1、第二課時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,第四章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,知識梳理,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系 1(函數(shù)單調(diào)性的充分條件)設(shè)函數(shù)yf(x) 在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)y0，那么函數(shù)yf(x) 在這個區(qū)間內(nèi)為_；如果在這個區(qū)間內(nèi)y0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)為_ 2(函數(shù)單調(diào)性的必要條件)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果函數(shù)yf(x) 在這個區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，那么在這個區(qū)間內(nèi)_；如果函數(shù)yf(x) 在這個區(qū)間內(nèi)為_，那么在這個區(qū)間內(nèi)_,答案：1增函數(shù)減函數(shù)2.y0減函數(shù)y0,3求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法 (1)確定函數(shù)_的定義域； (2)計算導(dǎo)數(shù)_，令_，解此方程

2、，求出它們在定義域區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根； (3)把函數(shù)_的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義的點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把_的定義域分成若干個小區(qū)間； (4)確定_在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)_的符號判定函數(shù)_在每個相應(yīng)小區(qū)間的增減性(若_0，則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；若_0，則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)),答案：3.(1)f(x) (2)f(x)f(x)0 (3)f(x)f(x)(4)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x),基礎(chǔ)自測,1(2011年廣州天河區(qū)檢測)函數(shù)f(x)x33x21是減函數(shù)的區(qū)間為() A(2，)B(，2) C(，0) D(0,2),解

3、析：y3x26x，令3x26x0，解得0x2.故選D. 答案：D,2(2011年徽州檢測)若函數(shù)f(x)axln x在 上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是() A. B. C. D.,D,3(2012年佛山南海區(qū)第一中學(xué)檢測)函數(shù)f(x)x22ln x的單調(diào)減區(qū)間是_,解析：首先考慮定義域(0，)，由f(x)2x 0及x0知0x1. 答案：(0,1),4(2010年深圳福田區(qū)檢測)若函數(shù)h(x)2x 在(1，)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_,答案： 2，),求函數(shù)f(x)xln x的單調(diào)區(qū)間,解析：由f(x)xln x易知x0，所以函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，f(x)ln x10解得x ， 由f

4、(x)ln x10，解得0x ，故函數(shù)f(x)xln x的單調(diào)遞增區(qū)間是(e1，), 單調(diào)遞減區(qū)間是(0，e1),變式探究,1(2010合肥質(zhì)量檢測)函數(shù)f(x)2x33x210的單調(diào)遞減區(qū)間為_,解析：f(x)6x26x，令f(x)6x26x0，解得0x1，所以函數(shù)f(x)2x33x210的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1) 答案：(0,1),(2011年西安模擬)已知函數(shù)f(x)x33ax1，a0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在x1處取得極值，直線ym與yf(x)的圖象有三個不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍,解析：(1)f(x)3x23a3(x2a)， 當(dāng)a0時，對xR，有f(x)0，

5、所以當(dāng)a0時， f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)；,(2)因?yàn)閒(x)在x1處取得極值，所以f(1)3(1)23a0，a1.所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0解得x11，x21. 由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x1處取得極大值f(1)1，在x1處取得極小值f(1)3. 因?yàn)橹本€ym與函數(shù)yf(x)的圖象有三個不同的交點(diǎn)，又f(3)193，f(3)171， 結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是(3,1),變式探究,2(2010年廣州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x3ax2x1，aR. (1)當(dāng)a2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 內(nèi)是減函數(shù)，求a

6、的取值范圍,解析：(1)當(dāng)a2時，f(x)x32x2x1， f(x)3x24x1， 令f(x)0解得：x1或x ； 令f(x)0解得：1x .,已知f(x)exax1. (1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間； (2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍； (3)是否存在a，使f(x)在(，0上單調(diào)遞減，在0，)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由,解析：f(x)exa. (1)若a0，f(x)exa0恒成立，即f(x)在R上遞增 若a0，由exa0，exa，xln a. f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(ln a，),(2)f(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增，f(x)0在R上恒成立 exa0，即a

7、ex在R上恒成立 a(ex)min，又ex0，a0. (3)解法一：由題意知exa0在(，0上恒成立 aex在(，0上恒成立 ex在(，0上為增函數(shù) x0時，ex最大為1.a1. 同理可知exa0在0，)上恒成立 aex在0，)上恒成立a1，a1. 解法二：由題意知，x0為f(x)的極小值點(diǎn)， f(0)0，即e0a0，a1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,變式探究,3(2011年柳州模擬)已知： 函數(shù)f(x) (1) 判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3) 若關(guān)于x的方程f(x)k恰有三個不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍,解析：(1)當(dāng)x0時，x0， f(x)xln(x)，f(x)xl

8、n(x)， f(x)f(x)， f(x)是奇函數(shù) (2)當(dāng)x0時，f(x)xln x，,(3)考察f(x)的圖象變化，由(2)知，,方程f(x)k恰有三個不同的根， f(x)的圖象與yk的圖象應(yīng)有3個不同的交點(diǎn)， k0或0k .,(2010年全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)1 .證明：當(dāng)x1時，f(x) .(節(jié)選),思路分析：欲證f(x) ，(x1)，即證 ，也就是證exx1，即證exx10，假設(shè)構(gòu)造函數(shù)g(x)exx1，(x1)，若能證明當(dāng)x1時，g(x)min0，則問題得證,證明：當(dāng)x1時，f(x) 當(dāng)且僅當(dāng)ex1x. 令g(x)exx1，則g(x)ex1. 當(dāng)x0時，g(x)0，g(x)在0，)是

9、增函數(shù)； 當(dāng)x0時，g(x)0，g(x)在(，0是減函數(shù) 于是g(x)在x0處達(dá)到最小值，因而當(dāng)xR時，g(x)g(0)，即ex1x，所以當(dāng)x1時，f(x) .,點(diǎn)評：通過構(gòu)造函數(shù)， 利用導(dǎo)數(shù)判斷出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性， 利用單調(diào)性證明不等式這也是證明不等式的一種有效方法,變式探究,4證明不等式ex1x.(xR),提示：構(gòu)造函數(shù)f(x)ex1x，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)f(x)ex1x是增函數(shù)，ex1x.,教師用書備選題,(2010年蘇州模擬)f(x)ax33x1對于x ，總有f(x)0成立，則a_.,思路分析：本小題考查函數(shù)單調(diào)性及恒成立問題的綜合運(yùn)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,解析：要使f(x)0

10、恒成立， 只要f(x)min0在x 上恒成立 f(x)3ax233(ax21) (1)當(dāng)a0時，f(x)3x1，所以f(x)min20，不符合題意，舍去,(2)當(dāng)a0時，f(x)3ax233(ax21)0，即f(x)單調(diào)遞減，f(x)minf(1)a20a2，舍去,當(dāng) 1，即a1時，f(x)在x 上單調(diào)遞減，f(x)minf(1)a20a2，不符合題意，舍去 綜上可知a4.,答案：4,變式探究,5(2009年廈門大同中學(xué)檢測)設(shè)函數(shù)f(x)x32ax23a2x1,0a1. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若x1a,1a時，恒有af(x)a成立(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，試確

11、定實(shí)數(shù)a的取值范圍,解析：(1)f(x)x24ax3a2，且0a1, 當(dāng)f(x)0時，得ax3a； 當(dāng)f(x)0時，得xa或x3a； f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,3a)； f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，a)和(3a，),當(dāng)0a時，1a2a，f(x)在區(qū)間1a,1a內(nèi)是單調(diào)遞減. f(x)maxf(1a)8a26a1， f(x)minf(1a)2a1. af(x)a，,1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便，但應(yīng)注意f(x)0(或f(x)0)僅是f(x)在某個區(qū)間上遞增(或遞減)的充分條件在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在(a，b)上遞增(或遞減)的充要條件應(yīng)是f(x)0(或f

12、(x)0)，x(a，b)恒成立，且f(x)在(a，b) 的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.這就是說，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在該區(qū)間內(nèi)個別點(diǎn)x0處有f(x0)0，甚至可以在無窮多個點(diǎn)處f(x0)0，只要這樣的點(diǎn)不能充滿所給區(qū)間的任何子區(qū)間，因此在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)(或減函數(shù))求參數(shù)的取值范圍時，應(yīng)令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去，若f(x)不恒為0，則由f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定,2用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間也可按如下步驟進(jìn)行 (1)求函數(shù)f(x

13、)的導(dǎo)數(shù)f(x)； (2)令f(x)0，解不等式得x的范圍就是遞增區(qū)間； (3)令f(x)0，解不等式得x的范圍就是遞減區(qū)間 3討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時，必須注意分類討論,1(2009年廣東卷)函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 () A(，2)B(0,3) C(1,4) D(2，),解析：f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex， 令f(x)0，解得x2，故選D. 答案：D,2(2010年遼寧卷)已知函數(shù)f(x)(a1)ln xax21. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)設(shè)a2，證明：對任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.,解析：(1) f(x)的定義域?yàn)?0，)，,當(dāng)a0時，f(x)0，故f(x)在(0，)單調(diào)遞增； 當(dāng)a1時，f(x)0, 故f(x)在(