1、2020/8/1,計(jì)算機(jī)圖形學(xué),西華大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,教師：陳紅紅 Email：,第五章圖形變換,教學(xué)目的： 通過本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)使學(xué)生熟練掌握二維平面圖形的各種幾何變換以及三維立體圖形的幾何變換和投影變換，簡單了解三維立體圖形的裁剪算法，掌握推導(dǎo)變換矩陣的一般方法。 教學(xué)重點(diǎn) 二維平面圖形的幾何變換；三維立體圖形的投影變換。 教學(xué)難點(diǎn) 二維平面圖形的復(fù)合變換；三維投影空間的生成以及向規(guī)格化投影空間和圖象空間轉(zhuǎn)換的過程。,教學(xué)內(nèi)容:,5.1變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 5.2二維圖形的變換 5.3三維圖形的幾何變換 5.4三維圖形的投影變換,5.1變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),矢量 矢量和,變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),矢量的數(shù)乘

2、矢量的點(diǎn)積 性質(zhì),變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),矢量的長度 單位矢量 矢量的夾角 矢量的叉積,變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),矩陣 階矩陣 n階方陣 零矩陣 行向量與列向量 單位矩陣 矩陣的加法 矩陣的數(shù)乘 矩陣的乘法 矩陣的轉(zhuǎn)置 矩陣的逆,5.2二維圖形的變換,引言： 圖形變換是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一。由于計(jì)算機(jī)繪圖是用 形、數(shù)結(jié)合的方法，對所繪圖形建立數(shù)學(xué)模型。圖形就是點(diǎn)、線的結(jié)合，圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都明確對應(yīng)一個(gè)位置坐標(biāo)，許多點(diǎn)組成點(diǎn)集合坐標(biāo)矩陣，在一定的拓?fù)洌c(diǎn)陣）關(guān)系下對應(yīng)著某個(gè)圖形。因此，圖形的幾何變換可以通過對應(yīng)的矩陣線性變換來實(shí)現(xiàn)。,二維圖形的變換,用一個(gè)行向量或列向量可以表示一點(diǎn)的坐標(biāo)，則對于一幅圖形可

3、以用一個(gè)點(diǎn)集來表示，每一個(gè)點(diǎn)對應(yīng)于一個(gè)行向量或列向量，將這些向量集合成n*2或2*n階矩陣的形式。這樣就可以建立起圖形的數(shù)學(xué)模型： 或 對圖形的幾何變換就可以歸結(jié)為對點(diǎn)的變換,二維圖形的變換,點(diǎn)的基本變換 平面圖形的變換 平面圖形變換的齊次坐標(biāo)表示 復(fù)合變換及變換的模式 其它變換,一、點(diǎn)的基本變換,平移變換,點(diǎn)的基本變換,旋轉(zhuǎn)變換 點(diǎn)P(x,y,)的極坐標(biāo)表示 x=rcos，y=rsin 繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度 （逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)）,點(diǎn)的基本變換,比例變換 以坐標(biāo)原點(diǎn)為放縮參照點(diǎn) 不僅改變了物體的大小和形狀，也改變了它離原點(diǎn)的距離,二、平面圖形的變換,即：變換后的點(diǎn)集矩陣=變換前的點(diǎn)集矩陣*

4、變換矩陣,三、平面圖形變換的齊次坐標(biāo)表示,為什么需要齊次坐標(biāo)？,采用了齊次坐標(biāo)技術(shù)，圖形的變換才可以轉(zhuǎn)換為表示圖形的點(diǎn)集矩陣與某一變換矩陣進(jìn)行矩陣相乘。,平面圖形變換的齊次坐標(biāo)表示,齊次坐標(biāo) 定義 (x,y)點(diǎn)對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為 (x,y)點(diǎn)對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為三維空間的一條直線,平面圖形變換的齊次坐標(biāo)表示,規(guī)格化齊次坐標(biāo)(x,y,1) 二維變換的矩陣表示 平移變換 旋轉(zhuǎn)變換,平面圖形變換的齊次坐標(biāo)表示,比例變換 變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點(diǎn) 便于變換合成 便于硬件實(shí)現(xiàn),四、復(fù)合變換及變換的模式,問題：如何實(shí)現(xiàn)復(fù)雜變換？,復(fù)合變換及變換的模式,關(guān)于任意參照點(diǎn) 的旋轉(zhuǎn)變換,復(fù)合變換及變換的模式,關(guān)于任意

5、參照點(diǎn) 的比例變換,復(fù)合變換及變換的模式,變換的結(jié)果與變換的順序有關(guān)（矩陣乘法不可交換）,Rotate2D(45); Translate2D(1,0); House();,Translate2D(1,0); Rotate2D(45); House();,復(fù)合變換及變換的模式,變換的固定坐標(biāo)系模式 相對于同一個(gè)固定坐標(biāo)系 先調(diào)用的變換先執(zhí)行，后調(diào)用的變換后執(zhí)行,Rotate2D(45); Translate2D(1,0); House();,復(fù)合變換及變換的模式,人的思維方式 每次變換產(chǎn)生一個(gè)新的坐標(biāo)系 變換的活動(dòng)坐標(biāo)系模式 先調(diào)用的變換后執(zhí)行，后調(diào)用的變換先執(zhí)行（圖形系統(tǒng)一般用堆棧實(shí)現(xiàn)）,復(fù)合

6、變換及變換的模式,Rotate2D(45); Translate2D(1,0); House();,例子,五、其它變換,對稱變換 關(guān)于x軸的對稱變換 關(guān)于y軸的對稱變換,其它變換,關(guān)于任意軸的對稱變換,其它變換,錯(cuò)切變換 以y軸為依賴軸的錯(cuò)切變換 以y=0為參考軸,其它變換,以 為參考軸,其它變換,以x軸為依賴軸的錯(cuò)切變換,5.3三維幾何變換,三維齊次坐標(biāo) (x,y,z)點(diǎn)對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為 規(guī)格化齊次坐標(biāo)(x,y,z,1) 右手坐標(biāo)系,三維幾何變換,平移變換 比例變換,三維幾何變換,旋轉(zhuǎn)變換 繞x軸 繞y軸,三維幾何變換,繞z軸,三維幾何變換,對稱變換 關(guān)于坐標(biāo)平面xy的對稱變換 關(guān)于坐標(biāo)平面

7、xz的對稱變換,三維幾何變換,關(guān)于坐標(biāo)平面yz的對稱變換 注：當(dāng)空間點(diǎn)相對于任一平面作對稱變換時(shí)，應(yīng)先將平面轉(zhuǎn)換成于某一坐標(biāo)面相重合，并運(yùn)用上述簡單的對稱變換，然后再將平面反變換回原來的位置即可。,三維幾何變換,繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（詳見教材P371） 已知空間有一任意軸AB，A點(diǎn)坐標(biāo)為（XA，YA，ZA），AB的方向數(shù)為（a，b，c）。空間一點(diǎn)P（x，y，z）繞AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后變成P（x，y，z）。若旋轉(zhuǎn)變換矩陣為Rab，則有 x y z 1=x y z 1*Rab 下面討論如何求出Rab的表達(dá)式。 基本思想：先平移坐標(biāo)系，使A點(diǎn)成為新坐標(biāo)系A(chǔ)XYZ的原點(diǎn)；再使AB分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角

8、度，使AB與z軸重合，那么繞AB轉(zhuǎn)角就變成了繞z軸旋轉(zhuǎn)角；最后，再作逆變換，使AB回到原來的位置。,因此 Rab=TA*RX*RY*RZ*RY-1*RX-1*TA-1 其中，RY-1 、 RX-1、 TA-1分別表示平移變換矩陣、旋轉(zhuǎn)變換矩陣的逆變換矩陣，分別表達(dá)如下：,坐標(biāo)系之間的變換,什么是？ 建立坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系 將圖形從一個(gè)坐標(biāo)系中變換到另一個(gè)坐標(biāo)系中,怎樣求？,5.4三維圖形的投影變換,三維圖形的基本問題 平面幾何投影 觀察坐標(biāo)系中的投影變換 投影舉例 三維圖形的顯示流程圖 三維裁剪 圖形顯示過程小結(jié),一、三維圖形的基本問題,顯示器屏幕、繪圖紙等是二維的 顯示對象是三維的 解決方

9、法-投影 三維顯示設(shè)備正在研制中 二維形體的表示-直線段,折線,曲線段,多邊形區(qū)域 二維形體的輸入-簡單（圖形顯示設(shè)備與形體的維數(shù)一致）,1. 在二維屏幕上如何顯示三維物體？,2. 如何表示三維物體？,三維圖形的基本問題,三維形體的表示-空間直線段、折線、曲線段、多邊形、曲面片 三維形體的輸入、運(yùn)算、有效性保證-困難 解決方法-各種用于形體表示的理論、模型、方法 物體之間或物體的不同部分之間存在相互遮擋關(guān)系 遮擋關(guān)系是空間位置關(guān)系的重要組成部分 解決方法-消除隱藏面與隱藏線,3. 如何反映遮擋關(guān)系？,三維圖形的基本問題,何謂真實(shí)感圖形 逼真的 示意的 人們觀察現(xiàn)實(shí)世界產(chǎn)生的真實(shí)感來源于 空間位

10、置關(guān)系-近大遠(yuǎn)小的透視關(guān)系和遮擋關(guān)系 光線傳播引起的物體表面顏色的自然分布 解決方法-建立光照明模型、開發(fā)真實(shí)感圖形繪制方法,4. 如何產(chǎn)生真實(shí)感圖形,三維圖形的基本問題,三維圖形的基本研究內(nèi)容 投影 三維形體的表示 消除隱藏面與隱藏線 建立光照明模型、開發(fā)真實(shí)感圖形繪制方法,二、平面幾何投影,照像機(jī)模型與投影 如何投影? 生活中的類比-如何拍攝景物？ 拍攝過程 選景 取景-裁剪 對焦參考點(diǎn) 按快門-成像 移動(dòng)方式 移動(dòng)景物 移動(dòng)照相機(jī) 兩個(gè)坐標(biāo)系,平面幾何投影,投影照相機(jī)模型 選定投影類型 設(shè)置投影參數(shù) 拍攝方向、距離等 三維裁剪 取景 投影和顯示 成像 簡單的三維圖形顯示流程圖,平面幾何投

11、影,平面幾何投影及其分類 投影 將n維的點(diǎn)變換成小于n維的點(diǎn) 將3維的點(diǎn)變換成小于2維的點(diǎn) 投影中心(COP:Center of Projection) 視覺系統(tǒng)觀察點(diǎn)、視點(diǎn) 電影放映機(jī)光源 投影面 不經(jīng)過投影中心 平面-照相機(jī)底片 曲面球幕電影,視網(wǎng)膜,平面幾何投影,投影線 從投影中心向物體上各點(diǎn)發(fā)出的射線 直線光線 曲線噴繪 平面幾何投影 投影面是平面 投影線為直線 投影變換 投影過程 投影的數(shù)學(xué)表示,平面幾何投影,投影分類,投影中心與投影平面之間的距離為無限,投影中心與投影平面之間的距離為有限,根據(jù)投影方向與投影平面的夾角,根據(jù)投影平面與坐標(biāo)軸的夾角,平面幾何投影,平面幾何投影,透視投影

12、 投影中心與投影平面之間的距離為有限 參數(shù)：投影方向 例子：室內(nèi)白熾燈的投影，視覺系統(tǒng) 滅點(diǎn)：不平行于投影平面的平行線，經(jīng)過透視投影之后收斂于一點(diǎn)，稱為滅點(diǎn). 主滅點(diǎn):平行于坐標(biāo)軸的平行線的滅點(diǎn)。 一點(diǎn)透視 兩點(diǎn)透視 三點(diǎn)透視 特點(diǎn)：產(chǎn)生近大遠(yuǎn)小的視覺效果，由它產(chǎn)生的圖形深度感強(qiáng)，看起來更加真實(shí)。,滅點(diǎn)的個(gè)數(shù)?,主滅點(diǎn)的個(gè)數(shù)由什么決定?,平面幾何投影,平面幾何投影,平面幾何投影,平行投影 投影中心與投影平面之間的距離為無限 是透視投影的極限狀態(tài),平面幾何投影,正投影與斜投影,平面幾何投影,三視圖：正視圖、側(cè)視圖和俯視圖,三、 觀察坐標(biāo)系中的投影變換,-如何進(jìn)行投影變換？ -觀察坐標(biāo)系 生活中的

13、類比-移動(dòng)舞臺(tái)還是移動(dòng)攝像機(jī) 移動(dòng)舞臺(tái) 投影（攝像）簡單 移動(dòng)難度大 移動(dòng)攝像機(jī) 移動(dòng)容易 投影復(fù)雜,變換的分解與合成,采用觀察坐標(biāo)系，投影簡單,觀察坐標(biāo)系中的投影變換,什么是觀察坐標(biāo)系 View Reference Coordinate或VRC 照相機(jī)所在的坐標(biāo)系 如何建立觀察坐標(biāo)系 坐標(biāo)原點(diǎn)-聚焦參考點(diǎn)在底片（投影平面）上的投影，稱為觀察參考點(diǎn)VRP（View Reference Point) n軸-照相機(jī)鏡頭方向（投影平面的法向） v軸-照相機(jī)向上的方向（觀察正向） u軸-,觀察坐標(biāo)系中的投影變換,觀察坐標(biāo)系中的投影變換,為什么需要觀察坐標(biāo)系 簡化和加速投影變換 投影平面- n=0 投影

14、中心- （0，0，d) 視見體 視見體是三維裁剪窗口 建立步驟,定義窗口,形成觀察空間,形成視見體,觀察坐標(biāo)系中的投影變換,投影參考點(diǎn) PRP:Projection Reference Point 透視投影：COP=PRP 平行投影：投影方向DOP=窗口中心CW-PRP,觀察坐標(biāo)系中的投影變換,觀察空間,有限觀察空間亦稱 視見體或裁剪空間,觀察坐標(biāo)系中的投影變換,定義一個(gè)視見體所需的投影參數(shù)及其作用,觀察坐標(biāo)系中的投影變換,透視投影變換 問題-在uvn中，投影平面為n=0，投影中心為（0，0，d)，待投影點(diǎn)為P，求投影點(diǎn)Q,觀察坐標(biāo)系中的投影變換,投影線的參數(shù)方程 投影平面方程 n=0 Q點(diǎn)的

15、坐標(biāo),由此式可解釋為什么透視投影產(chǎn)生近大遠(yuǎn)小的視覺效果,觀察坐標(biāo)系中的投影變換,透視投影變換矩陣,觀察坐標(biāo)系中的投影變換,平行投影變換 問題-在uvn中，投影平面為n=0，投影方向?yàn)椋?，0，-1)，待投影點(diǎn)為P，求投影點(diǎn)Q,觀察坐標(biāo)系中的投影變換,投影線的參數(shù)方程 投影平面方程 n=0 Q點(diǎn)的坐標(biāo),觀察坐標(biāo)系中的投影變換,平行投影變換矩陣 透視投影與平行投影之間的關(guān)系,觀察坐標(biāo)系中的投影變換,從世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換 條件 VRC的坐標(biāo)原點(diǎn)（觀察參考點(diǎn)）VRP（ ， ， ） 投影平面法向VPN 觀察正向VUP,，,觀察坐標(biāo)系中的投影變換,結(jié)論,四、投影舉例,待投影的單位立方體 缺省投影

16、參數(shù),參數(shù) 值 投影類型 平行投影 VRP（WC） （0,0,0） VPN（WC） （0,0,1） VUP（WC） （0,1,0） PRP（VRC） （0.5,0.5,1） 窗口（VRC） （0,1,0,1） F(VRC)正無窮 B(VRC) 負(fù)無窮,投影舉例（2/5）,透視投影 一點(diǎn)透視,參數(shù) 值 投影類型 透視投影 VRP（WC） （0,0,0） VPN（WC） （0,0,1） VUP（WC） （0,1,0） PRP（VRC）（0.5,0.5,4） 窗口（VRC）（-0.5,1.5,-0.5,1.5）,參數(shù) 值 投影類型 透視投影 VRP（WC） （0,0,0） VPN（WC） （0,0,

17、1） VUP（WC） （0,1,0） PRP（VRC）（2.0,2.0,4.0） 窗口（VRC）（-0.5,1.5,-0.5,1.5）,投影舉例（3/5）,兩點(diǎn)透視,參數(shù) 值 投影類型 透視投影 VRP（WC） （0,0,0） VPN（WC） （1,0,1） VUP（WC） （0,1,0） PRP（VRC） （0.5,0.5,4） 窗口（VRC） （-1.5,1.5, -1.5, 1.5）,參數(shù) 值 投影類型 透視投影 VRP（WC） （0,0,0） VPN（WC） （1,0,1） VUP（WC） （1,1,0） PRP（VRC） （0.5,0.5,4） 窗口（VRC） （-1.5,1.5,

18、-1.5, 1.5）,投影舉例（4/5）,平行投影,參數(shù) 值 投影類型 平行投影 VRP（WC） （0,0,0） VPN（WC） （0,0,1） VUP（WC） （0,1,0） PRP（VRC） （0.5,0.5,1） 窗口（VRC） （-0.5,1.5,0.5,1.5）,參數(shù) 值 投影類型 平行投影 VRP（WC） （0,0,0） VPN（WC） （1,1,1） VUP（WC） （0,1,0） PRP（VRC） （0.5,0.5,2） 窗口（VRC） （-0.5,1.5,0.5,1.5）,投影舉例（5/5）,前、后裁剪面的影響,參數(shù) 值 投影類型 透視投影 VRP（WC） （0,0,0） V

19、PN（WC） （0,0,1） VUP（WC） （0,1,0） PRP（VRC） （0.5,0.5,2） 窗口（VRC） （-0.5,1.5,-0.5,1.5） F（VRC） 1.2 B（VRC） 0.2,五、 三維圖形的顯示流程圖,顯示流程圖 觀察變換：從世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換,三維圖形的顯示流程圖(2/14),模型變換 模型坐標(biāo)系 Modeling Coordinate 物體的局部坐標(biāo)系 在模型坐標(biāo)系中物體的表示簡單,三維圖形的顯示流程圖(3/14),模型變換 Modeling Transformation 將物體從本身的模型坐標(biāo)系變換到上層物體的模型坐標(biāo)系（或世界坐標(biāo)系）的幾何變換

20、模型變換是構(gòu)造復(fù)雜物體的方法 例子：,三維圖形的顯示流程圖(4/14),何時(shí)裁剪 投影之前裁剪-三維裁剪 優(yōu)點(diǎn) 只對可見的物體進(jìn)行投影變換 缺點(diǎn) 三維裁剪相對復(fù)雜 投影之后裁剪-二維裁剪 優(yōu)點(diǎn) 二維裁剪相對容易 缺點(diǎn) 需要對所有的物體進(jìn)行投影變換,三維圖形的顯示流程圖(5/14),采用二維裁剪的三維圖形顯示流程圖 在投影之前裁剪的理由 三維物體的表面通常被離散表示成多邊形或折線，而對這類簡單圖元，三維裁剪同樣比較簡單。 三維圖形在顯示過程中需要被消隱，做這個(gè)工作要有圖形的深度信息，所以必須在投影之前完成 。 消隱很費(fèi)時(shí)，如果在此之前裁剪（或部分裁剪）掉不可見的圖形，可使 需要消隱的圖形減至最小

21、。,三維圖形的顯示流程圖(6/14),規(guī)范視見體 平行投影的規(guī)范視見體 半立方體 透視投影的規(guī)范時(shí)間體 四棱臺(tái),三維圖形的顯示流程圖(7/14),為什么引入規(guī)范視見體 簡化投影 簡化裁剪 規(guī)范化變換 將任意視見體變換成規(guī)范視見體的變換 規(guī)范投影坐標(biāo)（三維屏幕坐標(biāo) ） 經(jīng)規(guī)范化的觀察坐標(biāo)系,三維圖形的顯示流程圖(8/14),采用規(guī)范視見體的三維圖形顯示流程圖,三維圖形的顯示流程圖(9/14),平行投影視見體的規(guī)范化 將任意的平行投影視見體變換為規(guī)范平行投影視見體 方法：變換的分解與合成 步驟 結(jié)果,三維圖形的顯示流程圖(10/14),三維圖形的顯示流程圖(11/14),透視投影視見體的規(guī)范化 將任意的透視投影視見體變換為規(guī)范透視投影視見體 方法：變換的分解與合成 步驟 結(jié)果,三維圖形的顯示流程圖(12/14),三維圖形的顯示流程圖(13/14),規(guī)范視見體之間的變換 將透視投影的規(guī)范視見體變換為平行投影的規(guī)范視見體 為什么 關(guān)于長方體的裁剪較關(guān)于正四棱臺(tái)的裁剪簡單。 平行投影較透視投影簡單。 透視投影與平行投影都采用同一套裁剪與投影程序，處理一致，便于用硬件實(shí)現(xiàn)。,三維圖形的顯示流程圖（14/14）,將視見體變換結(jié)合到透視投影的規(guī)