1、2016年7月9日數學周測試卷 一、解答題（共25小題；共325分）1. 如圖，正方體 ABCDA1B1C1D1 的棱長為 2（1） 在圖中找出平面 ABCD，平面 ADD1A1，平面 BDD1B1 的一個法向量；（2） 以點 D 為坐標原點建立空間直角坐標系，求出（1）中三個法向量的坐標 2. 如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1 中，求 BD 與平面 A1C1D 所成角的余弦值 3. 設 a，b 分別是兩條異面直線 l1，l2 的方向向量，且 cosa,b=12，求異面直線 ll 和 l2 所成的角 4. 如圖，直三棱柱 ABCABC，BAC=90，AB=AC=2，AA=1，點 M 、

2、 N 分別為 AB 和 BC 的中點（錐體體積公式 V=13Sh，其中 S 為底面面積，h 為高）（1） 證明：MN平面AACC；（2） 求三棱錐 AMNC 的體積 5. 三棱錐 PABC 中，側面 PAC 與底面 ABC 垂直，PA=PB=PC=3（1） 求證：ABBC；（2） 設 AB=BC=23，求 AC 與平面 PBC 所成角的大小 6. 如圖，ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，且 AB=BC=BD=2，ABC=DBC=120，E，F 分別為 AC，DC 的中點（1） 求證：EFBC；（2） 求二面角 EBFC 的正弦值 7. 如圖，四邊形 ABCD 為正方形，QA 平面 ABCD

3、，PDQA，QA=AB=12PD（1） 證明：PQ 平面 DCQ；（2） 求棱錐 QABCD 的體積與棱錐 PDCQ 的體積比值 8. 如圖，在 ABC 中，B=90，AC=152，D，E 兩點分別在 AB，AC 上，使 ADDB=AEEC=2，DE=3現將 ABC 沿 DE 折成直二面角，求：（1） 異面直線 AD 與 BC 的距離；（2） 二面角 AECB 的大?。ㄓ梅慈呛瘮当硎荆?9. 如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分別是 AB，BB1 的中點（1） 證明：BC1平面A1CD；（2） 設 AA1=AC=CB=2，AB=22，求三棱錐 EA1CD 的體積 10. 如圖，

4、正四棱錐 SABCD 的所有棱長均為 2，E，F，G 分別為棱 AB，AD，SB 的中點（1） 求證：BD平面EFG，并求出直線 BD 到平面 EFG 的距離；（2） 求點 C 到平面 EFG 的距離 11. 已知過球面上三點 A，B，C 的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且 AC=BC=6，AB=4計算球的表面積與體積 12. 如圖，三棱柱 ABCA1B1C1 中，點 A1 在平面 ABC 內的射影 D 在 AC 上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2（1） 證明：AC1A1B；（2） 設直線 AA1 與平面 BCC1B1 的距離為 3，求二面角 A1ABC 的大小 13. 如圖，四

5、棱錐 PABCD 的底面 ABCD 是平行四邊形，BA=BD=2，AD=2，PA=PD=5，E,F 分別是棱 AD,PC 的中點（1） 證明：EF 平面 PAB；（2） 若二面角 PADB 為 60， 證明：平面 PBC 平面 ABCD； 求直線 EF 與平面 PBC 所成角的正弦值 14. 如圖，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，側棱 A1A底面ABCD，ABAC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=5用向量法解決下列問題：（1） 若 AC 的中點為 E，求 A1C 與 DE 所成的角；（2） 求二面角 B1ACD1 （銳角）的余弦值 15. 已知在四棱錐 PABCD 中，底面 A

6、BCD 是矩形，且 AD=2，AB=1，PA 平面 ABCD，E，F 分別是線段 AB，BC 的中點（1） 證明：PFFD；（2） 在線段 PA 上是否存在點 G，使得 EG平面PFD ?若存在，確定點 G 的位置；若不存在，說明理由（3） 若 PB 與平面 ABCD 所成的角為 45，求二面角 APDF 的余弦值 16. 如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC=BC，AA1=AB，D 為 BB1 的中點，E 為 AB1 上的一點，AE=3EB1（1） 證明：DE 為異面直線 AB1 與 CD 的公垂線；（2） 設異面直線 AB1 與 CD 的夾角為 45，求二面角 A1AC1B1 的大

7、小 17. 已知在四棱錐 PABCD 中，ADBC，ADCD，PA=PD=AD=2BC=2CD，E，F 分別為 AD，PC 的中點（1） 求證：AD平面PBE；（2） 求證：PA平面BEF；（3） 若 PB=AD，求二面角 FBEC 的大小 18. 如圖，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB=4，AC=BC=3，D 為 AB 的中點（1） 求異面直線 CC1 和 AB 的距離；（2） 若 AB1A1C，求二面角 A1CDB1 的平面角的余弦值 19. 如圖 1，在等腰梯形 ABCD 中，BCAD，BC=12AD=2 A=60，E 為 AD 中點，點 O，F 分別為 BE，DE 的中點，將

8、ABE 沿 BE 折起到 A1BE 的位置，使得平面 A1BE 平面 BCDE（如圖 2）（1） 求證：A1OCE （2） 求直線 A1B 與平面 A1CE 所成角的正弦值（3） 側棱 A1C 上是否存在點 P，使得 BP 平面 A1OF，若存在，求處 A1PA1C 的值，若不存在，說明理由 20. 在正三角形 ABC 中，E，F，P 分別是 AB，AC，BC 邊上的點，滿足 AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2（如圖1）將 AEF 沿 EF 折起到 A1EF 的位置，使二面角 A1EFB 成直二面角，連接 A1B，A1P（如圖2）（1） 求證：A1E平面BEP；（2） 求直線 A1E

9、與平面 A1BP 所成角的大小；（3） 求二面角 BA1PF 的余弦值 21. 如圖，四面體 ABCD 中，O 是 BD 的中點，ABD 和 BCD 均為等邊三角形，AB=2，AC=6（1） 求證：AO平面BCD；（2） 求二面角 ABCD 的余弦值；（3） 求 O 點到平面 ACD 的距離 22. 如圖，已知 AB平面BEC，ABCD，AB=BC=4，CD=2，BEC 為等邊三角形（1） 求證：平面ABE平面ADE（2） 求 二面角ADEB 的平面角的余弦值 23. 如圖，在四棱錐 OABCD 中，底面 ABCD 是邊長為 1 的菱形，ABC=4，OA底面ABCD，OA=2，M 為 OA 的

10、中點，N 為 BC 的中點，以 A 為原點，建立適當的空間坐標系，利用空間向量解答以下問題：（1） 證明：直線 MN平面OCD；（2） 求異面直線 AB 與 MD 所成角的大小；（3） 求點 B 到平面 OCD 的距離 24. 如圖，已知邊長為 4 的菱形 ABCD 中，ACBD=O，ABC=60將菱形 ABCD 沿對角線 AC 折起得到三棱錐 DABC，設二面角 DACB 的大小為 （1） 當 =90 時，求異面直線 AD 與 BC 所成角的余弦值；（2） 當 =60 時，求直線 BC 與平面 DAB 所成角的正弦值 25. 如圖，在四棱錐 ABCDE 中，底面 BCDE 為平行四邊形，平面

11、ABE平面BCDE，AB=AE，DB=DE，BAE=BDE=90（1） 求異面直線 AB 與 DE 所成角的大?。唬?） 求二面角 BAEC 的余弦值答案第一部分1. （1） 由正方體可得 DD1平面ABCD，AB平面ADD1A1，平面 ABCD 的一個法向量為 DD1，平面 ADD1A1 的一個法向量為 AB；連接 AC，ACBD，ACBB1，得 AC平面BB1D1D，平面 BDD1B1 的一個法向量為 AC （2） 如圖，建立空間直角坐標系 Dxyz，可得 D10,0,2，A2,0,0，B2,2,0，C0,2,0 DD1=0,0,2，AB=0,2,0，AC=2,2,02. 以 AB，AD，

12、AA1 為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為 1，則 A10,0,1，C11,1,1，D0,1,0，設平面 A1C1D 的法向量為 n=x,y,z，則 nA1C1=0，nA1D=0，解得 n=1,1,1，BD=1,1,0，所以 BD 與平面 A1C1D 所成角 cos=223=63 所以 BD 與平面 A1C1D 所成角的余弦值是 333. 因為 cosa,b=12，a,b0,，所以 a,b=23所以 l1 和 l2 所成的角為 34. （1） 證法一：連接 AB，AC，由已知 BAC=90，AB=AC，三棱柱 ABCABC 為直三棱柱，所以 M 為 AB 中點又因為

13、 N 為 BC 的中點，所以 MNAC又 MN平面AACC，AC平面AACC，因此 MN平面AACC證法二：取 AB 中點 P，連接 MP，NP因為 M，N 分別為 AB 與 BC 的中點，所以 MPAA，PNAC，所以 MP平面AACC，PN平面AACC，又 MPNP=P，因此平面 MPN平面AACC，而 MN平面MPN因此 MN平面AACC （2） 解法一：連接 BN，如圖，由題意得 ANBC，ANBB，所以 AN平面NBC又 AN=12BC=1，故VAMNC=VNAMC=12VNABC=12VANBC=16.解法二：VAMNC=VANBCVMNBC=12VANBC=16.5. （1） 如

14、圖，取 AC 中點 O，連接 PO,BO PA=PC，POAC又 側面 PAC 底面 ABC， PO 底面 ABC又 PA=PB=PC， AO=BO=CO ABC 為直角三角形 ABBC （2） 如圖，取 BC 的中點 M，連接 OM,PM，則有OM=12AB=3,AO=12232+232=6,PO=PA2AO2=3,由（1）有 PO 平面 ABC，OMBC，再結合 PB=PC，可知PMBC. 平面 POM 平面 PBC，又 PO=OM=3 POM 是等腰直角三角形，取 PM 的中點 N，連接 ON,NC，則ONPM,又 平面 POM 平面 PBC，且交線是 PM， ON 平面 PBC OCN

15、 即為 AC 與平面 PBC 所成的角ON=12PM=123232=62,OC=6, sinOCN=ONOC=12， OCN=6，故 AC 與平面 PBC 所成的角為 66. （1） 法一：如圖，過 E 作 EOBC，垂足為 O，連 OF，由 ABCDBC 可證出 EOCFOC，所以 EOC=FOC=2，即 FOBC又 EOBC，因此 BC 面 EFO，又 EF 面 EFO，所以 EFBC法二：由題意，以 B 為坐標原點，在平面 DBC 內過 B 作垂直 BC 的直線為 x 軸，BC 所在直線為 y 軸，在平面 ABC 內過 B 作垂直 BC 的直線為 z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系易得

16、B0,0,0,A0,1,3,D3,1,0,C0,2,0,因而E0,12,32,F32,12,0,所以EF=32,0,32,BC=0,2,0,因此 EFBC=0，從而 EFBC，所以 EFBC （2） 法一：在圖中，過 O 作 OGBF，垂足為 G，連 EG，由平面 ABC 平面 BDC，從而 EO 平面 BDC，所以 EOBF又 OGBF，所以 BF 平面 EOG，從而 EGBF. 因此 EGO 為二面角 EBFC 的平面角；在 EOC 中，可得EO=12EC=12BCcos30=32,由 BGOBFC 知OG=BOBCFC=34,因此tanEGO=EOOG=2,從而sinEGO=255,即二

17、面角 EBFC 的正弦值為 255法二：在圖中，平面 BFC 的一個法向量為 n1=0,0,1，設平面 BEF 的法向量 n2=x,y,z，又BF=32,12,0,BE=0,12,32,由 n2BF=0,n2BE=0, 得其中一個n2=1,3,1,設二面角 EBFC 的大小為 ，且由題意知 為銳角，則cos=cosn1,n2=n1n2n1n2=15,因sin=25=255,即二面角 EBFC 的正弦值為 2557. （1） 由條件知 PDAQ 為直角梯形 QA 平面 ABCD， 平面 PDAQ 平面 ABCD，交線為 AD又四邊形 ABCD 為正方形，DCAD， DC 平面 PDAQ，可得 P

18、QDC在直角梯形 PDAQ 中可得DQ=PQ=22PD,則 PQQD所以 PQ 平面 DCQ （2） 設 AB=a由題設知 AQ 為棱錐 QABCD 的高，所以棱錐 QABCD 的體積V1=13a3.由（1）知 PQ 為棱錐 PDCQ 的高，而 PQ=2a，DCQ 的面積為 22a2，所以棱錐 PDCQ 的體積V2=13a3.故棱錐 QABCD 的體積與棱錐 PDCQ 的體積比值為 18. （1） 如圖1中，因為 ADDB=AECE，所以 BEBC又因為 B=90，從而 ADDE在圖2中，因 ADEB 是直二面角，ADDE，故 AD底面DBCE，從而 ADDB而 DBBC，故 DB 為異面直線

19、 AD 與 BC 的公垂線下面求 DB 之長在圖 1 中，由ADDB=AEEC=2,得DEBC=ADAB=23.又已知 DE=3，從而BC=32DE=92,AB=AC2BC2=1522922=6.因 DBAB=13，故DB=2.即異面直線 AD 與 BC 的距離為 2 （2） 方法一：在圖2中，過 D 作 DFCE，交 CE 的延長線于 F，連接 AF由（1）知，AD底面DBCE，由三垂線定理知 AFFC，故 AFD 為二面角 AECB 的平面角在底面 DBCE 中，DEF=BCE，所以DB=2,EC=13152=52,因此sinBCE=DBEC=45.從而在 RtDFE 中，DE=3,DF=

20、DEsinDEF=DEsinBCE=125.在 RtAFD，中AD=4,tanAFD=ADDF=53.因此所求二面角 AECB 的大小為 arctan53方法二：如圖3，由（1）知，以 D 點為坐標原點，DB,DE,DA 的方向為 x,y,z 軸的正方向建立空間直角坐標系，則D0,0,0,A0,0,4,C2,92,0,E0,3,0.所以CE=2,32,0,AD=0,0,4,過 D 作 DFCE，交 CE 的延長線于 F，連接 AF設 Fx0,y0,0，從而DF=x0,y0,0,EF=x0,y03,0,由 DFCE，有DFCE=0,即2x0+32y0=0,又由 CEEF，得x02=y0332,聯(lián)

21、立、，解得x0=3625,y0=4825,即F3625,4825,0,得AF=3625,4825,4,因為AFCE=36252+482532=0,故 AFCE，又因 DFCE，所以 DFA 為所求的二面角 AECB 的平面角因 DF=3625,4825,0，有DF=36252+48252=125,AD=4,所以tanAFD=ADDF=53.因此所求二面角 AECB 的大小為 arctan539. （1） 連接 AC1 交 A1C 于 O，可得 ODBC1，又 OD面A1CD，BC1面A1CD，所以 BC1平面A1CD （2） 直棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1面ABC，所以 AA1CD，又

22、 ABCD，AA1AB=A，所以 CD面A1DE，所以三棱錐 EA1CD 可以把面 A1DE 作為底面，高就是 CD=2，底面 A1DE 的面積為 422222=322，所以三棱錐 EA1CD 的體積為 322213=110. （1） 因為 E，F 分別為棱 AB，AD 的中點，所以 EFBD又 EF平面EFG，BD平面EFG，所以 BD平面EFG如圖建立空間直角坐標系，則 A2,0,0，B0,2,0，D0,2,0，S0,0,2，E22,22,0，F22,22,0，G0,22,22設平面 EFG 的法向量為 m=x,y,z， EF=0,2,0，EG=22,0,22，可得 m=1,0,1，所以點

23、 B 到平面 EFG 的距離為 d=EBmm=12即直線 BD 到平面 EFG 的距離為 12 （2） 因為 EC=322,22,0，所以點 C 到平面 EFG 的距離為 d=ECmm=3211. 如圖，設球面的半徑為 r，O 是 ABC 的外心，外接圓半徑為 R，則 OO面ABC在 RtACD 中，cosA=26=13，則 sinA=223，在 ABC 中，由正弦定理得 6sinA=2R，R=924，即 OC=924在 RtOCO 中，由題意得 r214r2=81216，得 r=362球的表面積 S=4r2=4964=54球的體積為 433623=27612. （1） A1D 平面 ABC，

24、A1D 平面 AA1C1C，故平面 AA1C1C 平面 ABC又 BCAC，所以 BC 平面 AA1C1C如圖，連接 A1C，因為側面 AA1C1C 為菱形，故 AC1A1C，由 BC 平面 AA1C1C 知 AC1BC，而 A1CBC=C，故可得 AC1面A1CB，所以 AC1A1B （2） BC 平面 AA1C1C，BC 平面 BCC1B1，故平面 AA1C1C 平面 BCC1B1作 A1ECC1，E 為垂足，則 A1E 平面 BCC1B1又直線 AA1 平面 BCC1B1，因而 A1E 為直線 AA1 與平面 BCC1B1 的距離，A1E=3因為 A1C 為 ACC1 的角平分線，故 A

25、1D=A1E=3作 DFAB，F 為垂足，連接 A1F，由題可知 A1D面ACB，所以 A1DAB因此，可知 AB面A1DF，因此 A1FAB，故 A1FD 為二面角 A1ABC 的平面角由AD=AA12A1D2=1,得 D 為 AC 的中點，DF=12ACBCAB=55,所以tanA1FD=A1DDF=15,所以二面角 A1ABC 的大小為 arctan1513. （1） 如圖，取 PB 中點 M，連接 FM，因為 F 為 PC 中點，所以 FM 為 PBC 中位線，所以 FMBCAE 且 FM=12BC=AE，所以四邊形 EFMA 為平行四邊形，EFAM因為 EF 平面 PAB，AM 平面

26、 PAB，所以 EF 平面 PAB （2） 連接 PE,BE因為 PA=PD，BA=BD，而 E 為 AD 中點，故 PEAD，BEAD，所以 PEB 為二面角 PADB 的平面角在 PAD 中，由AD=2,PA=PD=5,可解得PE=2. ABD 中，由BA=BD=2,可解得BE=1.在三角形 PEB 中，PE=2，BE=1，PEB=60，由余弦定理，可解得PB=3,從而 PBE=90，即 BEPB，又 BCAD，BEAD，從而 BEBC，因此 BE 平面 PBC又 BE 平面 ABCD，所以平面 PBC 平面 ABCD；連接 BF，由 知 BE 平面 PBC所以 EFB 為直線 EF 與平

27、面 PBC 所成的角，由PB=3,PA=5,AB=2,得 ABP 為直角，而MB=12PB=32,可得 AM=112，故 EF=112又 BE=1，故在 RtEBF 中，可得sinEFB=BEEF=21111.所以，直線 EF 與平面 PBC 所成角的正弦值為 2111114. （1） 由 AD=CD，AC 的中點為 E，所以 DEAC如圖，以 A 為原點建立空間直角坐標系，依題意可得 A0,0,0，B1,0,0，A10,0,2，C0,2,0，D2,1,0，B11,0,2，D12,1,2，E0,1,0 A1C=0,2,2，DE=2,0,0，因為 A1CDE=0,2,22,0,0=0+0+0=0

28、，所以 A1CDE，即 A1C 與 DE 所成的角為 2 （2） 設平面 B1AC 與平面 D1AC 所成的角為 ，平面 B1AC 的法向量為 m=x1,y1,1，平面 D1AC 的法向量為 n=x2,y2,1 B1A=1,0,2，D1A=2,1,2，AC=0,2,0由 mB1A=0,mAC=0, 得 x12=0,2y1=0, 解得 x1=2,y1=0, 所以 m=2,0,1，同理可得 n=1,0,1，設的夾角為 ，則 cos=mnmn=2+152=1010，由圖知 cos=cos=1010，所以二面角 B1ACD1 （銳角）的余弦值為 101015. （1） PA平面ABCD，BAD=90，

29、AB=1，AD=2，建立如圖所示的空間直角坐標系 Axyz，則 A0,0,0，B1,0,0，F1,1,0，D0,2,0不妨令 P0,0,t， PF=1,1,t，DF=1,1,0， PFDF=11+11+t0=0，即 PFFD （2） 如圖所示，設平面 PFD 的法向量為 n=x,y,z，由 nPF=0,nDF=0, 得 x+ytz=0,xy=0. 令 z=1，得 x=y=t2，所以 n=t2,t2,1設 G 點坐標為 0,0,m 0mt，E12,0,0，則 EG=12,0,m要使 EG平面PFD，只需 EGn=0，即 12t2+0t2+1m=mt4=0，得m=14t,從而滿足 AG=14AP

30、的點 G 即為所求 （3） AB平面PAD， AB 是平面 PAD 的法向量，易得 AB=1,0,0，又 PA平面ABCD， PBA 是 PB 與平面 ABCD 所成的角，得 PBA=45，PA=1，平面 PFD 的法向量為 n=12,12,1，所以cosAB,n=ABnABn=1214+14+1=66,因為所求二面角為銳角，故所求二面角 APDF 的余弦值為 6616. （1） 法一：如圖，連接 A1B，記 A1B 與 AB1 的交點為 F因為面 AA1B1B 為正方形，故 A1BAB1，且 AF=FB1又 AE=3EB1，所以 FE=EB1，又 D 為 BB1 的中點，故 DEBF，DEA

31、B1作 CGAB，G 為垂足，由 AC=BC 知，G 為 AB 中點又由底面 ABC面AA1B1B，得 CG面AA1B1B連接 DG，則 DGAB1，故 DEDG，易得 DECD所以 DE 為異面直線 AB1 與 CD 的公垂線法二：以 B 為坐標原點，射線 BA 為 x 軸正半軸，射線 BB1 為 y 軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 Bxyz 設 AB=2，則A2,0,0,B10,2,0,D0,1,0,E12,32,0.又設 C1,0,c，則DE=12,12,0,B1A=2,2,0,DC=1,1,c.于是 DEB1A=0，DEDC=0，故 DEB1A，DEDC所以 DE 為異面直線

32、AB1 與 CD 的公垂線 （2） 解法一：因為 DGAB1，故 CDG 為異面直線 AB1 與 CD 的夾角，CDG=45設 AB=2，則AB1=22,DG=2,CG=2,AC=3.如圖，作 B1HA1C1，H 為垂足因為底面 A1B1C1面AA1C1C，故 B1H面AA1C1C，又作 HKAC1，K 為垂足，連接 B1K，易得 B1KAC1，因此 B1KH 為二面角 A1AC1B1 的平面角又 B1H=A1B1A1C1212A1B12A1C1=223,HC1=B1C12B1H2=33,AC1=22+32=7,HK=AA1HC1AC1=2337, 所以 tanB1KH=B1HHK=14，所以

33、二面角 A1AC1B1 的大小為 arctan14解法二：因為 B1A,DC 等于異面直線 AB1 與 CD 的夾角，故B1ADC=B1ADCcos45,即22c2+222=4,解得 c=2，故 AC=1,0,2又 AA1=BB1=0,2,0，所以AC1=AC+AA1=1,2,2.設平面 AA1C1 的法向量為 m=x,y,z，則mAC1=0,mAA1=0,即x+2y+2z=0,2y=0.令 x=2，則 z=1,y=0，故 m=2,0,1設平面 AB1C1 的法向量為 n=p,q,r，則nAC1=0,nB1A=0,即p+2q+2r=0,2p2q=0.令 p=2，則 q=2,r=1，故 n=2,

34、2,1所以cosm,n=mnmn=115.由于 m,n 等于二面角 A1AC1B1 的平面角，所以二面角 A1AC1B1 的大小為 arccos151517. （1） 因為 PA=PD=AD，E 為 AD 中點，所以 ADPE，又 ADBC，ADCD，得 ADBE，因為 PE，BE 都在平面 PBE 內，且 PEBE=E，所以 AD平面PBE （2） 連接 AC 交 BE 于點 G，連接 FG，因為 BC 平行且等于 AE，所以 G 為 BE 中點，又 F 為 PC 中點，所以 PAFG，因為 PA平面BEF，FG平面BEF，所以 PA平面BEF； （3） 取 CD 中點 H，連接 GH，FH

35、，若 PB=AD，設 PB=AD=2x，則 EB=CD=x，PE=3x，所以 EB2+PE2=PB2，所以 EBPE又 EBAD，PEAD=E，所以 EB面PAD，所以 BEPA又 PAFG，所以 FGBE又 GHBE，所以 FGH 即為所求二面角的平面角因為 GHED，GFAP，而 PAD=60，所以 FGH=PAD=6018. （1） 因為 AC=BC，D 為 AB 的中點，故 CDAB又在直三棱柱中，CC1 平面 ABC，故 CC1CD，所以異面直線 CC1 和 AB 的距離為 CD=BC2BD2=5 （2） 由 CDAB，CDBB1，ABBB1=B，故 CD 平面 A1ABB1，從而

36、CDDA1，CDDB1，故 A1DB1 為所求的二面角 A1CDB1 的平面角因為 A1D 是 A1C 在平面 A1ABB1 上的射影，又已知 AB1A1C，由三垂線定理的逆定理得 AB1A1D，從而 A1AB1，A1DA 都與 B1AB 互余，因此A1AB1=A1DA,所以 RtA1ADRtB1A1A因此AA1AD=A1B1AA1,得AA12=ADA1B1=8,從而A1D=AA12+AD2=23,B1D=A1D=23,所以在 A1DB1 中，由余弦定理得cosA1DB1=A1D2+B1D2A1B122A1DB1D=13.19. （1） 如圖 1，在等腰梯形 ABCD 中，由 BCAD，BC=

37、12AD=2，A=60，E 為 AD 中點，所以 ABE 為等邊三角形，如圖 2，因為 O 為 BE 的中點，所以 A1OBE，又因為平面 A1BE 平面 BCDE，且平面 A1BE 平面 BCDE=BE，所以 A1O 平面 BCDE，所以 A1OCE （2） 連接 OC，由已知得 CB=CE，又 O 為 BE 的中點，所以 OCBE，由 1 知 A1O 平面 BCDE，所以 A1OBE，A1OOC 所以 OA1，OB，OC 兩兩垂直，以 O 為原點，OB，OC，OA1 分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標系（如圖）因為 BC=2，易知 OA1=OC=3，所以 A10,0,3，B1,0,0，

38、C0,3,0，E1,0,0，所以 A1B=1,0,3，A1C=0,3,3，A1E=1,0,3，設平面 A1CE 的一個法向量為 n=x,y,z，由 nA1C=0,nA1E=0, 得 3y3z=0,x3z=0, 即 yz=0,x+3z=0, 取 z=1，得 n=3,1,1 ， 設直線 A1B 與平面 A1CE 所成角為 ，則sin=cosA1B,n=3325=35=155,所以直線 A1B 與平面 A1CE 所成角的正弦值為 155 （3） 假設在側棱 A1C 上存在點 P，使得 BP 平面 A1OF ，設 A1P=A1C，0,1 ，因為 BP=BA1+A1P=BA1+A1C，所以 BP=1,0

39、,3+0,3,3=1,3,33，易證四邊形 BCDE 為菱形，且 CEBD，又由問題 1 可知，A1OCE，所以 CE 平面 A1OF，所以 CE=1,3,0 為平面 A1OF 的一個法向量，由 BPCE=1,3,331,3,0=13=0，得 =130,1 所以側棱 A1C 上存在點 P，使得 BP 平面 A1OF，且 A1PA1C=1320. （1） 在圖 1 中，取 BE 的中點 D，連接 DF因為 AE:EB=CF:FA=1:2，所以 AF=AD=2，而 A=60，所以 ADF 是正三角形，又 AE=DE=1，所以 EFAD，在圖2中，A1EEF，BEEF，所以 A1EB 為二面角 A1

40、EFB 的平面角由題設條件知此二面角為直二面角，所以 A1EBE又 BEEF=E，所以 A1E平面BEF，即 A1E平面BEP （2） 建立分別以 ED，EF，EA1 為 x 軸，y 軸，z 軸的空間直角坐標系，則 E0,0,0，A10,0,1，B2,0,0，F0,3,0，P1,3,0，則 A1E=0,0,1，A1B=2,0,1，BP=1,3,0設平面 A1BP 的法向量 n1=x1,y1,z1，由 n1平面ABP 知，n1AB，n1BP，即 2x1z1=0,x1+3y1=0, 令 x1=3，得 y1=1，z1=23，n1=3,1,23cosAE,n1=AEn1AEn1=30+10+2313+

41、1+120+0+1=32,所以直線 A1E 與平面 A1BP 所成的角為 60 （3） AF=0,3,1，PF=1,0,0，設平面 AFP 的法向量為 n2=x2,y2,z2由 n2平面AFP 知，n2AF，n2PF，即 2x2=0,3y2z2=0, 令 y2=1，得 x2=0，z2=3，n2=0,1,3cosn1,n2=n1n2n1n2=30+11+2333+1+120+1+3=78,所以二面角 BA1PF 的余弦值是 7821. （1） 連接 OC，因為 ABD 為等邊三角形，O 為 BD 的中點，所以 AOBD，因為 ABD 和 CBD 為等邊三角形，O 為 BD 的中點，AB=2，AC

42、=6，所以 AO=CO=3在 AOC 中，因為 AO2+CO2=AC2，所以 AOC=90，即 AOOC，因為 BDOC=O，AO面BCD （2） 解法一：過 O 作 OEBC 于 E，連接 AE，因為 AO平面BCD，所以 AE 在平面 BCD 上的射影為 OE，所以 AEBC，所以 AEO 為二面角 ABCD 的平面角在 RtAEO 中，AO=3，OE=32，tanAEO=AOOE=2，cosAEO=55，所以二面角 ABCD 的余弦值為 55解法二：以 O 為原點，如圖建立空間直角坐標系，則 O0,0,0，A0,0,3，B0,1,0，C3,0,0，D0,1,0，因為 AO平面BCD，所以

43、平面 BCD 的法向量 AO=0,0,3 設平面 ABC 的法向量 n=x,y,z，AB=0,1,3，BC=3,1,0由 nAB=0,nBC=0,y3z=0,3xy=0,n=1,3,1. 設 n 與 AO 夾角為 ，則cos=nAOnAO=55,所以二面角 ABCD 的余弦值為 55 （3） 解法一：設點 O 到平面 ACD 的距離為 h，因為 VOACD=VAOCD，所以 13SACDh=13SOCDAO在 ACD 中，AD=CD=2，AC=6，所以 SACD=12622622=152而 AO=3,SOCD=32，所以 h=SOCDSACDAO=155，所以點 O 到平面 ACD 的距離為

44、155，解法二：設平面 ACD 的法向量為 m=x,y,z，又 DA=0,1,3，DC=3,1,0， mDA=0,mDC,y+3z=0,3x+y=0,m=1,3,1. 設 OA 與 m 夾角為 ，則cos=mOAaOA=55,設 O 到平面 ACD 的距離為 h，因為 hOA=55h=155，所以 O 到平面 ACD 的距離為 15522. （1） 證法1：如圖，取 BE 的中點 F，AE 的中點 G，連接 FG，GD，CF，所以 GF=12AB，GFAB因為 DC=12AB，CDAB所以 CDGF，CD=GF所以四邊形 CFGD 是平行四邊形，所以 CFGD因為 AB平面BEC，所以 ABC

45、F因為 CFBE，ABBE=B，所以 CF平面ABE因為 CFDG，所以 DG平面ABE因為 DG面ADE，所以 平面ABE平面ADE證法2：如圖，可證得 BGD 是 二面角BAED 的平面角在 BGD 中，計算可得： BG=22，DG=23，BD=25，滿足 BD2=BG2+DG2，故 BGD=2，所以 平面ABE平面ADE （2） 方法1：如圖，過點 G 作 GHFD 于點 H，過點 H 作 HMDE 于點 M，由 BEGF，BEFC，可得 BE平面GFCD，平面BED平面GFCD從而 GH平面BED，由此可得 DE平面GHM，即 GMH 就是 二面角ADEB 的平面角因為 GH=3，GM

46、=2305，MH=355，所以 cosGMH=MHMG=64，即 二面角ADEB 的平面角的余弦值為 64方法2：如圖，過 AE 中點 G 作 GMDE 于點 M，連接 BM，可證得 GMB 就是 二面角ADEB 的平面角在 GMB 中，計算可得：BG=22， GM=2305，BM=855故 cosGMH=MHMG=64，即 二面角ADEB 的平面角的余弦值為 64方法3：如圖，作 EOBC 于點 O， AB平面BEC，ABEO， ABBC=B，EO平面ABCD以 OE，BC 所在的直線分別為 x 軸、 y 軸， O 為坐標原點建立空間直角坐標系，則 A0,2,4，B0,2,0，D0,2,2，E23,0,0于是 ED=23,2,2，EA=23,2,4，EB=23,2,0設平面 EAD 的法向量為 n1=x1,y1,z1，則 3x1y1+2z1=0,3x1+y1+z1=0. 取 z1=2，則 n1=3,1,2，設平面 BDE 的法向為 n2=x2,y2,z2，則 3x2+y2=0,3x2+y2+z2=0. 取 x2=1，則 n2=1,3,23 cosn1n2=33+43816=64，即二面角 ADEB 的平面角的余弦值為 6423. （1） 作 APCD 于點 P，如圖，分別以 AB，AP，AO 所在直線為 x，y，z 軸建立空間直角坐標系則 A0,0,0，B1,0,0，P0,