1、2020/7/31,1,第三部分 代數(shù)結(jié)構(gòu),引言 代數(shù)系統(tǒng) 群與環(huán) 格與布爾代數(shù),2020/7/31,2,引言,數(shù)學(xué)的三大核心領(lǐng)域 代數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)中研究數(shù)的部分 幾何學(xué)：數(shù)學(xué)中研究形的部分 分析學(xué)：溝通形與數(shù)且涉及極限運(yùn)算的部分 總體來(lái)說(shuō)： 數(shù)學(xué)的三大類(lèi)數(shù)學(xué)構(gòu)成了整個(gè)數(shù)學(xué)的本體與核心。 在這一核心的周?chē)?，由于?shù)學(xué)通過(guò)數(shù)與形這兩個(gè)概念，與其它科學(xué)互相滲透，而出現(xiàn)了許多邊緣學(xué)科和交叉學(xué)科。 現(xiàn)在已經(jīng)擁有100多個(gè)主要分支學(xué)科。,2020/7/31,3,引言,代數(shù)學(xué) 代數(shù)學(xué)是建立在集合論基礎(chǔ)上以代數(shù)運(yùn)算為研究對(duì)象的學(xué)科。 其范疇包括： 算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、抽象代數(shù) 代數(shù)學(xué)發(fā)展的4個(gè)階段:

2、1文字?jǐn)⑹鲭A段2簡(jiǎn)化文字階段 3符號(hào)代數(shù)階段4結(jié)構(gòu)代數(shù)階段,一門(mén)科學(xué)的歷史是那門(mén)科學(xué)中最寶貴的一部分，因?yàn)榭茖W(xué)只能給我們知識(shí)，而歷史卻能給我們智慧。,2020/7/31,4,1 文字?jǐn)⑹鲭A段,文字?jǐn)⑹鲭A段 尚未形成任何簡(jiǎn)化的符號(hào)表達(dá)法； 代數(shù)運(yùn)算法則都是采用通常的語(yǔ)言敘述方式來(lái)表達(dá)； 代數(shù)推理也都采用直觀的方法。 古代中國(guó): 算籌法 算籌計(jì)數(shù) 籌算開(kāi)方法（九章算術(shù) ）,2020/7/31,5,1 文字?jǐn)⑹鲭A段,而古希臘則借助于幾何圖形的變換方法 最典型的代表是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras公元前585497)幾何數(shù)論方法。 1+3+5+(2n-1)=n2,不要認(rèn)為簡(jiǎn)單的幾何圖形變換只能產(chǎn)生簡(jiǎn)

3、單的代數(shù)結(jié)論，恰當(dāng)?shù)乩脦缀螆D形的變換有時(shí)也會(huì)產(chǎn)生重要的代數(shù)結(jié)論,2020/7/31,6,2 簡(jiǎn)化文字階段,簡(jiǎn)化文字階段 古希臘數(shù)學(xué)后期，數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus,公元250年）才開(kāi)始把通常的語(yǔ)言敘述作簡(jiǎn)化，利用簡(jiǎn)化的文字符號(hào)代替一些相對(duì)固定的代數(shù)表達(dá)式。 算術(shù)使用簡(jiǎn)化文字符號(hào) 12345678910： 平方 ： （希臘文冪”字為dumamis(YNMIS) ） 立方 ： (立方的希臘文為kubos(KYBOS) ),2020/7/31,7,3 符號(hào)代數(shù)階段,符號(hào)代數(shù)階段 用字母表示數(shù)，這一過(guò)程使代數(shù)學(xué)達(dá)到了現(xiàn)在我們看到的這種符號(hào)演算形式。 代數(shù)學(xué)不再停留在具體的數(shù)字計(jì)算，有了真正意

4、義的數(shù)學(xué)公式、運(yùn)算法則，并由此進(jìn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)。 代表數(shù)學(xué)家 德國(guó)數(shù)學(xué)家 M.Stiefel(1486-1567) 1553綜合算術(shù); 用 1 0進(jìn)制小數(shù)表示實(shí)數(shù) 法國(guó)數(shù)學(xué)家 F.Viete(1540-1603) 是第一個(gè)系統(tǒng)使用字母表示數(shù)的人，韋達(dá)在代數(shù)方程、三角學(xué)等許多方面都作了杰出的貢獻(xiàn)。,2020/7/31,8,4結(jié)構(gòu)代數(shù)階段,結(jié)構(gòu)代數(shù)（抽象代數(shù)、近世代數(shù)） 代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象不再是個(gè)別的數(shù)字運(yùn)算，而是抽象的運(yùn)算系統(tǒng)(如群、環(huán)、域 等)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。 事實(shí)上 不管是連續(xù)的還是離散的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，常常是對(duì) 研究對(duì)象（自然數(shù),實(shí)數(shù),多項(xiàng)式,矩陣,命題,集合,圖等） 定義種種

5、運(yùn)算（加,減,乘;與,或,非；交,補(bǔ)等） 然后討論這些對(duì)象及運(yùn)算的有關(guān)性質(zhì)。,2020/7/31,9,4結(jié)構(gòu)代數(shù)階段,代數(shù)系統(tǒng) 由集合和集合中的一個(gè)或多個(gè)運(yùn)算所組成的系統(tǒng)（即數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)），稱(chēng)為代數(shù)系統(tǒng)，又稱(chēng)代數(shù)結(jié)構(gòu)或抽象代數(shù)，它是用代數(shù)的方法構(gòu)造出來(lái)的數(shù)學(xué)模型。 代數(shù)系統(tǒng)的應(yīng)用 自動(dòng)機(jī)理論 編碼理論 形式語(yǔ)義學(xué) 密碼學(xué) 等,2020/7/31,10,第9章 代數(shù)系統(tǒng),9.1 二元運(yùn)算及性質(zhì) 9.2 代數(shù)系統(tǒng),2020/7/31,11,9 .1 二元運(yùn)算及其性質(zhì),9.1.1 運(yùn)算的定義 9.1.2 運(yùn)算的表示方法 9.1.3 二元運(yùn)算的主要性質(zhì) 9.1.4 二元運(yùn)算的特殊元素 小結(jié),2020/7/

6、31,12,9.1.1 運(yùn)算的定義,定義9.2 (P166 ) 設(shè)S是一個(gè)集合，函數(shù)f:SS稱(chēng)為S上的一個(gè)一元運(yùn)算，簡(jiǎn)稱(chēng)為一元運(yùn)算。 例如： Z, Q 和 R上求相反數(shù)的運(yùn)算 非零有理數(shù)集Q*，非零實(shí)數(shù)集 R*上求倒數(shù)運(yùn)算 復(fù)數(shù)集合C上求共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算 冪集P(S)上, 全集為S，求絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算 在 Mn(R) (n2)上求轉(zhuǎn)置矩陣,2020/7/31,13,9.1.1 運(yùn)算的定義,定義9.1 (P165 ) 設(shè)S是一個(gè)集合，函數(shù)f:SSS稱(chēng)為S上的一個(gè)二元運(yùn)算，簡(jiǎn)稱(chēng)為二元運(yùn)算。 問(wèn)題： 如何驗(yàn)證一個(gè)運(yùn)算是否為S上的二元運(yùn)算？ S中任意兩個(gè)元素可以進(jìn)行這種運(yùn)算，且結(jié)果唯一。 S中任何兩個(gè)元素的運(yùn)

7、算結(jié)果都屬于S，即S對(duì)該運(yùn)算是封閉的 。,2020/7/31,14,9.1.1 運(yùn)算的定義,例9.1 (P165 ) N 上的、 Z 上的 、 R*上的、 Mn(R)上的矩陣加法和乘法 P(S)上的、 一般地： 函數(shù)f:SnS稱(chēng)為S上的一個(gè)n元運(yùn)算。,2020/7/31,15,9.1.2 運(yùn)算的表示方法,1.函數(shù)解析式 f(x1,x2,xn) 2.算符 用 * 等符號(hào)表示n元運(yùn)算，稱(chēng)為算符。 幾種形式，如： 前綴形式: (x1,x2,xn) 中綴形式: x1x2xn 后綴形式: (x1,x2,xn) ,2020/7/31,16,9.1.2 運(yùn)算的表示方法,3.運(yùn)算表 設(shè)S=a1,a2,an，S

8、上的一二元運(yùn)算可以用運(yùn)算表的形式給出：,2020/7/31,17,9.1.2 運(yùn)算的表示方法,運(yùn)算表的實(shí)例 例9.4：AP(1,2), , 分別為對(duì)稱(chēng)差和絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算的運(yùn)算表 （注：1,2為全集）,2020/7/31,18,9.1.2 運(yùn)算的表示方法,例2： Z5 0, 1, 2, 3, 4 , , 分別為模 5 加法與乘法的運(yùn)算表。,2020/7/31,19,9.1.3 二元運(yùn)算的性質(zhì),定義9.39.5 設(shè) 為 S 上的二元運(yùn)算, 如果對(duì)于任意的 x, yS 有x y = y x, 則稱(chēng)運(yùn)算在 S 上滿(mǎn)足交換律. 如果對(duì)于任意的 x, y, zS 有 (x y) z = x (y z),則稱(chēng)運(yùn)

9、算在 S 上滿(mǎn)足結(jié)合律. 如果對(duì)于任意的 xS 有 x x = x, 則稱(chēng)運(yùn)算在 S 上滿(mǎn)足冪等律. (若S中某些x滿(mǎn)足x x x,則稱(chēng)x是運(yùn)算的冪等元)。,2020/7/31,20,9.1.3 二元運(yùn)算的性質(zhì),例:,2020/7/31,21,9.1.3 二元運(yùn)算的性質(zhì),定義9.69.7 設(shè) 和 為 S 上兩個(gè)不同的二元運(yùn)算 如果對(duì)于任意的 x, y, zS 有 (x y) z = (x z) (y z) z (x y) = (z x) (z y) 則稱(chēng) 運(yùn)算對(duì) 運(yùn)算滿(mǎn)足分配律. 如果 和 都可交換, 并且對(duì)于任意的 x, yS 有 x (x y) = x x (x y) = x 則稱(chēng) 和 運(yùn)

10、算滿(mǎn)足吸收律.,2020/7/31,22,9.1.3 二元運(yùn)算的性質(zhì),2020/7/31,23,9.1.3 二元運(yùn)算的性質(zhì),定義9.7 設(shè) 為集合S上二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意元素 x, y, zS, x ，都有 x y = x z y = z, y x = z x y = z 成立，則稱(chēng) 運(yùn)算滿(mǎn)足消去律. 例如： 普通加法和乘法滿(mǎn)足消去律 矩陣加法滿(mǎn)足消去律 矩陣乘法不滿(mǎn)足消去律. 集合的并和交運(yùn)算也不滿(mǎn)足消去律,2020/7/31,24,9.1.4 二元運(yùn)算的特異元素,1.單位元 定義9.8： 設(shè) 為S上的二元運(yùn)算, 如果存在el（或er）S，使得對(duì)任意 xS 都有 el x = x ( 或

11、x er = x )， 則稱(chēng) el ( 或 er )是 S 中關(guān)于 運(yùn)算的 左 ( 或右 ) 單位元. 若 eS 關(guān)于 運(yùn)算既是左單位元又是右單位元，則稱(chēng) e 為 S 上關(guān)于 運(yùn)算的單位元（幺元）.,2020/7/31,25,10.1.4 二元運(yùn)算的特異元素,2.可逆元素及其逆元 定義9.10 令 e 為 S 中關(guān)于運(yùn)算 的單位元. 對(duì)于 xS，如果存在yl（或 yr）S 使得 yl x = e（或 x yr = e）， 則稱(chēng) yl ( 或 yr )是 x 的左逆元 ( 或右逆元 ). 關(guān)于 運(yùn)算，若 yS 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，則稱(chēng) y 為 x 的逆元. 如果 x 的逆元存在

12、，就稱(chēng) x 是可逆的.,2020/7/31,26,9.1.4 二元運(yùn)算的特異元素,3.零元 定義 9.9 設(shè) 為 S 上的二元運(yùn)算, 如果存在l ( 或r)S，使得對(duì)任意 xS 都有 l x =l ( 或 x r =r )， 則稱(chēng)l ( 或r )是 S 中關(guān)于 運(yùn)算的 左 ( 或右) 零元. 若S關(guān)于 運(yùn)算既是左零元又是右零元，則稱(chēng)為 S 上關(guān)于運(yùn)算的零元.,2020/7/31,27,9.1.4 二元運(yùn)算的特異元素,實(shí)例：,2020/7/31,28,9.1.4 二元運(yùn)算的特異元素,單位元的惟一性,定理9.1：設(shè) 為S上的二元運(yùn)算，el 和 er 分別為 S 中關(guān)于運(yùn)算的左和右單位元，則 el

13、= er = e 為 S 上關(guān)于 運(yùn)算的惟一的單位元. 證： el = el er = er el = er , 將這個(gè)單位元記作 e. 假設(shè) e 也是 S 中的單位元，則有 e = e e = e. 惟一性得證. 類(lèi)似地可以證明關(guān)于零元的惟一性定理5.2.,2020/7/31,29,9.1.4 二元運(yùn)算的特異元素,逆元的惟一性,定理9.4： 設(shè) 為 S 上可結(jié)合的二元運(yùn)算, e 為該運(yùn)算的單位元, 對(duì)于 xS 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr , 則有 yl = yr= y, 且 y 是 x 的惟一的逆元. 證明：由 yl x = e 和 x yr = e 得 yl = yl e = y

14、l (x yr) = (yl x) yr = e yr = yr 令 yl = yr = y, 則 y 是 x 的逆元. 假若 yS 也是 x 的逆元, 則 y= y e = y (x y) = (y x) y = e y = y 所以 y 是 x 惟一的逆元. 說(shuō)明：對(duì)于可結(jié)合的二元運(yùn)算，可逆元素 x 只有惟一的逆元， 記作 x-1.,2020/7/31,30,9.1.4 二元運(yùn)算的特異元素,零元的惟一性,定理9.2：設(shè) 為S上的二元運(yùn)算，l 和r 分別為 S 中關(guān)于運(yùn)算的左和右零元，則 l = r = 為 S 上關(guān)于 運(yùn)算的惟一的單位元. 證： l = l r = r l = r , 將這

15、個(gè)單位元記作 . 假設(shè) 也是 S 中的單位元，則有 = = . 惟一性得證.,2020/7/31,31,例題分析,例： 設(shè) 運(yùn)算為 Q 上的二元運(yùn)算， x, yQ, x y = x+y+2xy, (1) 判斷 運(yùn)算是否滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律，并說(shuō)明理由. (2) 求出 運(yùn)算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元.,解 (1) 運(yùn)算可交換. 任取x, yQ, x y = x+y+2xy = y+x+2yx = y x, 運(yùn)算可結(jié)合，任取x, y, zQ, (x y) z = (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z) = x

16、 + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz,2020/7/31,32,例題分析,(2) 設(shè) 運(yùn)算的單位元和零元分別為 e 和 ，則對(duì)于任意 x 有 x e = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于 運(yùn)算可交換，所以 0 是幺元.,對(duì)于任意 x 有 x = 成立，即 x+2x = x+2x =0 = 1/2 1/2為零元.,(3)給定 x，設(shè) x 的逆元為 y, 則有 x y = 0 成立，即 x+y+2xy = 0 則:y=-x/(2x+1) (x = 1/2)是 x 的逆元( x 1/2),2020/7/31,33,

17、9.1.4二元運(yùn)算的特異元素,例9.6 例9.7,2020/7/31,34,9.1.4 二元運(yùn)算的特異元素,一般地， 根據(jù)二元運(yùn)算表判斷特異元素的方法 若某元素所在的行和列的元素排列都與表頭一致，則該元素是單位元。 若某元素所在的行和列的所有元素都是這個(gè)元素本身，則該元素是零元。 為求x的逆元，檢查x所在的行，找出單位元e所在的列。 如果這個(gè)列的表頭元素為y，那么xy=e。 接著檢查yx是否也是e。如果滿(mǎn)足要求，則y是x的逆元；否則x沒(méi)有逆元。,2020/7/31,35,9.1.4 二元運(yùn)算的特異元素,練習(xí):,2020/7/31,36,本節(jié)知識(shí)要點(diǎn),函數(shù) f：SSS 和 f：SS 分別定義了S

18、上的二元和一元運(yùn)算。 使用算符表示二元和一元運(yùn)算有兩種表示法：解析公式與運(yùn)算表。 二元運(yùn)算的算律（交換律、結(jié)合律、冪等律、分配律和吸收律）及其判別方法。 二元運(yùn)算的單位元、零元和逆元的定義及其唯一性。,2020/7/31,37,9.2 代數(shù)系統(tǒng),9.2.1 代數(shù)系統(tǒng) 9.2.2 代數(shù)系統(tǒng)的子代數(shù) 9.2.3 代數(shù)系統(tǒng)的積代數(shù),2020/7/31,38,9.2.1代數(shù)系統(tǒng),定義9.12 非空集合S和S上k個(gè)運(yùn)算f1,f2,fk組成的系統(tǒng)稱(chēng)為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù)，記做。 例如: ，都是代數(shù)系統(tǒng)。 是代數(shù)系統(tǒng) 是代數(shù)系統(tǒng) 也是代數(shù)系統(tǒng),2020/7/31,39,9.2.1代數(shù)系統(tǒng),帶有代數(shù)常數(shù)的代數(shù)系統(tǒng) Z，0 Z，0，1 定義9.13 同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng),2020/7/31,40,9.2.2代數(shù)系統(tǒng)的子代數(shù),定義9.14 設(shè)V是代數(shù)系統(tǒng)，B