1、演繹、歸納和類(lèi)比,推理,推理就是從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷推出一個(gè)新判斷的思維形式。 任何推理都是由兩部分組成，一部分是推理所依據(jù)的已知判斷，即前提；一部分是推出的新判斷，即結(jié)論。 推理分為演繹推理、歸納推理和類(lèi)比推理,演繹推理,所謂演繹推理，是由一般性知識(shí)的前提，推出個(gè)別性知識(shí)結(jié)論的推理，即從一般到個(gè)別的推理。 三段論：大前提、小前提和結(jié)論 公理一：凡肯定一類(lèi)就能肯定一類(lèi)中的一部分 公理二：凡否定一類(lèi)就能否定一類(lèi)中的一部分 演繹法,歸納推理,歸納推理是以個(gè)別知識(shí)的判斷為前提，推出一般性知識(shí)的判斷為結(jié)論的推理。 根據(jù)前提中是否考察了某類(lèi)事物的全部對(duì)象，歸納推理可分為完全歸納推理和不完全歸納推理兩種。

2、,歸納推理的幾個(gè)特點(diǎn),1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍 2.歸納是依據(jù)若干已知的、沒(méi)有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測(cè)性 3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上,歸納推理的一般步驟：,試驗(yàn)、觀察,概括、推廣,猜測(cè)一般性結(jié)論,結(jié)論 對(duì)于所有的自然數(shù)n,前五個(gè)均是質(zhì)數(shù),“任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和”,-歌德巴赫猜想,結(jié)論:,目前最佳的結(jié)果是中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)於1966年證明的，稱為陳氏定理 .“任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，而後者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。” 通常都簡(jiǎn)稱這個(gè)結(jié)果

3、為大偶數(shù)可表示為 “1 + 2 ”的形式。,例1.已知數(shù)列an的第1項(xiàng)a1=1，且 （n=1 , 2 , ),試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.,分別把n=1,2,3,4代入 得:,歸納:,例2.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上. 1.每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片; 2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面. 試推測(cè):把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針,最少需要移動(dòng)多少次?,n=1時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=3時(shí),n=4時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=4時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),歸納:,例2:數(shù)

4、一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E,然后用歸納法推理得出它們之間的關(guān)系.,4,6,4,5,5,6,5,9,8,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,6,12,8,12,6,10,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,6,12,8,12,6,10,7,7,9,16,9,10,15,10,15,F+V-E=2,猜想,歐拉公式,類(lèi)比推理,類(lèi)比推理是兩個(gè)對(duì)象在一系列屬性上相同，而且已知其中一個(gè)對(duì)象還具有其他屬性，由此推斷另一個(gè)對(duì)象也具有同樣屬性的推理。 類(lèi)比的推理是一種“合情推理”，不是證明，它無(wú)法保證已知相同的屬性與推出的屬性之間有必然的聯(lián)系。但是，它是獲得新思路，新發(fā)

5、現(xiàn)的一種觀點(diǎn)、一種手段。 類(lèi)比推理是探索真理的重要邏輯形式。,類(lèi)比推理的邏輯形式 類(lèi)比推理可用如下公式表示： A對(duì)象具有a、b、c、d屬性， B對(duì)象具有a、b、c屬性， 因此，B對(duì)象可能也有d的屬性 類(lèi)比推理的特征 (1) 類(lèi)比推理的方向是從個(gè)別到個(gè)別，或從一般到一般。 (2) 類(lèi)比推理的結(jié)論是或然的。 類(lèi)比的結(jié)果是猜測(cè)性的不一定可靠,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能., 檢驗(yàn)猜想。,觀察、比較,聯(lián)想、類(lèi)推,猜想新結(jié)論,類(lèi)比推理的一般步驟:, 找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；, 用一類(lèi)對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的特征， 從而得出一個(gè)猜想；,即,1.工匠魯班類(lèi)比帶齒的草葉和蝗蟲(chóng)的牙齒,發(fā)明了鋸;,

6、2.人們仿照魚(yú)類(lèi)的外型和它們?cè)谒谐粮〉脑?發(fā)明了潛水艇.,3.科學(xué)家對(duì)火星進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類(lèi)似的特征; 1)火星是繞太陽(yáng)運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)的行星; 2)有大氣層,在一年中也有季節(jié)變更; 3)火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存,等等.,科學(xué)家猜想;火星上也可能有生命存在.,若 ， 則,若 ， 則,利用平面向量的性質(zhì)類(lèi)比得空間向量的性質(zhì),例3.在平面幾何里,有勾股定理: “設(shè)ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2.”拓展到空間，類(lèi)比平面幾何的勾股定理， “設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的

7、關(guān)系,可以得出的猜想是_.”,c2=a2+b2,類(lèi)比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理, 得空間中四面體性質(zhì)的猜想,3個(gè)面兩兩垂直的四面體,PDFPDEEDF90 4個(gè)面的面積S1，S2，S3和S 3個(gè)“直角面” S1，S2，S3和1個(gè)“斜面” S,例4、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類(lèi)比.,圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.,球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.,圓 弦 直徑周長(zhǎng) 面積,球,截面圓,大圓,表面積,體積,圓的概念和性質(zhì),球的概念和性質(zhì),與圓心距離相等的兩弦相等,與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長(zhǎng),以點(diǎn)(x0,y0)為圓心, r為半徑的圓的方程為(

8、x-x0)2+(y-y0)2 = r2,圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦,球心與不過(guò)球心的截面(圓面)的圓點(diǎn)的連線垂直于截面,與球心距離相等的兩截面面積相等,與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大,以點(diǎn)(x0,y0,z0)為球心, r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2,例5:利用圓的性質(zhì)類(lèi)比得出球的性質(zhì),球的體積,球的表面積,圓的周長(zhǎng),圓的面積,例6.利用等差數(shù)列性質(zhì)類(lèi)比得等比數(shù)列性質(zhì),n+m=p+q時(shí), am+an= ap+aq,n+m=p+q時(shí), aman= apaq,任意實(shí)數(shù)a、b都有等差中項(xiàng) ，為,當(dāng)且僅當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)才有等

9、比中項(xiàng) ，為,成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,下標(biāo)等差,項(xiàng)等差,下標(biāo)等差,項(xiàng)等比,例4：試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。,等式的性質(zhì)： (1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc; (3) a=ba2=b2;等等。,猜想不等式的性質(zhì)：,(1) aba+cb+c;,(2) ab acbc;,(3) aba2b2;等等。,思考：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確呢？,又如,在平面內(nèi)，若ac,bc,則a/b. 類(lèi)比到空間，你會(huì)得到 什么結(jié)論？并判斷正誤.,錯(cuò)誤,（可能相交）,猜想:在空間中，若a g，b g, 則a/b。,歸納推理和類(lèi)比推理的共同點(diǎn),歸納推理和類(lèi)比推理都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過(guò)觀察

10、、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.,從具體問(wèn)題出發(fā),觀察、分析、比較、聯(lián)想,歸納、類(lèi)比,提出猜想,分割問(wèn)題中的類(lèi)比,1 問(wèn)題：5個(gè)平面最多把空間分為幾個(gè)部分？ 平面互相盡可能多地相交，才能分割最多。如果 5個(gè)平面全都平行，那末空間分成的是6部分，就較 少。但5個(gè)平面如何相交最多以致分割最多，一時(shí)也 想不清楚，先把問(wèn)題一般化，再把問(wèn)題特殊化，逐漸找規(guī)律。,2問(wèn)題一般化：n個(gè)平面最多把空 間分為幾個(gè)部分？ 記分為 個(gè)部分，再令 把問(wèn)題特殊化。,3問(wèn)題特殊化：從簡(jiǎn)單的情況做起，以 便“類(lèi)比” 4個(gè)平面的情況不易想清楚了。但想到要使 平面相交最多，才能

11、把空間分割最多。平面相 交最多，有兩個(gè)含義，一是每個(gè)平面都與其它 的所有平面相交，二是每個(gè)平面都不過(guò)它以外 任意三個(gè)平面的交點(diǎn)（三個(gè)平面一般情況下相 交于一個(gè)點(diǎn)）。,由此我們想到了空間的四面體，這似 乎是四個(gè)平面相交最多（從而分割最多） 的情況，把四面體的四個(gè)面延展成四個(gè)平 面，是否就能把空間分為最多的部分呢？ 到底現(xiàn)在把空間分成了幾個(gè)部分呢？暫難想 象。由此我們想到去類(lèi)比“直線分割平面”的情 形。,4 類(lèi)比3條直線分割平面的情形 這也可以看成是把三角形的三條邊均 延長(zhǎng)為直線，看這3條直線把平面分為幾 部分。數(shù)一數(shù)，是7部分。這對(duì)我們有什 么啟示？,我們分析一下這7個(gè)部分：是有限的 部分，原三

12、角形內(nèi)部；而幾個(gè)無(wú)限部分， 或與原三角形有公共頂點(diǎn)（， ），或與原三角形有公共邊（， ）。 把它們加起來(lái)，于是1+3+3=7。所以 3條直線分割平面，最多分為7個(gè)部分。,5 類(lèi)比考慮四面體的四個(gè)面延展成4個(gè)平 面，把空間分為幾個(gè)部分：有限部分（四面體 內(nèi)部）數(shù)為1；無(wú)限部分與原四面體或有一個(gè) 公共頂點(diǎn)（有4個(gè)部分），或有一條公共棱（有6個(gè)部 分），或有一個(gè)公共面（有4個(gè)部分），于是所分空 間總的部分?jǐn)?shù)為 1+4+6+4 = 15 。 以下仍要考慮 這就是一開(kāi)始提出的問(wèn)題：5個(gè)平面最多把空間 分為幾個(gè)部分？,這一問(wèn)題在平面上的類(lèi)似問(wèn)題是什么？是 5條還是4條直線分割平面？又如何類(lèi)比？想不 清楚了

13、。對(duì)我們來(lái)說(shuō)，不如在“一般情形”下考 慮問(wèn)題： 個(gè)平面分割空間和 條直線分割平面。 條直線“處于一般位置”的要求也可以說(shuō)是：任 何兩條不平行；任何三條不共點(diǎn)。 個(gè)平面“處 于一般位置”的要求是：任兩平面不平行；任 四平面不共點(diǎn)（或說(shuō)任三平面不共線）這是四 平面不共點(diǎn)的必要條件，并非充分。,進(jìn)而，我們類(lèi)比直線上的問(wèn)題： 個(gè)一般 位置的點(diǎn)分割直線的問(wèn)題。 這一問(wèn)題比較簡(jiǎn)單： 個(gè)點(diǎn)最多把直線分為 個(gè)部分。這 對(duì)我們會(huì)有啟發(fā)。 如果我們把極端情況有零個(gè)分割元素 的情況也考慮在內(nèi)，那么被“分割”成的部 分?jǐn)?shù)是1。 下圖綜合列出點(diǎn)分直線、直線分平面、平 面分空間的已取得的結(jié)果。,6 類(lèi)比一般化 （解釋記號(hào)

14、 ，然后看圖）,于是，我們得到了一系列待解決的問(wèn) 題。孤立的問(wèn)題有時(shí)難于理解，而解決系 列問(wèn)題有時(shí)比解決弧立問(wèn)題好入手?，F(xiàn) 在，原問(wèn)題 “ ” 已處在系列問(wèn)題之 中，比之原來(lái)的情形，求解已有進(jìn)展。,7（用類(lèi)比的觀點(diǎn)）猜想 觀察上表中已得到的結(jié)果，表中的數(shù)字間有什么 聯(lián)系？有什么規(guī)律性？ 從最右一列，先以為有“2的方冪”的規(guī)律，但8后 邊的 表明這個(gè)猜想不對(duì)。 反復(fù)求索的結(jié)果，我們可能忽然看到表中有 3 4； 7 8 7 15 ， 以及聯(lián)想到 3+4=7，7+8=15。 這是一個(gè)獨(dú)特的聯(lián)系：表中已出現(xiàn)的每個(gè)數(shù)都可 由它“頭上”的數(shù)與“左肩”上的數(shù)相加而得到。,這是我們解決原問(wèn)題的鑰匙嗎？我們 猜

15、想它確是規(guī)律。那我們把表按此規(guī)律， 順沿到 ，原問(wèn)題的解就是 ？,類(lèi)比不是證明,但這種類(lèi)比不是證明，只是合理的猜 測(cè)；還需要分析這一猜測(cè)，以便證實(shí)這一 猜測(cè)，或者否定這一猜測(cè)。這才是用類(lèi) 比、歸納的方法去研究問(wèn)題的決定性步 驟。,8分析、推理 我們的分析從 “ 時(shí)直線分平面”入手，我們 已經(jīng)通過(guò)“順沿上表”猜想：4條直線最多把平面 劃分為11個(gè)部分。它是正確的嗎？我們?cè)?條直線分 平面 為7個(gè)部分的基礎(chǔ)上，再添加一條直線（用紅 色），這條直線與原來(lái)的每條直線都相交，但又不過(guò) 任意兩條直線的交點(diǎn)。如右圖。我們數(shù)一下，現(xiàn)在確 實(shí)把平面分成了11個(gè)部分。所以這猜測(cè)是對(duì)的，但它 為什么是對(duì)的呢？我們?cè)?/p>

16、作分析，增加一些理性認(rèn) 識(shí)，也許還能從中找到理解一般情形的線索。,3條直線分平面為7個(gè)部分；4條直線就分平面為 11個(gè)部分了，即增加了4部分；從3條直線添一條直 線，為什么分割平面正好多出4部分？分析一下：新 添的直線與原來(lái)3條直線每條都相交，而且交在與原 交點(diǎn)不同的點(diǎn)，這就交出了3個(gè)新交點(diǎn)，這3點(diǎn)把新添 的直線分為4段，每一段把它穿過(guò)的（由前3條直線分 成的）那個(gè)區(qū)域一分為二，因此“平面分割”增加了4 個(gè)部分，這就是“4”的來(lái)歷，而且這個(gè)分析表明，這 個(gè)“4”也正是3點(diǎn)把直線分為4部分的“4”，也就是“11” 左肩上的“4”。11=4+7原來(lái)是這樣產(chǎn)生的。這種分析 已經(jīng)是邏輯推理了，令人信服

17、，極大地增強(qiáng)了我們對(duì) 所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的信心。,9再類(lèi)比得一般情形的公式 及 我們?cè)兕?lèi)比分析 時(shí)平面分空間的情 況。這時(shí)我們不容易在平面的黑板上作立體圖 了，只能借助于剛才四面體延展的那個(gè)圖來(lái)想 像。但是我們可以從思維上、語(yǔ)言上類(lèi)比剛才 的情形。,我們?cè)?個(gè)平面分空間為8個(gè)部分的基礎(chǔ) 上，再添加一個(gè)平面，這個(gè)平面與原來(lái)的3個(gè) 平面都相交，并且又不過(guò)原來(lái)3平面的交點(diǎn)， 從而不過(guò)原來(lái)任兩平面的交線，這就交出了3 條新直線，這3條直線把新添加的平面分為7個(gè) 部分（就是上面“類(lèi)比一般化”的大表格中的 “7”），每一部分把它穿過(guò)的（由前3個(gè)平面分 成的）區(qū)域一分為二，因此“空間分割”增加了 7個(gè)部分，而原有

18、8個(gè)部分，這就是15=7+8的來(lái) 歷。,這里的 到 的過(guò)渡，并沒(méi)有任何特殊 的地方，我們可以完全類(lèi)似地分析由 向 過(guò)渡時(shí) 發(fā)生的情況，得到一般的表達(dá)式。 與段落 “8” 類(lèi)似地可以得到公式： 與段落 “9” 類(lèi)似地可以得到公式： 這兩個(gè)公式都是遞推公式。這種遞推公式與斐波 那契數(shù)列的遞推公式有區(qū)別，但思想精神是相通的。,我們只再敘述一遍較為復(fù)雜的公式 得到的過(guò)程。它實(shí)際上只要在上面的敘述中， 把“3個(gè)平面”換為“ 個(gè)平面”，把“8個(gè)部分” 換為“ 個(gè)部分”，把“3條新直線”換為 “ 條新直線”，把“7個(gè)部分”換為“ 個(gè) 部分”，把“15”換為“ ”就完成了。 簡(jiǎn)單說(shuō)，是在“上上屏”的敘述中，做下邊的 代換： ， ， ， 。,個(gè)平面把空間最多分為 個(gè)部分，求 ， 不厭其繁地詳細(xì)說(shuō)一遍，就是： 我們?cè)?個(gè)平面分空間為 個(gè)部分的基 礎(chǔ)上，再添