1、方 差,前面說(shuō)到評(píng)判一批水泥板的質(zhì)量問(wèn)題若它們平均承受力較大，比如1000kg，但其中可能有一部分水泥板的承受力在1800kg以上，而另一部分的承受力不足200kg這批水泥板的承受力與平均值1000kg的偏離程度較大，質(zhì)量不穩(wěn)定、較差，不能被用于建造房屋，否則會(huì)發(fā)生事故那么，我們?cè)撚檬裁戳咳ズ饬窟@個(gè)偏離程度呢？對(duì)于隨機(jī)變量X，雖然量E|XE(X)|能度量X與其均值E(X)的偏離程度，但它帶有絕對(duì)值，運(yùn)算不方便為了運(yùn)算方便，通常使用量,來(lái)度量X與其均值E(X)的偏離程度,引例 甲、乙兩射手各打了6 發(fā)子彈,每發(fā) 子彈擊中的環(huán)數(shù)分別為：,甲 10, 7, 9, 8, 10, 6,乙 8, 7, 1

2、0, 9, 8, 8,問(wèn)哪一個(gè)射手的技術(shù)較好？,解 首先比較平均環(huán)數(shù),E(甲) = 8.3,E(乙) = 8.3,再比較穩(wěn)定程度,甲：,乙：,乙比甲技術(shù)穩(wěn)定，故乙技術(shù)較好.,進(jìn)一步比較平均偏離平均值的程度,甲,乙,E X - E(X)2,定義 設(shè)X是隨機(jī)變量，若E X E(X)2 存在, 則稱(chēng)其為 X 的方差,記為Var(X ) 或 Var (X) (deviation variance),即 Var (X ) = E XE(X)2,Var(X ) 描述 r.v. X 的取值偏離平均值 的平均偏離程度 數(shù)值,若 X 為離散型 r.v.，分布律為,若 X 為連續(xù)型r.v. ，概率密度為 f (x

3、),例1 設(shè) X 的概率密度如下， 求 Var(X),解,由方差的定義知,例2 設(shè) X N ( , 2), 求 Var( X ),解 由方差的定義知,令,那么,方差的計(jì)算,計(jì)算方差的常用公式：,證明：因?yàn)?Var (X ) = E XE(X)2 (由r.v.函數(shù)的數(shù)學(xué)期望) = E X22E(X) X + E(X) 2 = E (X2 ) 2E(X) E(X) + E(X) 2 = E (X2 ) E(X) 2,例3設(shè)隨機(jī)變量X具有期望E(X)=，標(biāo)準(zhǔn)差(X)= ，記,求證 E(X*)=0,Var(X)=1.,證明 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，得,標(biāo)準(zhǔn)化變量,設(shè)隨機(jī)變量 X 的期望E(X )、方差Var

4、(X ) 都存在, 且Var(X ) 0, 則稱(chēng),為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化變量. 那么,例4 設(shè)X P (), 求Var( X ).,解一,解二,所以,例5 設(shè)X U(a , b)，求Var(X ).,解 Var (X)=E(X2)-E2(X)=,例6 設(shè)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布 ，求Var(X ).,解 因?yàn)镋 (X )= 1/. E2(X )= 1/2,故,常見(jiàn)隨機(jī)變量的方差,區(qū)間(a,b)上 的均勻分布,Exp(),N(, 2),1.Var (C) = 0,2.Var (aX ) = a2Var(X),Var(aX+b ) = a2Var(X),3.對(duì)任意常數(shù)C, Var (X ) E(X C)2

5、 , 當(dāng)且僅當(dāng) C = E(X )時(shí)等號(hào)成立,4. Var (X ) = 0,P X = E(X)=1,稱(chēng)為X 依概率 1 等于常數(shù) E(X),性質(zhì) 1 的證明：,性質(zhì) 2 的證明：,性質(zhì) 3 的證明：,當(dāng)C = E(X )時(shí)，顯然等號(hào)成立；,當(dāng)C E(X )時(shí)，,例6 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù),求E (6X2)和 Var(6X2),解：首先計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望,于是,又,從而,利用方差的性質(zhì)，得,僅知 r.v.的期望與方差并不能確定其分布,與,有相同的 期望方差 但是分布 卻不相同,例如,例7 已知 X 服從正態(tài)分布, E(X ) = 1.7, Var(X ) = 3, Y =1 2 X ,

6、 求Y 的密度函數(shù).,解,在已知某些分布類(lèi)型時(shí),若知道其期望和方差,便常能確定分布.,3.3分位數(shù),定義3.3.1設(shè)X是連續(xù)隨機(jī)變量，0p1若實(shí)數(shù) xp滿(mǎn)足 F(xp)=PX xp=p,則稱(chēng)xp是X（或X服從的分布）的p分位數(shù)或p分位點(diǎn)當(dāng) p =0.5時(shí)，稱(chēng)x0.5為X的中位數(shù),若用X的概率密度函數(shù)f(x)來(lái)表達(dá)，則有,若XN(,2)，如圖下所示，陰影部分面積為,例3.3.1設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,求X的0.90分位數(shù) x0.90,解X的分布函數(shù),由,解得 x0.90=3ln0.10=3ln10=6.9078,對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布XN(0,1) ，常用up表示其p分位數(shù)根據(jù)其概率密度函數(shù)的對(duì)

7、稱(chēng)性易知 up =u1p，見(jiàn)下圖,下面列出了幾個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p分位數(shù)up的值 它的中位數(shù)是0,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p分位數(shù),p分位數(shù)表是教材中給出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的逆運(yùn)算。,分位數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中是常用的例如，旅客在機(jī)場(chǎng)排隊(duì)領(lǐng)取登機(jī)牌，若要求95%的旅客能在15分鐘內(nèi)領(lǐng)到，那么，15就是旅客排隊(duì)時(shí)間（單位為分鐘）這一隨機(jī)變量X的0.95分位數(shù)x0.95； 又如，在生產(chǎn)車(chē)間機(jī)器設(shè)備發(fā)生故障需要維修，若要求90%的故障在30分鐘內(nèi)完成維修，那么，30就是維修時(shí)間（單位為分鐘）這一隨機(jī)變量X的0.90分位數(shù)x0.90 ,與數(shù)學(xué)期望一樣，中位數(shù)也是描述隨機(jī)變量的位置特征在實(shí)際中，中位數(shù)也常用例如，假設(shè)某一

8、年上海市就業(yè)的大學(xué)畢業(yè)生當(dāng)年的月薪金的中位數(shù)是2100元，這表明上海市該年大學(xué)畢業(yè)生中有將近半數(shù)人月薪金不高于2100元，另外將近半數(shù)人月薪金則不低于2100元 與數(shù)學(xué)期望相比，中位數(shù)總存在，但數(shù)學(xué)期望不一定存在這是它的優(yōu)點(diǎn)中位數(shù)的缺點(diǎn)是，它沒(méi)有象數(shù)學(xué)期望那樣好的運(yùn)算性質(zhì),眾數(shù) 定義 設(shè)離散隨機(jī)變量X 的分布律為 PX=xk=pk, k =1, 2, 3, . 若存在實(shí)數(shù)x* , 使得對(duì)每個(gè)k =1, 2, 3, , 有 PX=x P X=xk , 則稱(chēng)x* 為X(或X 服從的分布)的眾數(shù). (2) 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)為f (x), 若存在實(shí)數(shù)x* , 使得對(duì)一切xR 有 f(x*)f(x), 則稱(chēng)x* 為X(或X 服從的分布)的眾數(shù).,作業(yè) P82 習(xí)題3.2,1，2，3，4,例5 設(shè)