1、第六章 樹和二叉樹,6.1 樹的類型定義,6.2 二叉樹的類型定義,6.3 二叉樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu),6.4 二叉樹的遍歷,6.5 線索二叉樹,6.6 樹和森林的表示方法,6.7 樹和森林的遍歷,6.8 哈夫曼樹與哈夫曼編碼,目 錄,6.1 樹的類型定義,數(shù)據(jù)對(duì)象 D：,D是具有相同特性的數(shù)據(jù)元素的集合。,若D為空集， 則稱為空樹； 否則: (1) 在D中存在唯一的稱為根的數(shù)據(jù)元素root, (2) 當(dāng)n1時(shí)，其余結(jié)點(diǎn)可分為m (m0)個(gè)互 不相交的有限集T1, T2, , Tm, 其中每一 個(gè)子集本身又是一棵符合本定義的樹， 稱為根root的子樹。,數(shù)據(jù)關(guān)系 R：,ADT,2020/8/4,5,樹的

2、示例,基本操作：,查 找 類,插 入 類,刪 除 類,Root(T) / 求樹的根結(jié)點(diǎn),Value(T, cur_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的元素值,Parent(T, cur_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的雙親結(jié)點(diǎn),LeftChild(T, cur_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的最左孩子,RightSibling(T, cur_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的右兄弟,TreeEmpty(T) / 判定樹是否為空樹,TreeDepth(T) / 求樹的深度,TraverseTree( T, Visit() ) / 遍歷,查找類操作,InitTree( Value(T, e); Parent(T, e); LeftChild(

3、T, e); RightChild(T, e); LeftSibling(T, e); RightSibling(T, e); BiTreeEmpty(T); BiTreeDepth(T); PreOrderTraverse(T, Visit(); InOrderTraverse(T, Visit(); PostOrderTraverse(T, Visit(); LevelOrderTraverse(T, Visit();,查 找 類 操 作,InitBiTree(,插 入 類 操 作,ClearBiTree(,刪 除 類 操 作,二叉樹的重要特性,性質(zhì)1 ： 在二叉樹的第 i 層上至多有2i

4、-1 個(gè)結(jié)點(diǎn)。 (i1),用歸納法證明： 歸納基： 歸納假設(shè)： 歸納證明：,i = 1 層時(shí)，只有一個(gè)根結(jié)點(diǎn)， 2i-1 = 20 = 1；,假設(shè)對(duì)所有的 j，1 j i，命題成立;,二叉樹上每個(gè)結(jié)點(diǎn)至多有兩棵子樹， 則第 i 層的結(jié)點(diǎn)數(shù) = 2i-2 2 = 2i-1 。,性質(zhì) 2 ： 深度為 k 的二叉樹上至多含 2k-1 個(gè)結(jié)點(diǎn)（k1）,證明：,基于上一條性質(zhì)，深度為 k 的二叉樹上的結(jié)點(diǎn)數(shù)至多為 20+21+ +2k-1 = 2k-1,性質(zhì) 3 ： 對(duì)任何一棵二叉樹，若它含有n0 個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)、n2 個(gè)度為 2 的結(jié)點(diǎn)，則必存在關(guān)系式：n0 = n2+1,證明：,設(shè) 二叉樹上結(jié)點(diǎn)總數(shù) n

5、 = n0 + n1 + n2 又 二叉樹上分支總數(shù) b = n1+2n2 而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 - 1 由此， n0 = n2 + 1,滿二叉樹：深度為k且含有2k-1個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹。,完全二叉樹：樹中所含的 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)和滿二叉樹中編號(hào)為 1 至 n 的結(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,兩類特殊的二叉樹：,證明：,設(shè) 完全二叉樹的深度為 k 則根據(jù)第二條性質(zhì)得 2k-1 n 2k 即 k-1 log2 n k 因?yàn)?k 只能是整數(shù)，因此， k =log2n + 1,性質(zhì)

6、4 ： 具有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹的深度為 log2n +1,若對(duì)含 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹從上到下且從左至右進(jìn)行 1 至 n 的編號(hào)，則對(duì)完全二叉樹中任意一個(gè)編號(hào)為 i 的結(jié)點(diǎn)：(1) 若 i=1，則該結(jié)點(diǎn)是二叉樹的根，無(wú)雙親, 否則，編號(hào)為 i/2 的結(jié)點(diǎn)為其雙親結(jié)點(diǎn);(2) 若 2in，則該結(jié)點(diǎn)無(wú)左孩子， 否則，編號(hào)為 2i 的結(jié)點(diǎn)為其左孩子結(jié)點(diǎn)；(3) 若 2i+1n，則該結(jié)點(diǎn)無(wú)右孩子結(jié)點(diǎn)， 否則，編號(hào)為2i+1 的結(jié)點(diǎn)為其右孩子結(jié)點(diǎn)。,性質(zhì) 5 ：,二. 二叉樹的鏈?zhǔn)?存儲(chǔ)表示,一. 二叉樹的順序 存儲(chǔ)表示,6.3 二叉樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu),#define MAX_TREE_SIZE 10

7、0 / 二叉樹的最大結(jié)點(diǎn)數(shù) typedef TElemType SqBiTreeMAX_TREE_SIZE; / 1號(hào)單元存儲(chǔ)根結(jié)點(diǎn) SqBiTree bt;,一. 二叉樹的順序存儲(chǔ)表示,A B D C E F,A,B,C,D,E,F,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14,2,5,1,14,3,7,例如:,1. 二叉鏈表,2三叉鏈表,3雙親鏈表,4線索鏈表,二. 二叉樹的鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)表示,A,D,E,B,C,F,root,lchild data rchild,結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):,1. 二叉鏈表,typedef struct BiTNode / 結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) TElemType

8、data; struct BiTNode *lchild, *rchild; / 左、右孩子指針 BiTNode, *BiTree;,lchild data rchild,結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):,C 語(yǔ)言的類型描述如下:,A,D,E,B,C,F,root,parent lchild data rchild,結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):,2三叉鏈表,typedef struct TriTNode / 結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) TElemType data; struct TriTNode *lchild, *rchild; / 左、右孩子指針 struct TriTNode *parent; /雙親指針 TriTNode, *TriTree

9、;,parent lchild data rchild,結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):,C 語(yǔ)言的類型描述如下:,L R R R L,0 1 2 3 4 5 6,data parent,結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):,LRTag,3雙親鏈表,typedef struct BPTNode / 結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) TElemType data; int parent; / 指向雙親的指針 char LRTag; / 左、右孩子標(biāo)志域 BPTNode typedef struct BPTree / 樹結(jié)構(gòu) BPTNode nodesMAX_TREE_SIZE; int num_node; / 結(jié)點(diǎn)數(shù)目 int root; / 根結(jié)點(diǎn)的位置 BPTr

10、ee,6.4 二叉樹的遍歷,一、問題的提出,二、先左后右的遍歷算法,三、算法的遞歸描述,四、中序遍歷算法的非遞歸描述,五、遍歷算法的應(yīng)用舉例,順著某一條搜索路徑巡訪二叉樹 中的結(jié)點(diǎn)，使得每個(gè)結(jié)點(diǎn)均被訪問一 次，而且僅被訪問一次。,一. 問題的提出,“訪問”的含義可以很廣，如：輸出結(jié) 點(diǎn)的信息等。,“遍歷”是任何類型均有的操作， 對(duì)線性結(jié)構(gòu)而言，只有一條搜索路 徑(因?yàn)槊總€(gè)結(jié)點(diǎn)均只有一個(gè)后繼)， 故不需要另加討論。而二叉樹是非 線性結(jié)構(gòu)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)后繼， 則存在如何遍歷即按什么樣的搜索 路徑遍歷的問題。,對(duì)“二叉樹”而言，可以有三條搜索路徑：,1先上后下的按層次遍歷； 2先左(子樹)后右(子

11、樹)的遍歷； 3先右(子樹)后左(子樹)的遍歷。,先（根）序的遍歷算法,中（根）序的遍歷算法,后（根）序的遍歷算法,二. 先左后右的遍歷算法,若二叉樹為空樹，則空操作；否則， （1）訪問根結(jié)點(diǎn)； （2）先序遍歷左子樹； （3）先序遍歷右子樹。,先（根）序的遍歷算法：,若二叉樹為空樹，則空操作；否則， （1）中序遍歷左子樹； （2）訪問根結(jié)點(diǎn)； （3）中序遍歷右子樹。,中（根）序的遍歷算法：,若二叉樹為空樹，則空操作；否則， （1）后序遍歷左子樹； （2）后序遍歷右子樹； （3）訪問根結(jié)點(diǎn)。,后（根）序的遍歷算法：,void Preorder (BiTree T, void( *visit)(T

12、ElemType/ 遍歷右子樹 ,三. 算法的遞歸描述,BiTNode *GoFarLeft(BiTree T, Stack ,四. 中序遍歷算法的非遞歸描述,void Inorder_I( BiTree T, void (*visit)(TelemType / 棧空表明遍歷結(jié)束 ,1. 統(tǒng)計(jì)二叉樹中葉子結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù) (先序遍歷， 習(xí)題6.42）,2. 求二叉樹的深度 (后序遍歷，參見習(xí)題6.44）,3. 復(fù)制二叉樹 (后序遍歷，參見習(xí)題6.46）,4.建立二叉樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu),五. 遍歷算法的應(yīng)用舉例,算法基本思想:,先序(或中序或后序)遍歷二叉樹，在遍歷過程中查找葉子結(jié)點(diǎn)，并計(jì)數(shù)。 因此，需在遍

13、歷算法中增添一個(gè)“計(jì)數(shù)”的參數(shù)，并將算法中“訪問結(jié)點(diǎn)”的操作改為:若是葉子，則計(jì)數(shù)器增1。,1. 統(tǒng)計(jì)二叉樹中葉子結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)（習(xí)題6.42）,void CountLeaf (BiTree T, int ,調(diào)用：num0； CountLeaf（T，num）；,算法基本思想:,從二叉樹深度的定義可知，二叉樹的深度應(yīng)為其左、右子樹深度的最大值加1。由此，需先分別求得左、右子樹的深度，算法中“訪問結(jié)點(diǎn)”的操作為:求得左、右子樹深度的最大值，然后加 1 。,首先分析二叉樹的深度和它的左、右子樹深度之間的關(guān)系。,2. 求二叉樹的深度(后序遍歷) （參見習(xí)題6.44）,int Depth (BiTree T

14、 ) / 返回二叉樹的深度 if ( !T ) depthval = 0; else depthLeft = Depth( T-lchild ); depthRight= Depth( T-rchild ); depthval = 1 + (depthLeft depthRight ? depthLeft : depthRight); return depthval; ,其基本操作為:生成一個(gè)結(jié)點(diǎn)。,根元素,T,左子樹,右子樹,根元素,NEWT,左子樹,右子樹,左子樹,右子樹,(后序遍歷),3. 復(fù)制二叉樹（參見習(xí)題6.46）,BiTNode *GetTreeNode(TElemType it

15、em, BiTNode *lptr , BiTNode *rptr ) if (!(T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode) exit(1); T- data = item; T- lchild = lptr; T- rchild = rptr; return T; ,生成二叉樹的一個(gè)結(jié)點(diǎn) (其數(shù)據(jù)域?yàn)閕tem,左指針域?yàn)閘ptr,右指針域?yàn)閞ptr),BiTNode *CopyTree(BiTNode *T) if (!T ) return NULL; if (T-lchild ) newlptr = CopyTree(T-lchild);/復(fù)制左子樹 els

16、e newlptr = NULL; if (T-rchild ) newrptr = CopyTree(T-rchild);/復(fù)制右子樹 else newrptr = NULL; newT=GetTreeNode(T-data,newlptr,newrptr); return newT; 問題：,若用先序框架，應(yīng)如何修改？,A,B,C,D,E,F,G,H,K, D ,C , B, H , K ,G,F ,E ,A,例如:下列二叉樹的復(fù)制過程如下:,newT,4. 建立二叉樹的 存儲(chǔ)結(jié)構(gòu),不同的定義方法相應(yīng)有不同的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的建立算法,以字符串的形式 根 左子樹 右子樹 定義一棵二叉樹,例如:,A

17、,B,C,D,以空白字符“ ”表示,A(B( ,C( , ),D( , ),空樹,只含一個(gè)根結(jié)點(diǎn)的二叉樹,A,以字符串“A ”表示,以下列字符串表示,Status CreateBiTree(BiTree ,A B C D,A,B,C,D,上頁(yè)算法執(zhí)行過程舉例如下:,A,T,B,C,D,按給定的表達(dá)式建相應(yīng)二叉樹, 由先綴表示式建樹 例如：已知表達(dá)式的先綴表示式 -+ a b c / d e, 由原表達(dá)式建樹 例如：已知表達(dá)式 (a+b)c d/e,對(duì)應(yīng)先綴表達(dá)式 -+ a b c / d e的二叉樹,a,b,c,d,e,-,+,/,特點(diǎn)： 操作數(shù)為葉子結(jié)點(diǎn)， 運(yùn)算符為分支結(jié)點(diǎn),scanf( ,

18、由先綴表示式建樹的算法的基本操作：,a+b,(a+b)c d/e,a+bc,分析表達(dá)式和二叉樹的關(guān)系:,a,b,+,a,b,c,+,a,b,c,+,(a+b)c,a,b,c,d,e,-,+,/,基本操作:,scanf( ,void CrtExptree(BiTree , ,switch (ch) case ( : Push(S, ch); break; case ) : Pop(S, c); while (c!= ( ) CrtSubtree( t, c); /建二叉樹并入棧 Pop(S, c); break; defult : / switch, ,while(!Gettop(S, c) ,

19、建葉子結(jié)點(diǎn)的算法為：,void CrtNode(BiTree ,建子樹的算法為：,void CrtSubtree (Bitree ,僅知二叉樹的先序序列“abcdefg” 不能唯一確定一棵二叉樹，,由二叉樹的先序和中序序列建樹,如果同時(shí)已知二叉樹的中序序列“cbdaegf”, 則會(huì)如何？,二叉樹的先序序列,二叉樹的中序序列,左子樹,左子樹,右子樹,右子樹,根,根,a b c d e f g,c b d a e g f,例如:,a,a,b,b,c,c,d,d,e,e,f,f,g,g,a,b,c,d,e,f,g,先序序列中序序列,void CrtBT(BiTree else , ,T=(BiTNo

20、de*)malloc(sizeof(BiTNode); T-data = preps; if (k=is) T-Lchild = NULL; else CrtBT(T-Lchild, pre, ino, ps+1, is, k-is ); if (k=is+n-1) T-Rchild = NULL; else CrtBT(T-Rchild, pre, ino, ps+1+(k-is), k+1, n-(k-is)-1 );,6.5 線索二叉樹,何謂線索二叉樹？ 線索鏈表的遍歷算法 如何建立線索鏈表？,遍歷二叉樹的結(jié)果是， 求得結(jié)點(diǎn)的一個(gè)線性序列。,A,B,C,D,E,F,G,H,K,例如:,先

21、序序列: A B C D E F G H K,中序序列: B D C A H G K F E,后序序列: D C B H K G F E A,一. 何謂線索二叉樹？,指向該線性序列中的“前驅(qū)”和 “后繼” 的指針，稱作“線索”,與其相應(yīng)的二叉樹，稱作 “線索二叉樹”,包含 “線索” 的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，稱作 “線索鏈表”,A B C D E F G H K, D ,C , B,E ,對(duì)線索鏈表中結(jié)點(diǎn)的約定：,在二叉鏈表的結(jié)點(diǎn)中增加兩個(gè)標(biāo)志域，并作如下規(guī)定：,若該結(jié)點(diǎn)的左子樹不空， 則Lchild域的指針指向其左子樹， 且左標(biāo)志域的值為“指針 Link”； 否則，Lchild域的指針指向其“前驅(qū)”， 且

22、左標(biāo)志的值為“線索 Thread” 。,若該結(jié)點(diǎn)的右子樹不空， 則rchild域的指針指向其右子樹， 且右標(biāo)志域的值為 “指針 Link”； 否則，rchild域的指針指向其“后繼”， 且右標(biāo)志的值為“線索 Thread”。,如此定義的二叉樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)稱作“線索鏈表”,typedef struct BiThrNod TElemType data; struct BiThrNode *lchild,*rchild; /左右指針 PointerThr LTag, RTag; / 左右標(biāo)志 BiThrNode, *BiThrTree;,線索鏈表的類型描述：,typedef enum Link, Th

23、read PointerThr; / Link=0:指針，Thread=1:線索,for ( p=firstNode(T); p; p=Succ(p) ) Visit (p);,由于在線索鏈表中添加了遍歷中得到的“前驅(qū)”和“后繼”的信息，從而簡(jiǎn)化了遍歷的算法。,二. 線索鏈表的遍歷算法,例如: 對(duì)中序線索化鏈表的遍歷算法, 中序遍歷的第一個(gè)結(jié)點(diǎn)？, 在中序線索化鏈表中結(jié)點(diǎn)的后繼？,左子樹上處于“最左下”（沒有左子樹）的結(jié)點(diǎn),若無(wú)右子樹，則為后繼線索所指結(jié)點(diǎn),否則為對(duì)其右子樹進(jìn)行中序遍歷時(shí)訪問的第一個(gè)結(jié)點(diǎn),void InOrderTraverse_Thr(BiThrTree T, void (*

24、Visit)(TElemType e) p = T-lchild; / p指向根結(jié)點(diǎn) while (p != T) / 空樹或遍歷結(jié)束時(shí)，p=T while (p-LTag=Link) p=p-lchild; /第一個(gè)結(jié)點(diǎn) Visit(p-data); / 訪問結(jié)點(diǎn) while (p-RTag=Thread / p進(jìn)至其右子樹根 ,在中序遍歷過程中修改結(jié)點(diǎn)的 左、右指針域，以保存當(dāng)前訪問結(jié) 點(diǎn)的“前驅(qū)”和“后繼”信息。遍歷過 程中，附設(shè)指針pre, 并始終保持指 針pre指向當(dāng)前訪問的、指針p所指 結(jié)點(diǎn)的前驅(qū)。,三. 如何建立線索鏈表？,void InThreading(BiThrTree p

25、) if (p) / 對(duì)以p為根的非空二叉樹進(jìn)行線索化 InThreading(p-lchild); / 左子樹線索化 if (!p-lchild) / 建前驅(qū)線索 p-LTag = Thread; p-lchild = pre; if (!pre-rchild) / 建后繼線索 pre-RTag = Thread; pre-rchild = p; pre = p; / 保持 pre 指向 p 的前驅(qū) InThreading(p-rchild); / 右子樹線索化 / if ,Status InOrderThreading(BiThrTree / InOrderThreading, ,if (

26、!T) Thrt-lchild = Thrt; else Thrt-lchild = T; pre = Thrt; InThreading(T); pre-rchild = Thrt; /處理最后一個(gè)結(jié)點(diǎn) pre-RTag = Thread; Thrt-rchild = pre; ,6.6 樹和森林的 表示方法,一. 雙親表示法,二. 孩子鏈表表示法,三. 樹的二叉鏈表(孩子-兄弟） 存儲(chǔ)表示法,樹的三種存儲(chǔ)結(jié)構(gòu),A,B,C,D,E,F,G,0 A -1 1 B 0 2 C 0 3 D 0 4 E 2 5 F 2 6 G 5,r=0 n=7,data parent,一. 雙親表示法,typed

27、ef struct PTNode Elem data; int parent; / 雙親位置域 PTNode;,data parent,#define MAX_TREE_SIZE 100,結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):,C語(yǔ)言的類型描述:,typedef struct PTNode nodesMAX_TREE_SIZE; int r, n; / 根結(jié)點(diǎn)的位置和結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) PTree;,樹結(jié)構(gòu):,A,B,C,D,E,F,G,0 A -1 1 B 0 2 C 0 3 D 0 4 E 2 5 F 2 6 G 5,r=0 n=7,data firstchild,1 2 3,4 5,6,-1 0 0 0 2 2 4,二. 孩

28、子鏈表表示法,typedef struct CTNode int child; struct CTNode *next; *ChildPtr;,孩子結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):,child next,C語(yǔ)言的類型描述:,typedef struct Elem data; ChildPtr firstchild; / 孩子鏈的頭指針 CTBox;,雙親結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu),data firstchild,typedef struct CTBox nodesMAX_TREE_SIZE; int n, r; / 結(jié)點(diǎn)數(shù)和根結(jié)點(diǎn)的位置 CTree;,樹結(jié)構(gòu):,A,B,C,D,E,F,G,A B C E D F G,root,A B

29、 C E D F G,三. 樹的二叉鏈表(孩子-兄弟)存儲(chǔ)表示法,typedef struct CSNode Elem data; struct CSNode *firstchild, *nextsibling; CSNode, *CSTree;,C語(yǔ)言的類型描述:,結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):,firstchild data nextsibling,設(shè)森林 F = ( T1, T2, , Tn ); T1 = (root，t11, t12, , t1m);,二叉樹 B =( LBT, Node(root), RBT );,森林和二叉樹的對(duì)應(yīng)關(guān)系,由森林轉(zhuǎn)換成二叉樹的轉(zhuǎn)換規(guī)則為:,若 F = ，則 B = ;

30、否則， 由 ROOT( T1 ) 對(duì)應(yīng)得到 Node(root); 由 (t11, t12, , t1m ) 對(duì)應(yīng)得到 LBT; 由 (T2, T3, Tn ) 對(duì)應(yīng)得到 RBT。,由二叉樹轉(zhuǎn)換為森林的轉(zhuǎn)換規(guī)則為:,若 B = , 則 F = ; 否則， 由 Node(root) 對(duì)應(yīng)得到 ROOT( T1 ); 由LBT 對(duì)應(yīng)得到 ( t11, t12, ，t1m); 由RBT 對(duì)應(yīng)得到 (T2, T3, , Tn)。,由此，樹的各種操作均可對(duì)應(yīng)二叉樹的操作來完成。,應(yīng)當(dāng)注意的是，和樹對(duì)應(yīng)的二叉樹，其左、右子樹的概念 已改變?yōu)椋鹤笫呛⒆?，右是兄?6.7 樹和森林的遍歷,一. 樹的遍歷,二.

31、 森林的遍歷,三. 樹的遍歷的應(yīng)用,樹的遍歷可有三條搜索路徑:,按層次遍歷:,先根(次序)遍歷:,后根(次序)遍歷:,若樹不空，則先訪問根結(jié)點(diǎn)，然后依次先根遍歷各棵子樹。,若樹不空，則先依次后根遍歷各棵子樹，然后訪問根結(jié)點(diǎn)。,若樹不空，則自上而下自左至右訪問樹中每個(gè)結(jié)點(diǎn)。,A B C D E F G H I J K,先根遍歷時(shí)頂點(diǎn)的訪問次序：,A B E F C D G H I J K,后根遍歷時(shí)頂點(diǎn)的訪問次序：,E F B C I J K H G D A,層次遍歷時(shí)頂點(diǎn)的訪問次序：,A B C D E F G H I J K,B C D E F G H I J K,1. 森林中第一棵樹的根結(jié)

32、點(diǎn)；,2. 森林中第一棵樹的子樹森林；,3. 森林中其它樹構(gòu)成的森林。,森林由三部分構(gòu)成：,1. 先序遍歷,若森林不空，則 訪問森林中第一棵樹的根結(jié)點(diǎn); 先序遍歷森林中第一棵樹的子樹森林; 先序遍歷森林中(除第一棵樹之外)其 余樹構(gòu)成的森林。,即：依次從左至右對(duì)森林中的每一棵樹進(jìn)行先根遍歷。,森林的遍歷,中序遍歷,若森林不空，則 中序遍歷森林中第一棵樹的子樹森林; 訪問森林中第一棵樹的根結(jié)點(diǎn); 中序遍歷森林中(除第一棵樹之外)其 余樹構(gòu)成的森林。,即：依次從左至右對(duì)森林中的每一棵樹進(jìn)行后根遍歷。,先根遍歷,后根遍歷,樹,二叉樹,森林,先序遍歷,先序遍歷,中序遍歷,中序遍歷,樹的遍歷和二叉樹遍歷

33、的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ？,設(shè)樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)為孩子兄弟鏈表,typedef struct CSNode Elem data; struct CSNode *firstchild, *nextsibling; CSNode, *CSTree;,一、求樹的深度,二、輸出樹中所有從根到葉子的路徑,三、建樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu),int TreeDepth(CSTree T) if (!T) return 0; else h1 = TreeDepth( T-firstchild ); h2 = TreeDepth( T-nextsibling); / TreeDepth,return(max(h1+1, h2);,一. 求樹的

34、深度的算法,A B C D E F G H I J K,例如：對(duì)左圖所示的樹，其輸出結(jié)果應(yīng)為：,A B E A B F A C A D G H I A D G H J A D G H K,二. 輸出樹中所有從根到葉子的路徑的算法,void AllPath( Bitree T, Stack / if(T) ,/ 輸出二叉樹上從根到所有葉子結(jié)點(diǎn)的路徑,void OutPath( CSTree T, Stack / while / OutPath,/ 輸出森林中所有從根到葉的路徑,和二叉樹類似，不同的定義相應(yīng)有不同的算法。,假設(shè)以二元組(F,C)的形式自上而下、自左而右依次輸入樹的各邊，建立樹的孩子

35、-兄弟鏈表。,三. 建樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的算法,A,B,C,D,E,F,G,例如:,對(duì)下列所示樹的輸入序列應(yīng)為:,(#, A) (A, B) (A, C) (A, D) (C, E) (C, F) (E, G),A,B,C,D,(#, A),(A, B),(A, C),(A, D),(C, E),可見，算法中需要一個(gè)隊(duì)列保存已建好的結(jié)點(diǎn)的指針,void CreateTree( CSTree / 所建為根結(jié)點(diǎn) else / 非根結(jié)點(diǎn)的情況 / for / CreateTree, ,GetHead(Q,s); / 取隊(duì)列頭元素(指針值) while (s-data != fa ) / 查詢雙親結(jié)點(diǎn) DeQueue(Q,s); GetHead(Q,s); if (!(s-firstchild) s-firstchild = p; r = p; / 鏈接第一個(gè)孩子結(jié)點(diǎn) else r-nextsibling = p; r = p; / 鏈接其它孩子結(jié)點(diǎn),6.8 哈夫曼樹與 哈夫曼編碼,最優(yōu)樹的定義 如何構(gòu)造最優(yōu)樹 前綴編