1、生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例,知識(shí)回顧,一、如何判斷函數(shù)的單調(diào)性？,f(x)為增函數(shù),f(x)為減函數(shù),二、如何求函數(shù)的極值與最值？,知識(shí)背景：,生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題.通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具，本節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的 優(yōu)化問(wèn)題.,例1：海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì) 學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖3.4-1所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm，如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白面積最??？,圖3.4-1,因此，x=16是函數(shù)

2、S(x)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，能使四周空白面積最小。,解法二：由解法(一)得,練習(xí)1：將一段長(zhǎng)為12cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形面積的最大值為多少？,解：,結(jié)論：周長(zhǎng)為定值的矩形中，正方形的面積最大。,變式:某養(yǎng)雞場(chǎng)是一面靠墻,三面用鐵絲網(wǎng)圍成的矩形場(chǎng)地.如果鐵絲網(wǎng)長(zhǎng)40 m,問(wèn)靠墻的一面多長(zhǎng)時(shí),圍成的場(chǎng)地面積最大?,y=-x+20 令y=0得,x=20 當(dāng)00,當(dāng)20x40時(shí),y0. x=20時(shí),y最大=2010=200. 答:靠墻的一面長(zhǎng)20 m時(shí),圍成的場(chǎng)地面積最大,為200 m2.,練習(xí)2:在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長(zhǎng)相等的

3、正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個(gè)無(wú)蓋的方底鐵皮箱.箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí),箱子容積最大?最大容積是多少?,x,h,x,h,解： 設(shè)箱底邊長(zhǎng)為 x,箱子容積為,由,解得 x1=0 (舍), x2=40.,當(dāng)x(0,40)時(shí),V(x)0;當(dāng)x(40,60)時(shí),V(x)0.,函數(shù)V (x)在x=40處取得極大值,這個(gè)極大值就是函數(shù)V (x)的最大值.,答 當(dāng)箱箱底邊長(zhǎng)為40cm時(shí),箱子容積最大, 最大值為16000cm3,練習(xí)3,A,由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路是：,優(yōu)化問(wèn)題,用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題,用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,優(yōu)化問(wèn)題的答案,上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)

4、建模過(guò)程。,解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的基本步驟,作業(yè)：課本P37習(xí)題1.4 A組1、2,課本P371、一條長(zhǎng)為l的鐵絲截成兩段，分別彎成兩個(gè)正方形，要使兩個(gè)正方形的面積和最小，兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別是多少？,則兩個(gè)正方形面積和為,由問(wèn)題的實(shí)際意義可知：,課本P373：某種圓柱形的飲料罐的容積一定時(shí),如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?,R,h,解: 設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為R.,則表面積為 S(R)=2Rh+2R2.,又V=R2h(定值),即h=2R.,答 :罐高與底的直徑相等時(shí), 所用材料最省.,生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例,問(wèn)題2:飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)有影響嗎?,你是否注意過(guò),市場(chǎng)上等量的小包

5、裝的物品一般比大包裝的要貴些?你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎? 是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤(rùn)越大?,第二課時(shí),例2：飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響 下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，若它們 的價(jià)格如下表所示，則 （1）對(duì)消費(fèi)者而言，選擇哪一種更合算呢？ （2）對(duì)制造商而言，哪一種的利潤(rùn)更大？,某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，()瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的 利潤(rùn)最大？ (）瓶子半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最??？,-,+,減函數(shù),增函數(shù),

6、-1.07p,每瓶飲料的利潤(rùn)：,背景知識(shí),解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是,當(dāng)半徑r時(shí)，f (r)0它表示 f(r) 單調(diào)遞增， 即半徑越大，利潤(rùn)越高； 當(dāng)半徑r時(shí)，f (r)0 它表示 f(r) 單調(diào)遞減， 即半徑越大，利潤(rùn)越低,1.半徑為cm 時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí),表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本， 此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值,半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最大,練習(xí)1:已知某工廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為c=2 500+200 x+x2(元). (1)要使平均成本最低,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品? (2)若產(chǎn)品以每件500元售出,要使利潤(rùn)最大,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?,答:生產(chǎn)100件產(chǎn)品時(shí),平均成本最低為250元.

7、,練習(xí)2. 某商品每件成本9元,售價(jià)為30元,每星期賣出432件,如果降低價(jià)格,銷售量將會(huì)增加,且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位:元,0 x30)的平方成正比,已知商品單價(jià)降低2元時(shí),一星期將多賣出24件. (1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成x的函數(shù); (2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大?,解 (1)設(shè)商品降價(jià)x元,則多賣出的商品件數(shù)為kx2,若記商品一個(gè)星期的獲利為f(x), 則依題意有 f(x)=(30-x-9)(432+kx2) =(21-x)(432+kx2). 又由已知條件,24=k22,于是有k=6. f(x)=-6x3+126x2-432x+907

8、2,x0,30.,(2)根據(jù)(1)有f(x)=-18x2+252x-432 =-18(x-2)(x-12). 當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:,故x=12時(shí),f(x)達(dá)到極大值,f(0)=9072,f(12)=11664, 定價(jià)為30-12=18(元)能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大.,練習(xí)3. 某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地,計(jì)劃在該塊地上建造一棟至少10層,每層2000平方米的樓房,經(jīng)測(cè)算,如果將樓房建為x(x10)層,則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x(單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少,該樓房應(yīng)建為多少層?(注:平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)

9、用,平均購(gòu)地費(fèi)用,答:為了樓房每平方米的綜合費(fèi)用最少,該樓房應(yīng)建為15層.,作業(yè)：課本P37習(xí)題1.4 A組 6 B組 1,問(wèn)題3、磁盤(pán)的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題,(1) 你知道計(jì)算機(jī)是如何存儲(chǔ)、檢索信息的嗎？ (2) 你知道磁盤(pán)的結(jié)構(gòu)嗎？,(3)如何使一個(gè)圓環(huán)狀的磁 盤(pán)存儲(chǔ)盡可能多的信息？,第三課時(shí),例3：現(xiàn)有一張半徑為R 的磁盤(pán)，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于r與R 的環(huán)行區(qū)域。,是不是r越小，磁盤(pán)的存 儲(chǔ)量越大？,(2) r為多少時(shí)，磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量 （最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）？,解：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù),設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必須大于m，每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小

10、于n，且最外面的磁道 不存儲(chǔ)任何信息，所以磁道最多可達(dá) 又由于每條磁 道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大的存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須 裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)到 所以，磁道總存儲(chǔ)量,（1）它是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大.,(2)為求 的最大值，計(jì)算,令,解得,因此，當(dāng) 時(shí)，磁道具有最大的存儲(chǔ)量，最大 存儲(chǔ)量為,解:設(shè)B(x,0)(0x2), 則 A(x, 4x-x2).,從而|AB|= 4x-x2,|BC|=4-2x.故矩形ABCD的面積 為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).,令 ,得,所以當(dāng) 時(shí),因此當(dāng)點(diǎn)B為 時(shí),矩形的最大面積是,由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路是：,優(yōu)化問(wèn)題,用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題,用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,優(yōu)化問(wèn)題的答案,上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。,解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的基本步驟,作業(yè)：課本P