1、 5.1物質(zhì)的微觀模型 統(tǒng)計(jì)規(guī)律,第五章 氣體分子運(yùn)動(dòng)論(Kinetic theory of gases),一、分子數(shù)密度和線度,分子數(shù)的平均密度：31019個(gè)/CM3,分子的平均線度：10-10m,二、分子力,三、分子熱運(yùn)動(dòng)的無(wú)序性 及統(tǒng)計(jì)規(guī)律,定義: N - 各種事件發(fā)生的 總次數(shù) Ni - 事件 i 發(fā)生的 次數(shù) 事件 i 發(fā)生的概率為 Pi,統(tǒng)計(jì)規(guī)律有以下幾個(gè)特點(diǎn): （1）只對(duì)大量偶然的事件才有意義. （2）它是不同于個(gè)體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質(zhì)變). （3）總是伴隨著漲落.,表演實(shí)驗(yàn)：伽耳頓板,例. 扔硬幣,對(duì)分子集體的統(tǒng)計(jì)假設(shè),什么是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,大量偶然事件從整體上反映出來(lái)的一種規(guī)

2、律性。,分子熱運(yùn)動(dòng)的平均速度約 v = 500m/s ； 分子的平均碰撞次數(shù)約 z = 1010 次/秒,布朗運(yùn)動(dòng)。,一. 微觀模型,1. 對(duì)單個(gè)分子的力學(xué)性質(zhì)的假設(shè),（1）、分子當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，不占體積； （因?yàn)榉肿拥木€度分子間的平均距離） （2）、分子之間除碰撞的瞬間外，無(wú)相互作用力。 （忽略重力） （3）、彈性碰撞（動(dòng)能不變） （4）、服從牛頓力學(xué) 分子數(shù)目太多，無(wú)法解這么多的聯(lián)立方程。 即使能解也無(wú)用，因?yàn)榕鲎蔡l繁，運(yùn)動(dòng)情況瞬息萬(wàn)變， 必須用統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)研究。,(理想氣體的微觀假設(shè)),5 .2理想氣體的壓強(qiáng)公式,2.對(duì)大量分子組成的氣體系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)：,dV-體積元（宏觀小，微觀大）,（3

3、）平衡態(tài)時(shí)分子的速度按方向的分布是各向均勻的。,（1）分子的速度各不相同，而且通過(guò)碰撞不斷變化著；,（2）平衡態(tài)時(shí)分子按位置的分布是均勻的， 即分子數(shù)密度到處一樣，不受重力影響；,一定質(zhì)量的處于平衡態(tài)的某種理想氣體。,二理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo),一次碰撞單分子動(dòng)量變化,2mVix,單位時(shí)間內(nèi)與S 碰撞的次數(shù)：Vix/ 2X,X,Y,Z,O,Vi,Vix,Viy,Viz,Y,兩次連續(xù)碰撞所要時(shí)間：2X/Vix,Z,設(shè)第i 個(gè)分子，其速度為：,dt 時(shí)間內(nèi)第i 個(gè)分子傳給S 的沖量為：,在 dt 時(shí)間內(nèi)碰撞的次數(shù)為：,P =,=,=,dt 時(shí)間內(nèi)所有分子傳給S 的沖量為：,又,這里的壓強(qiáng)只是統(tǒng)計(jì)概念

4、，僅對(duì)大量分子成立。,三理想氣體的溫度和分子平均平動(dòng)動(dòng)能,對(duì)1mol 的氣體，其分子數(shù)為：NA，質(zhì)量為：,故有：M=Nm0, =NAm0,代入理想氣體的狀態(tài)方程,平均平動(dòng)動(dòng)能只與溫度有關(guān),溫度是統(tǒng)計(jì)概念，只能用于大量分子，溫度標(biāo)志物體內(nèi)部 分子無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。, 5.3 能量均分定理,研究氣體的能量時(shí)，氣體分子不能再看成質(zhì)點(diǎn)，微觀模型要修改，因?yàn)榉肿佑衅絼?dòng)動(dòng)能，還有轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，振動(dòng)動(dòng)能。,自由度：確定一個(gè)物體的空間位置 所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。,一、自由度,1. 單原子分子,自由度 i = 3,即3 個(gè)平動(dòng)自由度,2、雙原子分子,A 剛性,質(zhì)心的平動(dòng)自由度 t= 3 繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 r=

5、2,B.非剛性,質(zhì)心的平動(dòng)自由度 t= 3 繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 r= 2 （相對(duì)質(zhì)心）振動(dòng)自由度v = 1,所以對(duì)雙原子分子,剛性 i =t+r = 5 非剛性 i =t+r+v = 6,3、剛性多原子分子,質(zhì)心的平動(dòng)自由度 t= 3 繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 r= 3 所以對(duì)多原子分子 i =t+r= 6,由理想氣體模型 單原子分子：,剛性雙原子分子除平,非剛性雙原子分子,振動(dòng)自由度 V= 1,二、能量均分定理,動(dòng)能，還有轉(zhuǎn)動(dòng)能：,除平動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)能， 還有振動(dòng)能：,能量均分定理,在平衡狀況下，分子的每個(gè)自由度都有相同的平均 動(dòng)能,設(shè)平動(dòng)自由度 t ，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 r，振動(dòng)自由度 v ，平均總能量：,

6、單原子分子:t=3,r=0,=0,非剛性雙原子分子t=3,r=2,=1,剛性雙原子分子：t=3,r=2,=0,說(shuō)明為一個(gè)分子的。,如果將分子能量自由度定義為：分子能量表達(dá)式中獨(dú)立的速度和坐標(biāo)的二次方項(xiàng)的數(shù)目。,則能量均分定理可表述為：在平衡狀況下，分子的每個(gè)能量自由度的平均 能量都相等，均為：,三、理想氣體的內(nèi)能,氣體的內(nèi)能,分子的動(dòng)能,分子間的勢(shì)能,平動(dòng)能,轉(zhuǎn)動(dòng)能,振動(dòng)能,振動(dòng)動(dòng)能,振動(dòng)勢(shì)能,原子間勢(shì)能,理想氣體內(nèi)能 = 分子的動(dòng)能 + 分子內(nèi)部原子間的勢(shì)能,理想氣體內(nèi)能只是溫度的函數(shù)，與熱力學(xué)溫度成正比。,對(duì)于 平動(dòng)自由度為： t ，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度為： r，振動(dòng)自由 度為： v ，摩爾質(zhì)量為：

7、 ；總質(zhì)量為：M 的 理想氣 體，溫度為 T 時(shí)其內(nèi)能為：,對(duì)于理想氣體，分子之間的相互作用力不計(jì)，所以其分子間的勢(shì)能為零。,例：一容器內(nèi)儲(chǔ)有氧氣，其壓強(qiáng)為：1.01105Pa， 溫度為：27.0oC。 求（1）、氣體分子數(shù)的密度； （2）、氧氣的密度； （3）、分子的平均平動(dòng)動(dòng)能； （4）、分子間的平均距離。,解：,問(wèn)題：1 摩爾的上述氣體的內(nèi)能為多少？ 每個(gè)分子的平均能量又是多少？,內(nèi)容小結(jié),1、理想氣體的微觀模型,（1）、分子當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，不占體積； （2）、分子之間除碰撞的瞬間外，無(wú)相互作用力。 （3）、彈性碰撞（動(dòng)能不變） （4）、服從牛頓力學(xué),2、理想氣體的壓強(qiáng)公式,3、理想氣體的溫度

8、和分子平均平動(dòng)動(dòng)能,4、能量均分定理,在平衡狀況下，分子的每個(gè)自由度都有相同的平均 動(dòng)能,5、理想氣體的內(nèi)能,理想氣體 的內(nèi)能,分子的動(dòng)能,平動(dòng)能,轉(zhuǎn)動(dòng)能,振動(dòng)能,振動(dòng)動(dòng)能,振動(dòng)勢(shì)能,原子間勢(shì)能,作業(yè)：6-1、6-3、6-4、6-11、6-13。, 5.4 麥克斯韋速率分布律,單個(gè)分子速率不可預(yù)知，大量分子的速率分布卻遵循統(tǒng) 計(jì)規(guī)律，是確定的，這個(gè)規(guī)律也叫麥克斯韋速率分布律。,速率分布函數(shù)：按統(tǒng)計(jì)假設(shè)分子速率通過(guò)碰撞不斷改變，不好 說(shuō)正處于哪個(gè)速率的分子數(shù)多少，但用某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù) 占總分子數(shù)的比例為多少的概念比較合適，這就是分子按速率 的分布。,設(shè)總分子數(shù)N，速率區(qū)間 v v+dv，該速

9、率區(qū)間內(nèi)分子數(shù) dNv,f(v):速率 v 附近單位速率區(qū)間內(nèi) 分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,一、速率分布函數(shù),麥克斯韋速率分布函數(shù),最概然速率 vp,f (v) = 0,二、三種統(tǒng)計(jì)速率,1、最概然速率 vp,f(v),f(vp1),v,vp,f(vp2),T1,T2,溫度越高，速率大的分子數(shù)越多,問(wèn)題：若曲線1、2、為同一 種氣體的速率分布曲線，試 比較T1 T2 的大小； 若T1 = T2 試比較M1 M2 的 大小。,不要問(wèn)速率剛好等于某一值的分子數(shù)多少，沒(méi)有意義。,2、平均速率,式中：,利用公式：,最后可得：,3、方均根速率,利用公式：,式中：,例：有N個(gè)質(zhì)量均為m 的同種氣體分子其速

10、率分布如圖所示，（1）說(shuō)明曲線與橫軸所圍面積的意義；（2）由N 和v0 求a；（3）求速率在v0 /2 到 3v0 /2 之間的分子數(shù)；（4）求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。,解：（1）分子數(shù)目按速率 的分布；,（2）,（3）,（4）, 5.5 玻耳茲曼分布律,假如氣體分子有勢(shì)能 Ep = Ep( x，y，z )， E = Ep+ Ek,玻耳茲曼推廣：氣體分子速度在區(qū)間,為準(zhǔn)確描述玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)，引入一概念 - 微觀狀態(tài),位置在區(qū)間 x x+dx，y y+dy，z z+dz,分子數(shù)目為,微觀狀態(tài)：一氣體分子處于速度區(qū)間 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ，,玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)：溫度T 的平衡狀態(tài)下，任

11、何系統(tǒng)的微觀粒子 按狀態(tài)的分布，即在某一狀態(tài)區(qū)間的粒子數(shù)與該 狀態(tài)區(qū)間的,其它情形，如原 子處于不同能級(jí) 的原子數(shù)目,一個(gè)粒子的能量 E 有關(guān)，而且與e -E /kT 成正比。,vz vz+dvz ，位置區(qū)間 x x+dx，y y+dy，z z+dz， 稱(chēng)該分子處于一種微觀狀態(tài)， dvx dvy dvz dxdydz 決定的區(qū)域稱(chēng)為狀態(tài)區(qū)間。,代入上式，歸一化,分子數(shù) dN 處于位置區(qū)間 x x+dx，y y+dy，z z+dz,令 Ep =0 處 氣體密度 n0,意義：在重力場(chǎng)中氣體密度隨高度變化。,重力場(chǎng)中的氣體分子按位置分布,恒溫氣壓公式（高度計(jì)）,設(shè)溫度不隨高度變化,根據(jù)壓強(qiáng)變化測(cè)高度

12、，實(shí)際溫度也隨高度變化，,測(cè)大氣溫度有一定的范圍，是近似測(cè)量。,例：一容積為10cm3 的電子管，當(dāng)溫度為300K時(shí)，用真空 泵把管內(nèi)的空氣抽成壓強(qiáng)為510mmHg的高真空，問(wèn)此時(shí) 管內(nèi)有多少空氣分子？它們的平均平動(dòng)動(dòng)能的總和是多少？ 平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的總和是多少？平均動(dòng)能的總和是多少？ （760mmHg = 1.013 105 Pa ,空氣分子可認(rèn)為是剛性雙原 子分子。）,解（1）設(shè)管內(nèi)分子總數(shù)為N,（2）平均平動(dòng)動(dòng)能的總和：,（3）平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的總和：,（4）平均動(dòng)能的總和：,問(wèn)題：一個(gè)分子相應(yīng)的平均能量各是多少？,例：一容器的體積為2V0，由絕熱板C將其隔成相等的A、B 兩部分，設(shè)A內(nèi)儲(chǔ)有1

13、mol 的單原子氣體，設(shè)B內(nèi)儲(chǔ)有2mol 的雙原子氣體，A、B兩部分的壓強(qiáng)均為P0。 （均視為理想 氣體）。 試求：（1）A、B內(nèi)氣體的內(nèi)能。 （2）抽去隔板待兩氣體平衡后的壓強(qiáng)和溫度。,解： （1）對(duì)1mol 的單原子氣體，其內(nèi)能為：,對(duì)2mol 的雙原子氣體，其內(nèi)能為：,（2）因容器絕熱，C板抽去 后氣體的內(nèi)能不變，溫度變?yōu)門(mén),由分壓定律：,內(nèi)容小結(jié),（要求理解其物理意義）,2、三種統(tǒng)計(jì)速率,A、最概然速率 vp,B、平均速率,C、方均根速率,作業(yè)： 6-7，6-8，7-1，7-5, 7-7，7-8。,在運(yùn)動(dòng)方向上，以 d 為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將與,該圓柱體的截面積 就叫 碰撞截面 =

14、 d2,5.6 平均碰撞頻率 和平均自由程,一個(gè)分子在單位 時(shí)間內(nèi)被碰撞的 平均次數(shù)。,1、平均碰撞頻率,分子A 碰撞。,對(duì)空氣分子 d 3.5 10 -10 m,氣體容器線度小于平均自由程計(jì)算值時(shí)，實(shí)際平均自由程,連續(xù)兩次碰撞之間分子所經(jīng)過(guò)的平均自由路程。,就是容器線度的大小。,取平均,各個(gè)方向隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，故為零,設(shè) 均方根速率與平均速率的規(guī)律相似，則由上式, 5.7 輸運(yùn)過(guò)程,最簡(jiǎn)單的非平衡態(tài)問(wèn)題：不受外界干擾時(shí)，系統(tǒng)自發(fā)地從非平衡態(tài)向物理性質(zhì)均勻的平衡態(tài)過(guò)渡的過(guò)程 - 輸運(yùn)過(guò)程。,系統(tǒng)各部分的物理性質(zhì)，如流速、溫度或密度不均勻時(shí)，,非平衡態(tài)問(wèn)題是至今沒(méi)有完全解決的問(wèn)題，,介紹三種輸運(yùn)過(guò)程的

15、基本規(guī)律：,內(nèi)摩擦,熱傳導(dǎo),擴(kuò)散,系統(tǒng)處于非平衡態(tài)。,理論只能處理一部分，另一部分問(wèn)題還在研究中。,一、內(nèi)摩擦（粘滯現(xiàn)象）,現(xiàn)象：A盤(pán)自由，B盤(pán)由電機(jī)帶動(dòng)而,解釋?zhuān)築盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)因摩擦作用力帶動(dòng)了,這種相鄰的流體之間因速度不同，引起的,流速不均勻，沿 z,轉(zhuǎn)動(dòng)，慢慢A盤(pán)也跟著轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)。,變化（或有梯度）,相互作用力稱(chēng)為內(nèi)摩擦力，或粘滯力。,周?chē)目諝鈱?，這層又帶動(dòng)鄰近層， 直到帶動(dòng)A盤(pán)。,也稱(chēng)為粘滯系數(shù),20 oC 時(shí)，水為 1.005 10-3 Pa s空氣為 1.71 10-7 Pa s,流速大的流層帶動(dòng)流速小的流層，流速小的流層阻礙流速,不同流層之間有粘滯力,微觀上，這種粘滯力是動(dòng)量傳遞的結(jié)果

16、。,單位為：Kg/ms,大的流層。,二、熱傳導(dǎo)現(xiàn)象,溫度不均勻就有熱傳導(dǎo),設(shè)：沿 z 方向有溫度梯度，實(shí)驗(yàn)指出：,負(fù)號(hào)表示熱量從溫度高處向 溫度低處傳遞， 為導(dǎo)熱系數(shù),單位為：mKg/s3K,熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的微觀本質(zhì)是能量的定向遷移。,dt 時(shí)間內(nèi)，通過(guò) dS傳遞的熱量為：,三、擴(kuò)散現(xiàn)象,密度不均勻就有擴(kuò)散,設(shè)：沿 z 方向分子數(shù)密度有梯度，實(shí)驗(yàn)指出 ：,負(fù)號(hào)表示氣體分子從密度高處向密度低處傳遞 ，,上式兩邊同乘分子的質(zhì)量m ，則有,問(wèn)題：其意義是什么？,擴(kuò)散現(xiàn)象的微觀本質(zhì)是質(zhì)量的定向遷移。,dt 時(shí)間內(nèi)，通過(guò) dS 傳遞的分子數(shù)為：,D 為擴(kuò)散系數(shù) 單位為：m2/s, 5.8 范德瓦爾斯方程,對(duì)

17、1mol的理想氣體,分子間引力引起的修正,對(duì)容器中的氣體分子， 在其作用半徑內(nèi)，分 子均勻分部，故所受 力為零。,分子為剛性球，氣體分子本身占有體積 ，容器容積應(yīng)有修正,Pi稱(chēng)為內(nèi)壓強(qiáng)。,受一指向內(nèi)的引力，,對(duì)器壁附近分子：,該力降低了氣體對(duì),器壁碰撞的劇烈程,度，從而使壓強(qiáng)P減少,Pi和哪些因素有關(guān)？,同時(shí)與在器壁附近被吸引氣體分子的氣體密度成正比。,內(nèi)壓強(qiáng)與器壁附近吸引氣體分子的氣體密度成正比，,對(duì)質(zhì)量為 M 的氣體,上兩式就是范德瓦耳斯方程,對(duì)氮?dú)?，常溫和壓?qiáng)低于 5107 Pa范圍,此式僅對(duì)一摩爾的氣體成立,代入上式化簡(jiǎn)得：,圖中FE段在實(shí)際 上是不可能實(shí)現(xiàn)的。,BE和FC是可以實(shí)現(xiàn)的。,過(guò)飽和蒸氣是一種亞 穩(wěn)態(tài)。,凝結(jié)核,云室,BE段,CF段 過(guò)熱液體，也是一中亞穩(wěn)態(tài)。汽化核 氣泡室 鍋爐爆炸。, 5.9 實(shí)際氣體等溫線,在非常溫或非常壓的情況下，氣體就不能看成理想氣體了。,飽和蒸汽壓（汽液共存時(shí)的壓強(qiáng)）與體積無(wú)關(guān),臨界點(diǎn)以下氣體可等溫壓縮液化，以上氣體不能等溫壓縮液化,實(shí)際氣體的等溫線可以分成四個(gè)區(qū)域: 汽態(tài)區(qū)(能液化)，汽液共存區(qū)，液態(tài)區(qū)，氣態(tài)區(qū)(不能液化)。,例. 設(shè)P0=1 atm.恒壓下加熱水，起始狀態(tài)為a點(diǎn)。,ab: P = P0 不變，t 增加，直到到達(dá) t =1000C的等溫線上的b點(diǎn)。 這時(shí)液體中有小汽泡出現(xiàn)（汽化）。,再繼續(xù)加熱，液體中,共存，