甲骨文。C. D分析：選擇c根據(jù)概率和為1，得到x=、e()=02x 13x 27x 32x 43x 5x=40x=.3 .有一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次打10環(huán)得1分，不打10環(huán)得0分。 如果知道他擊中10環(huán)的概率是0.8，那么射擊1次的得分x的期待是()A.0.2 B.0.8C.1 D.0戰(zhàn)斗機(jī)分析：因?yàn)檫x擇b的是P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，所以E(X)=10.8 00.2=0.8。4 .一個(gè)弓箭手射擊目標(biāo)，到首次命中為止，每次命中的概率為0.

12、6，現(xiàn)在有4發(fā)子彈頭，射擊停止后剩下的子彈頭數(shù)x的平均值為()A.2.44 B.3.376C.2.376 D.2.4分析：選擇C X的所有可能值為3，2，1，0，其分布為x3210p型0.60.240.0960.064e (x )=30.6 20.24 10.096 00.064=2. 376。有5.10個(gè)產(chǎn)品，其中3個(gè)是次品，從中任意取2個(gè)，取次品的個(gè)數(shù)用x表示，E(X )等于()甲骨文。德國足球甲級(jí)聯(lián)賽分析：選擇A X的可能值為0、1、2、P(X=0)=、P(X=1)=、p(x=2)=.e(x )。6 .一個(gè)弓箭手向目標(biāo)射擊，到第一次命中為止，每次命中的概率為0.6，現(xiàn)在有4發(fā)子彈頭，命中

13、后剩下的子彈頭數(shù)x的數(shù)學(xué)期待是.分析： x的可取值為3，2，1，0，P(X=3)=0.6。 P(X=2)=0.40.6=0.24。P(X=1)=0.420.6=0.096。P(X=0)=0.43=0.064。E(X)=30.6 20.24 10.096 00.064=2.376。答案：2.376設(shè)離散型隨機(jī)變量x的可取值為1，2，3，p (x=k )=AK b (k=1，2，3 )分析： p (x=1)=a b，P(X=2)=2a b，P(X=3)=3a b，E(X)=1(a b) 2(2a b) 3(3a b)=3，14a 6b=3.另外，a b、2 a b、3 a b=1，6a 3b=1.從可以看出，a=、b=-、b=-?；卮穑?-8.p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量x的概率分布如下x012p型-pp型E(X )的最大值是解析：只有從表中得到的p -，期望值E(X)=0 1p 2=p 1，p=的情況下，E(X )的最大值=。答案：9 .盒內(nèi)裝有5個(gè)同布蘭德的5號(hào)電池，其中混合有2個(gè)廢電池，現(xiàn)在無回