1、3.4復(fù)合函數(shù)的導數(shù),一、復(fù)習與引入：,1. 函數(shù)的導數(shù)的定義與幾何意義.,2.常見函數(shù)的導數(shù)公式.,3.導數(shù)的四則運算法則.,4.例如求函數(shù)y=(3x-2)2的導數(shù),那么我們可以把平方式 展開,利用導數(shù)的四則運算法則求導.然后能否用其它 的辦法求導呢?,又如我們知道函數(shù)y=1/x2的導數(shù)是 =-2/x3,那么函數(shù) y=1/(3x-2)2的導數(shù)又是什么呢?,為了解決上面的問題,我們需要學習新的導數(shù)的運算法則,這就是復(fù)合函數(shù)的導數(shù).,二、新課復(fù)合函數(shù)的導數(shù),1.復(fù)合函數(shù)的概念:,對于函數(shù)y=f (x),令u= (x),若y=f(u)是中間變量 u的函數(shù), u= (x)是自變量x的函數(shù),則稱y=f

2、 (x) 是自變量x的復(fù)合函數(shù).,2.復(fù)合函數(shù)的導數(shù):,設(shè)函數(shù) 在點x處有導數(shù) ,函數(shù)y=f(u)在 點x的對應(yīng)點u處有導數(shù) ,則復(fù)合函數(shù) 在點x處也有導數(shù),且 或記,如:求函數(shù)y=(3x-2)2的導數(shù),我們就可以有,令y=u2,u =3x-2,則 從而 .結(jié)果與我們利用導數(shù)的四則運算法則求得的結(jié)果完全一致.,在書寫時不要把 寫成 ,兩者是不完全一樣的,前者表示對自變量x的求導,而后者是對中間變量 的求導.,3.復(fù)合函數(shù)的求導法則:,復(fù)合函數(shù)對自變量的導數(shù),等于已知函數(shù)對中間 變量的導數(shù),乘以中間變量對自變量的導數(shù).,法則可以推廣到兩個以上的中間變量.,求復(fù)合函數(shù)的導數(shù),關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合

3、關(guān)系,合理選定中間變量,明確求導過程中每次是哪個變量對哪個變量求導,一般地,如果所設(shè)中間變量可直接求導,就不必再選其他中間變量.,復(fù)合函數(shù)的求導法則與導數(shù)的四則運算法則要有機的結(jié)合和綜合的運用.要通過求一些初等函數(shù)的導數(shù),逐步掌握復(fù)合函數(shù)的求導法則.,三、例題選講：,例1:求下列函數(shù)的導數(shù):,解:設(shè)y=u5,u=2x+1,則:,解:設(shè)y=u-4,u=1-3x,則:,解:設(shè)y=u4,u=1+v2,v=sinx,則:,說明:在對法則的運用熟練后,就不必再寫中間步驟.,例2:求下列函數(shù)的導數(shù):,解:,(2),解:,(3)y=tan3x;,解:,(4),解:,例3:如果圓的半徑以2cm/s的等速度增加

4、,求圓半徑R= 10cm時,圓面積增加的速度.,解:由已知知:圓半徑R=R(t),且 = 2cm/s.,又圓面積S=R2,所以 =40(cm)2/s.,故圓面積增加的速度為40(cm)2/s.,例4:在曲線 上求一點,使通過該點的切線平行于 x軸,并求此切線的方程.,解:設(shè)所求點為P(x0,y0).則由導數(shù)的幾何意義知:,切線斜率,把x0=0代入曲線方程得:y0=1.,所以點P的坐標為(0,1),切線方程為y-1=0.,例5:設(shè)f(x)可導,求下列函數(shù)的導數(shù): (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x),解:,說明:對于抽象函數(shù)的求導,一方面要從其形式是把握其結(jié)

5、構(gòu)特征,另一方面要充分運用復(fù)合關(guān)系的求導法則.,我們曾經(jīng)利用導數(shù)的定義證明過這樣的一個結(jié)論: “可導的偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù);可導的奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)”.現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的導數(shù)重新加以證明:,證:當f(x)為可導的偶函數(shù)時,則f(-x)=f(x).兩邊同時對x 求導得: ,故 為 奇函數(shù).,同理可證另一個命題.,我們還可以證明類似的一個結(jié)論:可導的周期函數(shù)的導函數(shù)也是周期函數(shù).,證:設(shè)f(x)為可導的周期函數(shù),T為其一個周期,則對定義 域內(nèi)的每一個x,都有f(x+T)=f(x).,兩邊同時對x求導得: 即 也是以T為周期的周期函數(shù).,例6:求函數(shù) 的導數(shù).,說明:這是分段函數(shù)的求導問題,先根據(jù)各段的函數(shù)表達 式,求出在各可導(開)區(qū)間的函數(shù)的導數(shù),然后再用 定義來討論分段點的可導性.,解:當x1時, .,又 ,故f(x)在x=1處連續(xù).,而,從而f(x)在x=1處不可導.,四、小結(jié)：,利用復(fù)合函數(shù)的求導法則來求導數(shù)時,選擇中間變 量是復(fù)合函數(shù)求導的關(guān)鍵.必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的,分清其間的復(fù)合關(guān)系.要善于把一部分量