1、第六章 定積分,函數(shù)曲線 y = f ( x ) , xa,b 與直線 x = a , x = b , y = 0所圍的平面圖形稱為 曲邊梯形 。,注意：任何平面圖形的面積求法都可化為 曲邊梯形 的面積求法。,1. 定積分概念,1. 一個(gè)求平面圖形面積的問(wèn)題,1）曲邊梯形,2) 曲邊梯形的面積求法,n 等分區(qū)間 a ,b ，把曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形 ，每一個(gè)小曲邊梯形面積用相應(yīng)的矩形面積近似，其中矩形的底邊為（b-a) / n , 高為底邊上某一點(diǎn)相應(yīng)的函數(shù)值：f ( i ) . 這 n 個(gè)小矩形的面積和 為 ：,如把 a , b 越分越細(xì)，即當(dāng) n + ，這個(gè)近似值的極限就可能 等于

2、精確值,3) 曲邊梯形面積計(jì)算的實(shí)例,0,1,例. 求函數(shù)曲線 y = x 2 , x0 , 1 與直線 x=1 , x 軸所圍的平面圖形面積。,解：等分區(qū)間 0 ，1 ，在每一個(gè)等分小區(qū)間 ( i-1) / n , i / n ( i = 1,2,n ) 上, 取左端點(diǎn) i = ( i-1) / n , 則所求面積 S 的近似值,嚴(yán)格的講，上述推導(dǎo)中，由于取左端點(diǎn) i = ( i-1) / n ， 只能有：,所以只能得到,但好在函數(shù) y = x2 的遞增性， 如取右端點(diǎn) i = i / n ， 就還有：,所以還能得到,根據(jù)兩邊夾原理，就一定成立：,例. 求函數(shù)曲線 y = x 2 , x1

3、, 2 與直線 x =1 , x =2 , x 軸所圍的平 面圖形面積。,解: 取 i = 1+ ( i-1) / n ,2. 一個(gè)生產(chǎn)速度不恒定時(shí)如何求生產(chǎn)總量的經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題,1）小學(xué)算術(shù)問(wèn)題 ：一條生產(chǎn)線，每小時(shí)生產(chǎn) 10 個(gè)產(chǎn)品 ，一晝夜 連續(xù) 24 小時(shí)生產(chǎn)，總共生產(chǎn)了多少產(chǎn)品？,1,2,t (小時(shí) ),3,x (個(gè)/ 小時(shí)),23,24,10,2）有些變化的算術(shù)問(wèn)題 ：一條生產(chǎn)線，每小時(shí)生產(chǎn) 的產(chǎn)品數(shù)不均 等 ( 如圖所示 )，一晝夜連續(xù) 24 小時(shí)生產(chǎn)，總共生產(chǎn)了多少產(chǎn)品？,1,2,t (小時(shí) ),3,x ( t ) (個(gè)/ 小時(shí)),23,24,10,7,6,8,求生產(chǎn)總量 = 求矩

4、形面積,求生產(chǎn)總量 = 求階梯形面積,3）更為現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題 ：一條生產(chǎn)線，已知其生產(chǎn)速度曲線 ( 如圖所示 )，一晝夜連續(xù) 24 小時(shí)生產(chǎn)，總共生產(chǎn)了多少產(chǎn)品？,1,2,t (小時(shí) ),3,x ( t ) (個(gè)/ 小時(shí)),23,24,求生產(chǎn)總量 = 求曲邊梯形面積,3. 定積分的定義（第 4 頁(yè)）,如果對(duì)于定義在閉區(qū)間 a , b 上的函數(shù) f ( x ) , 不考慮是否有曲邊梯形面積的 幾何意義，只在數(shù)學(xué)上研究下面形式的和式極限是否存在：,可以定義函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 a , b 上的 定積分 概念。,如果 不論如何取點(diǎn) i , 極限,總是存在 的，且是一個(gè) 不變 的值 ，,則就稱

5、此 極限值 為函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 a , b 上的 定積分 ， 該函數(shù)則被稱為在 a , b 上 是 可積 的。,注意定義中要求 “不論如何取點(diǎn) i , 極限總是 存在 的，且是 一個(gè) 不變 的值 ” 的含義，因?yàn)槲覀兿Ｍ芯康暮瘮?shù)可以沒(méi)有單 調(diào)性，而前面特例中的兩邊夾方法對(duì)于一般情況的函數(shù)將不可能 適用，故必須要求如此。,f ( x ) 在區(qū)間 a , b 上的 定積分 有一個(gè)簡(jiǎn)便的記號(hào)：,區(qū)間 a , b 通常稱為定積分的 積分區(qū)間，a , b 通常稱為定積分 的下，上限。,4. 定積分概念的幾點(diǎn)說(shuō)明,(1) 當(dāng) a b 時(shí)，規(guī)定：,(3) 當(dāng) a ， b 和函數(shù) f ( x )

6、 給定時(shí)，定積分,是一個(gè)與 x 無(wú)關(guān)的常數(shù),當(dāng) a = b 時(shí)，,（2）定積分的值只依賴于 a ， b 和函數(shù) f ，不依賴記號(hào)中的變量 記法， 所以,i）如果 f ( x ) 在閉區(qū)間 a , b 上 連續(xù) ，則 f ( x ) 在 a , b 上必定 可積 ，或連續(xù)函 數(shù) f ( x ) 在閉區(qū)間 a , b 上的定積分總是存的。,ii）如果 f ( x ) 在閉區(qū)間 a , b 上有界，且 只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn) ，則 f ( x ) 在 a , b 上也是 可積 的， 或 f ( x ) 在閉區(qū)間 a , b 上的定積分是存在的。,iii）如果 f ( x ) 在閉區(qū)間 a , b 上 無(wú)界，則 f ( x )在 a , b 上 必不可積 ，或 f ( x ) 在閉區(qū)間 a , b 上的定積分是不存在的。,(4) 定積分存在或函數(shù)可積的 充分條件 和 必要條件,(5) 恒正函數(shù)定積分的幾何意義,表示函數(shù)曲線 y = f ( x ) , xa,b 與直線 x = a , x = b , y = 0 所圍的 平面圖形（曲邊梯形）的面積數(shù)。,如果 f ( x ) 在閉區(qū)間 a , b 上恒大于零： f ( x ) 0 , 則 f (