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文檔簡介

1、第四節(jié) 洛朗級數(shù),二、洛朗級數(shù)的概念,三、函數(shù)的洛朗展開式,一、問題的引入,五、小結與思考,四、典型例題,一、問題的引入,問題:,負冪項部分,正冪項部分,主要部分,解析部分,同時收斂,收斂,收斂半徑,收斂域,收斂半徑,收斂域,兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分,R,結論:,常見的特殊圓環(huán)域:,例如，,都不解析,而,2. 問題:在圓環(huán)域內解析的函數(shù)是否一定能展開成級數(shù)?,所以,也可以展開成級數(shù)：,二、洛朗級數(shù)的概念,定理,C為圓環(huán)域內繞 的任一正向簡單閉曲線.,為洛朗系數(shù).,證,對于第一個積分:,對于第二個積分:,其中,下面證明,則,如果C為在圓環(huán)域內繞 的任何一條正向簡單,證畢,說明:,在

2、圓環(huán)域內的洛朗(Laurent)級數(shù).,1),2) 某一圓環(huán)域內的解析函數(shù)展開為含有正、負冪項的級數(shù)是唯一的， 這就是 f (z) 的洛朗級數(shù).,定理給出了將圓環(huán)域內解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)的一般方法.,三、函數(shù)的洛朗展開式,常用方法 : 1. 直接法 2. 間接法,1. 直接展開法,利用定理公式計算系數(shù),然后寫出,缺點: 計算往往很麻煩.,根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性, 可,用代數(shù)運算、代換、求導和積分等方法去展開 .,優(yōu)點 : 簡捷 , 快速 .,2. 間接展開法,四、典型例題,例1,解,由定理知:,其中,故由柯西古薩基本定理知:,由高階導數(shù)公式知:,另解,本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負冪項的奇點,例2,內是處處解析的,試把 f (z) 在這些區(qū)域內展開成洛朗級數(shù).,解,由,且仍有,此時,仍有,說明:,回答：不矛盾 .,朗展開式是唯一的),問題：這與洛朗展開式的唯一性是否相矛盾?,(唯一性 : 指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內的洛,解,例3,例4,解,例5,內的洛朗展開式.,解,五、小結與思考,在這節(jié)課中, 我們學習了洛朗展開定理和函 數(shù)展開成洛朗級數(shù)的方法. 將函數(shù)展開成洛朗級 數(shù)是本節(jié)的重點和難點.,洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)有何關系?,思考題,洛朗級數(shù)是一個雙邊冪級數(shù), 其解析部分是 一個普通冪級數(shù);

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