1、1 2018復(fù)習(xí)題(二)答案 一、選擇題 1. 判斷極限 22 2 )0, 0(),( lim yx yx yx （A） A.0B1C.不存在D.無(wú)法確定 2.設(shè) | xxf 0 cos n n xa，,-x，則 0 a（B）. A.2B. 2 C.D.0 3.若 xf是周期為2的奇函數(shù)， nxbnxa a xf n nn sincos 2 1 0 ，則 n b（ B） A.0B. 0 sin 2 nxdxxfC. nxdxxfsin 2 D. 0 cos 2 nxdxxf 4.設(shè) 0 9 222 zyx zyx ：，則 dszyx 222 (C) A.108B.216C.54D.36 5.二

2、次積分 cos 0 2 0 sin,cosdrdrrrf可化為（D） A. 2 - 0 1 0 ,d yy dxyxfyB. 2 - 1 0 1 0 ,d y dxyxfyC. 1 0 1 0 ,ddxyxfy D. 2 - 0 1 0 ,d xx dyyxfx 6.若yxf，在點(diǎn) 00, y x處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則yxf,在此點(diǎn)處（D） A.有極限B.連續(xù)C.可微D.以上都不對(duì) 7.曲面xyz 2 在點(diǎn)2 , 4 , 1處的切平面方程是(B) A.04 yxB.044zyxC.04zyxD.04zyx 8函數(shù)yxf,在點(diǎn) 00, y x連續(xù)是yxf,在點(diǎn) 00, y x偏導(dǎo)數(shù)存在的（D）條件。

3、 A充分必要B充分不必要C必要不充分D無(wú)關(guān) 9.設(shè) 22 ,yxyxyxf，則 y f x f （ D） Ayx 2Byx 2Cyx Dyx 10.設(shè)區(qū)域0, 1: 22 xyxDyxf,在D上連續(xù),則 D dxdyyxf 22 =(D) A. 1 0 2drrrfB. 1 0 drrfC. 1 0 2drrfD. 1 0 drrrf 11.設(shè)有界閉區(qū)域 1 D與 2 D關(guān)于y軸對(duì)稱，vuf,在區(qū)域 21 DDD上連續(xù)，則 D dxdyyxf, 2 (A) 2 A 1 ,2 2 D dxdyyxfB0C 1 ,4 2 D dxdyyxfD 1 , 2 1 2 D dxdyyxf 12.設(shè)2:

4、),( 22 yxyxD，則 D dxdyyx 22 （B） A 2 0 2 0 3dr rdB 2 0 2 0 3dr rdC 2 0 2 0 2dr rdD 2 0 2 0 2dr rd 13.設(shè)12: 2 2 yxL,取正方向,則 L yx ydxxdy 22 (C) A.B.2C.0D.1 14設(shè)L為連接點(diǎn)0 , 1和1 , 0的直線段，則 L dsyx（C） A1B2C2D3 15設(shè)L為曲線xy 2 上從點(diǎn)1, 1A到點(diǎn) 1 , 1B的一段弧，則 Lxydx （D） A1B0C4 . 0D8 . 0 16.級(jí)數(shù) 1n n u收斂的充分條件是（D） A.1lim 1 n n n u u

5、 B.前n項(xiàng)和 n S有界C.0lim n n uD. n n uuu .lim 21 存在 17下列級(jí)數(shù)中條件收斂是（D） A 1 2 sin n n B 1 2 cos n n C 1 3 1 1 n n n D 11 1 1 n n nn 18下列級(jí)數(shù)中收斂的是（C） A 2 ln 1 n nn B 1 2 1 n n n C 1 5 1nn n D 1 cos n n 19.設(shè)k為正數(shù)，則 1 2 3 ) 1( n n n nk （ C ） A. 發(fā)散B. 絕對(duì)收斂C. 條件收斂D. 斂散性與k有關(guān) 20設(shè) n n nx a 0 在2x處為條件收斂，則級(jí)數(shù) 1 1 n n nnx a在

6、1x處（ C） A. 必發(fā)散B. 條件收斂C. 絕對(duì)收斂D. 斂散性無(wú)法確定 二、填空題 21. 過(guò)原點(diǎn)且垂直于平面022 zy的直線為 120 zyx 22. 設(shè)2, 0 , 1a，1 , 1 , 3b，則ba=1, 5 ,2 3 23. x xy yx 9-3 lim ,10, 6 1 24設(shè)), 2 ln(),( x y xyxf則)0 , 1 ( y f x 1 25.設(shè) xfy 是由1 22 yx所確定的函數(shù)，則 dx dy y x -； 26.曲線 32, ,tztytx在點(diǎn)1 , 1 , 1處的法平面方程是06-32zyx； 27曲線 22 yxz在點(diǎn))2 , 1 , 1 (處的

7、切平面方程是22 -20 xy z。 28yxf,=14242 22 yxyxyx的極小值點(diǎn)為1,-2-。 29.交換二重積分積分次序, 11 0 , x dyyxfdx 2 1 00 dy, y f x y dx ; 30.設(shè)0,: 222 xayxD，則 D dxdyyxa 222 - 3 3 1 a 31設(shè)C是以原點(diǎn)為圓心半徑為a的圓，則 C dsyx 223 2 a 32設(shè)L是橢圓1 169 22 yx ，逆時(shí)針?lè)较?，則 L dxyxdyyx12313248。 33. 設(shè)ydyxdxxydu k 2 ,則yxu,Cyx 22 2 1 ; 34. 設(shè)冪級(jí)數(shù) 0 n n n a x 的收斂

8、半徑為 3，則冪級(jí)數(shù) 1 1 (1)n n n nax 的收斂區(qū)間為4 , 2 35.設(shè)級(jí)數(shù) 1 1 1 ) 1( n a n n 為條件收斂，則a的取值范圍為2 , 1 (. 36設(shè)級(jí)數(shù) 1 3 n n u 收斂，則 n n ulim0。 37冪級(jí)數(shù) 1 2 1 n n n x 的收斂區(qū)間是_（-1,1）_。 38.已知 1 )( n n n ax 在2x收斂，則a的取值范圍是3, 1（. 39.設(shè) 1 2 cos 2 n n o nxa a x，,-x，則 1 1- n n n a= 3 2 2 .（先計(jì)算 0 a 3 2 2 ，再取x） 4 40. 函數(shù) 22 ,yxyxf在點(diǎn)0 , 1

9、處沿 1 , 1l 的方向?qū)?shù)=2 三、計(jì)算題 41設(shè)xyyxfzsin, 22 可微，求dz 解：設(shè)xyvxusin, 22 ，則 xyyfxf x v v z x u u z x z cos2 / 2 / 1 xyxfyf y v v z y u u z y z cos2 / 2 / 1 dy y z dx x z dz yxyfxyfxxyfyxfdcos2dcos2 / 2 / 1 / 2 / 1 42設(shè)xyyxz 22 ，其中 t eytx,sin，求 0t dt dz 解： t exytyx dt dy y z dt dx x z dt dz 2cos2 0t時(shí)，1, 0yx。21

10、2cos2 0 0 t t t exytyx dt dz 3 43.求二重積分 D xdxdy，其中D是由曲線xy 與xy 2 所圍城的區(qū)域。 解：xyxxD, 10: D xdxdy 15 1 3 1 5 2 1 0 2 1 0 dxxxxxdydx x x 44.計(jì)算積分 D dxdyyx 2 32，其中4: 22 yxD。 解：2r,020:D 由對(duì)稱性 DDD dxdyydxdyxxydxdy 22 , 0 D dxdyyx 2 32 D dxdyxyyx1294 22 D dxdyyx 22 94 D rdrrddxdyyx 2 0 2 2 0 22 2 13 2 13 =52。 4

11、5.計(jì)算三重積分 dVyx 22 ，其中是由曲面zyx2 22 以及平面2z所圍城的閉區(qū)域。 5 解：由zyx2 22 與2z消去z得到4 22 yx，所以 ,20:2 2 , 20 2 z r r dVyx 22 2 2 2 2 0 2 0 2 r dzrrdrd 2 0 2 3 2 0 2 2dr r rd 3 16 122 2 2 0 64 rr 46計(jì)算dVz ，其中由曲面zyx2 22 及平面2z圍成. 解：:zyxDyxz z 2:, 20 22 ， z D是半徑為z2的圓，其面積為z2 dVz 3 16 3 4 4 2 0 3 2 0 z zdzz 47.求球面25 222 zy

12、x被平面4z截得的上半部分曲面的面積. 解： 22222 3:,25:yxyxDyxyxz xy dxdy yx dxdy x z x z S 22 22 25 5 1d 所求曲面面積 xy D dxdy yx 22 25 5 4 02 2 0 25 5 rdr r d 202510 4 0 2 r 48設(shè)L為),sin(costttax)cos(sintttay20 , t，求dsyx L )( 22 . 解：atdtdttattatdt dt dx dt dx ds 22 22 sincos dsyx L )( 22 2 0 22 )cos(sin)sin(cosatdttttattta

13、423 2 0 42 3 2 0 23 42 42 1 a tt atdtta. 6 49.設(shè)L圓周 2 2xxy上從點(diǎn)0 , 0到 1 , 1一段弧，求 L dyyxdxyxcos 3 . 解：記yxyxP 3 ,，yxyxQcos,，1 x Q y P 所以積分 L dyyxdxyxcos 3 與路徑無(wú)關(guān)。 QdyPdxyxyx sin 4 1 d 4 L dyyxdxyxcos 3 1 , 1 0, 0 4 sin 4 1 yxyx=1sin 4 3 50 計(jì)算 zdxdyx2，其中是上半球面 2222 Rzyx0z的上側(cè). 解： 222222 :),( ,:RyxDyxyxRz xy

14、，上側(cè) xy D dxdyyxRxzdxdyx 22222 R rdrrRrd 0 2222 2 0 cos R drrRr 0 223 tRdtRRtRsinsinsin 222 2 0 33 dtttRdtttR 2 0 535 2 0 235 sinsincossin 55 15 4 3 2 5 4 3 2 RR 51.計(jì)算 zdxdyydxdzxdydz，其中是圓錐面azzyx0, 222 的下側(cè). 解： 設(shè)az : 1 ， 222 :,ayxDyx xy 上側(cè)， 則由 1 ,組成了一個(gè)封閉曲面， 其所圍區(qū)域?yàn)椋?由高斯公式 1 zdxdyydxdzxdydz 3 111adV xy

15、D aadxdyzdxdyydxdzxdydz 3 1 所以 zdxdyydxdzxdydz0 52將函數(shù) 23 1 2 xx xf在3x處展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。 7 解： 23 1 2 xx xf 1 1 2 1 xx 00 ) 1313 31 1 13 1 2 1 n nn n n xx xxx 2|3|, 2 31 2 3 2 1 2 3 1 2 1 23 1 1 1 0 1 0 x xx xxx n n nn n n xf 1 1 2 1 xx n n n n n x3 2 12 1 0 1 1 1|3-|x。 53.將函數(shù) x xf3展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)，并求 0 ! 3ln n n n . 解

16、： 00 3ln3 ! 3ln ! 3ln 3 n n n n n xx n x n x ee x 上式中，令1n，得到 0 ! 3ln 3 n n n 54級(jí)數(shù) 1 2 1 sin n n n 的收斂性，若收斂，指出是條件收斂還是絕對(duì)收斂. 解： n n1 sin 2 = nn n n n n sin) 1(sincoscossin 1 2 1 sin n n n 1 sin) 1( n n n 由于 1 sinsin nn ，0sinlim n n ，所以 1 sin) 1( n n n 收斂。 又 n n n1 sin lim，而 1 1 n n 發(fā)散，所以 1 sin n n 發(fā)散 所

17、以 1 2 1 sin n n n 條件收斂。 55 求冪級(jí)數(shù) 1 3 n n n n x 的和函數(shù)與收斂區(qū)間. 8 解： xx n n n x n n n n n xxdx x dxxdxx n x n x 00 00 0 0 1 1 1|(|,1ln 1 1 1 ） )3|(|, 3 1ln 3 3 11 x x n x n x n n n n n 四、證明題 56.設(shè) x z z y f,=0 確定z是yx,的函數(shù)，f具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且0, / vufv，證明：z y z y x z x . 證明：令 x z z y fyxF,， / 2 / 1 2 / 1 2 / / 1 f x f

18、z y f x z F F x z z x ， / 2 / 1 2 / 1 / / 1 1 f x f z y f z F F y z z y 左邊= y z y x z x = / 2 / 1 2 / 1 1 f x f z y f x z / 2 / 1 2 / 1 1 f x f z y f z y z=右邊， 所以等式成立。 57設(shè) x dx x x xf sin ，證明： 2 0 dxxf . 證明： xx dy y y dx x x xf sinsin x dy y ysin 0 dxxf 0 sin x dy y y dx 交換積分次序，得到 0 sin x dy y y dx 2cossin sin 0 000 yydydx y y dy y 58.已知)0( 0 n n n aa收斂,試證明: 1n n n a 也收斂. 證明： 2 1 2 1 n a n a n n 1n n a與 1 2 1 n n 都收斂，所以 1 2 1 n n n a收斂。由比較判別法 1n n n a 收斂。 59.證明積分 l xx dyyexdxxyyecos-2sin 2 與路徑無(wú)關(guān)。 9 證明：xyexyye y xx 2cos2sin =yexyex x xx sin2cos- 2 所以 l xx dyyexdxxyyecos-2sin 2 與路徑無(wú)關(guān)。 60.