1、課時(shí)作業(yè)(十六)圓錐曲線的綜合問題1(2015全國卷)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值解析：(1)由題意有，1，解得a28，b24，所以C的方程為1.(2)設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入1得(2k21)x24kbx2b280.xM，yMkxMb.于是直線OM的斜率kOM，即kOMk.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值2(2017北京卷)已知拋物線C：

2、y22px過點(diǎn)P(1,1)過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)解析：(1)由拋物線C：y22px過點(diǎn)P(1,1)，得p.所以拋物線C的方程為y2x.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.(2)由題意，設(shè)直線l的方程為ykx(k0)，l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10，則x1x2，x1x2.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)，所以直線OP的方程為yx，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，x1)直線ON的方程為yx，點(diǎn)B的坐

3、標(biāo)為.因?yàn)閥12x10，所以y12x1，故A為線段BM的中點(diǎn)3(2017全國卷)已知拋物線C：y22x，過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4，2)，求直線l與圓M的方程解析：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由可得y22my40，則y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率與OB的斜率之積為1，所以O(shè)AOB，故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圓心M的坐標(biāo)為(m22，m)，圓M的半徑r.由于圓M過點(diǎn)P(4，2)，因此0，故(

4、x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可得y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m.當(dāng)m1時(shí)，直線l的方程為xy20，圓心M的坐標(biāo)為(3,1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x3)2(y1)210.當(dāng)m時(shí)，直線l的方程為2xy40，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為，圓M的方程為22.4(2017山東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：1(ab0)的離心率為，焦距為2.(1)求橢圓E的方程；(2)如圖，動直線l：yk1x交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，C是橢圓E上一點(diǎn)，直線OC的斜率為k2，且k1k2.M是線段OC延長線上一點(diǎn)，且

5、|MC|AB|23，M的半徑為|MC|，OS，OT是M的兩條切線，切點(diǎn)分別為S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值時(shí)直線l的斜率解析：(1)由題意知e，2c2，所以a，b1，所以橢圓E的方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程得(4k2)x24k1x10.由題意知0，且x1x2，x1x2，所以|AB| |x1x2| .由題意可知圓M的半徑r為r|AB| .由題設(shè)知k1k2，所以k2，因此直線OC的方程為yx.聯(lián)立方程得x2，y2，因此|OC| .由題意可知sin，而，令t12k，則t1，(0,1)，因此1，當(dāng)且僅當(dāng)，即t2時(shí)等號成立，此時(shí)k1，所以sin，因此，所以

6、SOT的最大值為.綜上所述：SOT的最大值為，取得最大值時(shí)直線l的斜率為k1.5如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y1y2的值及直線AB的斜率解析：(1)由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)因?yàn)辄c(diǎn)P(1,2)在拋物線上，所以222p1，解得p2.故所求拋物線的方程是y24x，準(zhǔn)線方程是x1.(2)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB，則kPA(x11)，kPB(x21)，因?yàn)镻A與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，所

7、以kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，得y4x1，y4x2，所以，所以y12(y22)所以y1y24.由得，yy4(x1x2)，所以kAB1(x1x2)6(2017陜西省高三教學(xué)質(zhì)量檢測試題(一)已知F1，F(xiàn)2為橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(1，)在橢圓E上，且|PF1|PF2|4.(1)求橢圓E的方程；(2)過F1的直線l1，l2分別交橢圓E于A，C和B，D，且l1l2，問是否存在常數(shù)，使得，成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由解析：(1)|PF1|PF2|4，2a4，a2.橢圓E：1.將P(1，)代入可得b23，橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)AC的斜率為零或斜率不存在時(shí)，；當(dāng)AC的斜率k存在且k0時(shí)，AC的方程為