1、1.第七章：有限元方法的力學(xué)基礎(chǔ)簡(jiǎn)介；2.彈性力學(xué)是結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元方法的重要基礎(chǔ)。彈性力學(xué)和材料力學(xué)的區(qū)別1。研究?jī)?nèi)容：基本沒(méi)有區(qū)別。彈性學(xué)也研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)動(dòng)，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。2.研究對(duì)象：變形體，但也有區(qū)別。材料力學(xué)基本上只研究桿狀構(gòu)件，如桿、梁、柱和軸，即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。雖然彈性力學(xué)也研究桿狀構(gòu)件，但它也研究板、殼和其他不能用材料力學(xué)研究的固體結(jié)構(gòu)，即兩個(gè)構(gòu)件的尺寸比第三個(gè)構(gòu)件大得多，或三個(gè)構(gòu)件的尺寸相等。7.1材料力學(xué)和彈性，3.3研究方法：有很大的差異。雖然它們都是從靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三個(gè)方面來(lái)研究的，但在建立這三個(gè)條件時(shí)，卻采用了不同的分析

2、方法。材料力學(xué)為構(gòu)件的整個(gè)截面建立了這些條件，因此有必要經(jīng)常引用一些截面變形或應(yīng)力的假設(shè)。這大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)推導(dǎo)，但結(jié)果往往是近似的，不準(zhǔn)確的。彈性為組件的無(wú)窮小元素建立了這些條件，所以沒(méi)有必要引用這些假設(shè)。分析方法嚴(yán)謹(jǐn)，結(jié)論準(zhǔn)確。因此，彈性解可以用來(lái)估計(jì)材料力學(xué)解的精度，并確定它們的適用范圍。4，材料力學(xué)的結(jié)果，彈性力學(xué)的結(jié)果，5，材料力學(xué)的結(jié)果，彈性力學(xué)的結(jié)果，6，彈性力學(xué)和材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)研究得更廣泛，具有更嚴(yán)密的分析方法和更精確的研究結(jié)果，因此其應(yīng)用范圍更廣。然而，彈性也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對(duì)象的變形狀態(tài)復(fù)雜，處理方法嚴(yán)謹(jǐn)，在解決

3、問(wèn)題時(shí)往往需要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。然而，為了簡(jiǎn)化計(jì)算和便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假設(shè)：7。關(guān)于彈性材料性質(zhì)的假設(shè)(1)物體的整個(gè)體積是連續(xù)的，也就是說(shuō)，物體的整個(gè)體積被組成物體的介質(zhì)所填充，沒(méi)有留下空隙。這樣，物體中的一些物理量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等。可以用坐標(biāo)連續(xù)函數(shù)來(lái)表示。(2)物體是完全彈性的，也就是說(shuō)，當(dāng)導(dǎo)致物體變形的外力被移除時(shí)，物體可以完全恢復(fù)其原始形狀，而不會(huì)留下任何殘余變形。這樣，當(dāng)溫度不變時(shí)，物體在任何時(shí)刻的形狀都完全取決于它在那個(gè)時(shí)刻受到的外力，而與它過(guò)去的應(yīng)力無(wú)關(guān)。(3)物體是同質(zhì)的，也就是說(shuō)，整個(gè)物體是由相同的材料制成的。這樣，整個(gè)物體的所有部分都具

4、有相同的物理性質(zhì)，所以物體的彈性常數(shù)(彈性模量和泊松系數(shù))不會(huì)隨著位置坐標(biāo)而變化。物體是各向同性的，也就是說(shuō)，物體在不同方向上的每個(gè)點(diǎn)的物理和力學(xué)性質(zhì)是相同的。(5)物體的變形很小，即當(dāng)物體受力時(shí)，整個(gè)物體各點(diǎn)的位移遠(yuǎn)小于物體的原始尺寸，因此應(yīng)變和轉(zhuǎn)角遠(yuǎn)小于1。這樣，當(dāng)考慮變形后物體的平衡狀態(tài)時(shí)，可以使用變形前的尺寸代替變形后的尺寸，而沒(méi)有顯著誤差。此外，當(dāng)考慮物體的變形時(shí)，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項(xiàng)或乘積項(xiàng)可以省略，這使得彈性力學(xué)中的微分方程變成了線性方程。9，7.2彈性的一些基本概念，(1)描述可變形體的基本變量，(10)描述可變形體的基本方程、基本變量、基本方程和邊界條件，(11)可能有兩種外力

5、(或載荷)作用在彈性體上：表面力：分布在物體表面上的力，如靜水壓力、一個(gè)物體和另一個(gè)物體之間的接觸壓力等。每單位的表面力體力：是分布在物體體積中的外力，如重力、磁力、慣性力等。單位體積的物理強(qiáng)度也可以分解為三個(gè)分量，用符號(hào)x、y和z表示。彈性體受到外力后，內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力。(2)外力的概念，(12)彈性體中的微平行六面體PABC，稱為微元，PA=dx，PB=dy，PC=dz，法向應(yīng)力和剪應(yīng)力，每個(gè)面上的應(yīng)力分解為一個(gè)法向應(yīng)力和兩個(gè)剪應(yīng)力，分別平行于三個(gè)坐標(biāo)軸，(3)應(yīng)力的概念，(13)為了(a)法向應(yīng)力加上兩個(gè)角碼，前者角碼表示作用面垂直于哪個(gè)坐標(biāo)軸，后者角碼表示作用方向沿著哪個(gè)坐標(biāo)軸。例如，剪

6、應(yīng)力作用在垂直于X軸和沿Y軸的平面上。剪應(yīng)力，應(yīng)力的概念，14。應(yīng)力正負(fù)：如果平面上的外法線沿坐標(biāo)軸的正方向，則該平面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，如果某個(gè)曲面上的外法線沿坐標(biāo)軸方向?yàn)樨?fù)，則該曲面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸方向?yàn)樨?fù)，沿坐標(biāo)軸方向?yàn)檎?。壓力的概念?5。等剪應(yīng)力定律：作用在兩個(gè)垂直平面上并垂直于兩個(gè)平面相交處的剪應(yīng)力相等。(大小相等，符號(hào)相同)。因此，剪應(yīng)力標(biāo)記的兩個(gè)角度代碼可以顛倒。從力矩平衡出發(fā)，簡(jiǎn)化為剪應(yīng)力彼此相等，應(yīng)力的概念，16，應(yīng)力分量可以證明，如果這六個(gè)量在點(diǎn)P是已知的，那么通過(guò)這一點(diǎn)的任何表面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力都可以得到，因此，這六個(gè)量可以完全確

7、定這一點(diǎn)上的應(yīng)力狀態(tài)，它們?cè)谶@一點(diǎn)上稱為應(yīng)力分量。一般來(lái)說(shuō)，彈性體中各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是不同的，所以上述描述彈性體應(yīng)力狀態(tài)的六個(gè)應(yīng)力分量不是常數(shù)，而是坐標(biāo)x、y和z的函數(shù)。這六個(gè)應(yīng)力分量的總和可以用一個(gè)列矩陣表示：17。彈性體在受到外力后會(huì)變形。通常有兩種方法來(lái)描述物體的變形狀態(tài)：1 .給出每個(gè)點(diǎn)的位移；2.給出了各微量元素的變形量。彈性體中任意一點(diǎn)的位移由位移在x、y和z坐標(biāo)軸上的投影u、v和w表示。將沿坐標(biāo)軸的正方向作為正方向，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向作為負(fù)方向。這三個(gè)投影稱為位移分量。一般來(lái)說(shuō)，彈性體受力后，各點(diǎn)的位移不是一個(gè)常數(shù)值，而是坐標(biāo)的函數(shù)。(4)位移、應(yīng)變、剛體位移，(18)微型元件的變形

8、可分為兩類：一類是長(zhǎng)度的變化，另一類是角度的變化。任何線元素的長(zhǎng)度變化與原始長(zhǎng)度的比值稱為線性應(yīng)變(或法向應(yīng)變)，用符號(hào)表示。沿著坐標(biāo)軸的線應(yīng)變由相應(yīng)的角度代碼表示。當(dāng)線性元件伸長(zhǎng)時(shí)，其線性應(yīng)變?yōu)檎?。相反，?dāng)線元素縮短時(shí)，線應(yīng)變?yōu)樨?fù)。這對(duì)應(yīng)于正常應(yīng)力的符號(hào)。變形后任意兩個(gè)原始正交線元之間夾角的變化值稱為角應(yīng)變或剪切應(yīng)變，用符號(hào)表示。兩個(gè)坐標(biāo)軸之間的角應(yīng)變由相應(yīng)的角代碼表示。規(guī)定夾角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，這與剪應(yīng)力的符號(hào)規(guī)律相對(duì)應(yīng)(正引起正，等等)。)。，19，7.3彈性基本方程，(1)平衡方程考慮了微型元件各面上的法向應(yīng)力和剪應(yīng)力及其物理平衡，注意應(yīng)力從一個(gè)面向另一個(gè)面變化，即有一個(gè)增量，它

9、將作用于微型元件所有方向的總和，省略了高階項(xiàng)，平衡方程(應(yīng)力狀態(tài)的描述)可以得到： 20，(2)幾何方程-應(yīng)變和點(diǎn)B在X方向的位移為：微元體由ABCD轉(zhuǎn)換為ABCD，計(jì)算線元AB和AD的正應(yīng)變，用位移分量表示：線元AB的正應(yīng)變?yōu)椋?1，幾何方程-應(yīng)變和位移的關(guān)系，線元AB在X方向的轉(zhuǎn)角，線元AD在Y方向的轉(zhuǎn)角，剪切應(yīng)變，即線元。 點(diǎn)B在Y方向的位移分量：22，幾何方程應(yīng)變與位移的關(guān)系，X方向線元AB的轉(zhuǎn)角，Y方向線元AD的轉(zhuǎn)角，計(jì)算剪切應(yīng)變，即線元AB與AD之間的直角的變化。類似地，Y方向線元AD的旋轉(zhuǎn)角度可以省略，遠(yuǎn)小于上述公式中的單位值，因此可以獲得剪切應(yīng)變。幾何方程-應(yīng)變和位移之間的關(guān)系

10、，上面是研究xoy平面中體素的變形，同樣的方法用于研究xoz和yoz平面中體素的變形，并且可以同時(shí)得到幾何方程，表明應(yīng)變分量和位移分量之間的關(guān)系。幾何方程的矩陣表示可以證明，如果在彈性體的任何一點(diǎn)上已知三個(gè)垂直法向應(yīng)變和相應(yīng)的三個(gè)剪切應(yīng)變，就可以得到任意方向的法向應(yīng)變和任意兩條垂直線之間的剪切應(yīng)變，當(dāng)然也可以得到最大和最小法向應(yīng)變。因此，這六個(gè)量可以完全確定這個(gè)點(diǎn)的應(yīng)變分量，這叫做這個(gè)點(diǎn)的應(yīng)變分量。六個(gè)應(yīng)變分量的總和可以用柱矩陣表示：25，(4)剛體位移。從幾何方程(2-3)可以看出，當(dāng)彈性體的位移分量完全確定時(shí)，應(yīng)變分量也完全確定。相反，當(dāng)應(yīng)變分量完全確定時(shí)，位移分量就不能完全確定。這是因?yàn)?/p>

11、具有確定形狀的物體可能具有不同的剛體位移。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，讓(2-3):是的，積分后，是積分常數(shù)，26是積分常數(shù)的幾何意義，它代表彈性體沿X方向的剛體運(yùn)動(dòng)。分別表示彈性體沿y方向和z方向的剛體運(yùn)動(dòng)。一個(gè)，表示彈性體圍繞z軸的剛體旋轉(zhuǎn)。類似地，和分別表示彈性體圍繞X軸和Y軸的剛體位移。為了完全確定彈性體的位移，必須有六個(gè)適當(dāng)?shù)募s束來(lái)確定這六個(gè)剛體的位移。當(dāng)沿X軸的兩個(gè)相對(duì)側(cè)受到均勻分布的法向應(yīng)力時(shí)，在滿足先前假設(shè)的材料特性的條件下，法向應(yīng)力不會(huì)引起角度的任何變化，并且其在X方向上的單位伸長(zhǎng)率是其中E是彈性模量。彈性體在X方向上的伸長(zhǎng)伴隨著橫向收縮，即在Y和Z方向上的單位縮短可以表示為泊松系數(shù)。應(yīng)

12、力分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系-胡克定律，(5)物理方程-應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，28，單位伸長(zhǎng)和應(yīng)力之間的關(guān)系完全由兩個(gè)物理常數(shù)e和。兩個(gè)常數(shù)也可以用來(lái)確定剪切應(yīng)力和剪切應(yīng)變之間的關(guān)系。假設(shè)圖中的彈性體在所有表面上受到均勻分布的法向應(yīng)力，綜合應(yīng)變的分量可由上述兩個(gè)公式得到。實(shí)驗(yàn)表明，三種應(yīng)力引起的應(yīng)變分量可以通過(guò)疊加應(yīng)變分量得到。，物理方程-應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，29，如果剪切應(yīng)力作用在彈性體的每個(gè)表面上，如圖所示，任意兩個(gè)坐標(biāo)軸的夾角的變化只與平行于這兩個(gè)坐標(biāo)軸的剪切應(yīng)力分量有關(guān)，即得出公式中的G稱為剪切模量，它與彈性模量E和泊松系數(shù)有如下關(guān)系：因此，由三個(gè)正應(yīng)力分量和三個(gè)剪切應(yīng)力分量引起的一般應(yīng)變可以用疊

13、加法得到；也就是說(shuō)，把六個(gè)關(guān)系寫(xiě)在一起，得到正確的方程，叫做彈性方程或物理方程。這種空間狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為廣義胡克定律。將應(yīng)變分量表示為應(yīng)力分量的函數(shù)的物理方程-應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系30可以稱為物理方程的第一種形式。如果公式被改寫(xiě)成應(yīng)力分量表是應(yīng)變分量的函數(shù)的形式，則可以得到物理方程的第二種形式：物理方程-應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，31。物理方程矩陣的形式如下：可以縮寫(xiě)為：32，D稱為彈性矩陣，它完全由兩個(gè)平面問(wèn)題決定：彈性常數(shù)E和，33，7.4。彈性力學(xué)可分為嚴(yán)格的空間問(wèn)題和平面問(wèn)題，但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀并承受特殊的外力，就有可能將空間問(wèn)題簡(jiǎn)化為近似平面問(wèn)題，只考慮一些位移分量、應(yīng)變分

14、量和應(yīng)力分量。(1)平面應(yīng)力問(wèn)題(2)平面應(yīng)變問(wèn)題，34，厚度為t的非常薄的均勻木板。只有邊緣受到平行于板表面且不隨厚度變化的表面力，而物理力也平行于板表面且不隨厚度變化。薄板的中間平面作為xy平面，垂直于中間平面的任何直線作為z軸。在薄板的兩個(gè)表面上沒(méi)有垂直于和平行于板表面的外力，所以在板表面上有所有的點(diǎn)。另外，由于板很薄，外力不會(huì)沿厚度方向變化，因此可以認(rèn)為整個(gè)薄板中有所有的點(diǎn)。因此，在這六個(gè)應(yīng)力分量中，只有其余三個(gè)平行于XOY平面的應(yīng)力分量需要研究，這就是所謂的平面應(yīng)力問(wèn)題。(1)平面應(yīng)力問(wèn)題，35，平面應(yīng)力問(wèn)題，36，一般應(yīng)力狀態(tài)可以簡(jiǎn)化為：平面應(yīng)力問(wèn)題，37，物理方程中后兩個(gè)公式可以

15、看出，此時(shí)的剪切應(yīng)變可以從物理方程中的第三個(gè)公式看出：一般來(lái)說(shuō)，它不一定等于零，但可以通過(guò)求和得到，這在分析問(wèn)題時(shí)不需要考慮。因此，只需要考慮三個(gè)應(yīng)變分量，所以應(yīng)變矩陣簡(jiǎn)化為：平面應(yīng)力問(wèn)題，38，物理方程簡(jiǎn)化為：它轉(zhuǎn)化為應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：平面應(yīng)力問(wèn)題，39，上述公式用矩陣方程表示：它還可以簡(jiǎn)化為：彈性矩陣D簡(jiǎn)化為：平面應(yīng)力問(wèn)題，40，只需要考慮三個(gè)應(yīng)變分量，所以幾何方程：可以簡(jiǎn)化為：41、具有長(zhǎng)縱向(即Z方向)和恒定橫截面的物體受到平行于橫截面的表面力和物理力，并且沿長(zhǎng)度方向不變，如右圖所示。由于物體的縱向可以近似認(rèn)為是無(wú)限長(zhǎng)的，所以截面尺寸和外力不會(huì)沿長(zhǎng)度方向變化；當(dāng)任一截面為x

16、y平面，任一縱線為z軸時(shí)，所有應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿z方向變化，但它們只是x和y的函數(shù)。此外，由于對(duì)稱性(任一截面均可視為對(duì)稱平面)，所有點(diǎn)都只沿x和y方向位移，而不沿z方向位移，即w=0。這個(gè)問(wèn)題叫做平面應(yīng)變問(wèn)題。(2)平面應(yīng)變問(wèn)題，42，由于w=0，u和v只是x和y的函數(shù)，所以可以從幾何方程中看出。所以只剩下三個(gè)應(yīng)變分量，平面應(yīng)變下的幾何方程仍簡(jiǎn)化為：平面應(yīng)變問(wèn)題，43，因?yàn)閺奈锢矸匠痰淖詈髢蓚€(gè)表達(dá)式和物理方程的第三個(gè)表達(dá)式中可以看出：在平面應(yīng)變問(wèn)題中，雖然它一般不等于零，但它可以得到即平面應(yīng)變問(wèn)題，44，物理方程簡(jiǎn)化為：平面應(yīng)變問(wèn)題，45，上述公式用矩陣方程表示：它還可以簡(jiǎn)化為：彈性矩陣D是：平面應(yīng)變問(wèn)題，46，7.5軸對(duì)稱問(wèn)題，1)幾何形狀關(guān)于軸線對(duì)稱；2)作用在其上的載荷關(guān)于軸線對(duì)稱。3)約束關(guān)于軸對(duì)稱。圓柱坐標(biāo)系，(1)軸對(duì)稱問(wèn)題的特征，因?yàn)槿魏未┻^(guò)z軸的子午面都是對(duì)稱平面，任何點(diǎn)p只在這個(gè)平面上位移，也就是說(shuō)，彈性體中任何點(diǎn)的位移、應(yīng)力和應(yīng)變都只與坐標(biāo)r和z有關(guān)，而與它無(wú)關(guān)。因此，軸對(duì)稱問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為二維問(wèn)題，但它們通常被稱為二維和半維問(wèn)題，因?yàn)樗鼈儾煌谄矫鎲?wèn)題。47，位移分量，應(yīng)力分量，應(yīng)變分量，(2)軸對(duì)稱問(wèn)題的基本變量，48，基本方程：幾何方程：物理方程，(3)軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程，49，7