1、因式分解一、因式分解的概念例1 下列各式從左邊到右邊的變形中，是因式分解的為()A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16+6x=（x+4）（x-4）分析：要充分理解因式分解的概念和具體要求.選項(xiàng)A屬于整式乘法；B只是分解了局部，沒有整體化成整式的積的形式；而D左右兩邊不相等，不屬于恒等變形，因而也不屬于分解因式.解：選C.二、因式分解的方法例2 因式分解：2(a-3)2-a+3= .分析：注意到-a+3提出負(fù)號(hào)后可變成（a-3），所以考慮將負(fù)號(hào)提出，添括號(hào)后提取公因式（a-3）.解：2(a-3)2-a+3=2(a-3

2、)2-(a-3)= (a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).注意：注意本題在提取公因式(a-3)后要將剩余部分合并.例3 因式分解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n).分析：可將(m+n)看做一個(gè)整體，利用完全平方公式分解.解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n)= (2m)2+22m3(m+n)+ 3(m+n)2=2m+3(m+n)2= (5m+3n)2.注意：當(dāng)所要分解的多項(xiàng)式符合公式的“項(xiàng)數(shù)”時(shí)，注意靈活進(jìn)行整體運(yùn)用.例4 因式分解：a2(2x-3)+9(3-2x).分析：先提取(2x-3)，然后用平方差公式分解，注意后一項(xiàng)的符號(hào)變化.解：a2(2x-3)+9(3-

3、2x)=(2x-3)(a2-9)=(2x-3)(a+3)(a-3).三、因式分解相關(guān)的計(jì)算例5 已知x=a+b，y=a-b，用簡(jiǎn)便方法計(jì)算代數(shù)式(x2+y2)2-(x2-y2)2的值.分析：將代數(shù)式(x2+y2)2-(x2-y2)2用平方差公式分解后，每個(gè)括號(hào)內(nèi)合并，然后觀察與x，y的關(guān)系，再將x=a+b，y=a-b代入求解.解：(x2+y2)2-(x2-y2)2=(x2+y2+x2-y2)(x2+y2-x2+y2)=2x22y2= 4x2y2=4(xy)2=4(a+b)(a-b)2=4a4-8a2b2+4b4.例6 計(jì)算.分析：若直接計(jì)算，則分母中的計(jì)算量很大，考慮括號(hào)內(nèi)的部分能否用完全平方

4、公式分解.解：=.四、因式分解相關(guān)的說明例7 已知a2+b2=1，x2+y2=1.試說明： (ax+by)2+(bx-ay)2=1.分析：將所證式子的左邊整理成用a2+b2和x2+y2表示，故考慮將左邊因式分解. (ax+by)2+(bx-ay)2=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2=(a2+b2)x2+(a2+b2)y2=(a2+b2)(x2+y2).因?yàn)閍2+b2=1，x2+y2=1，所以(ax+by)2+(bx-ay)2=1.注意：此題采用“欲進(jìn)先退”的策略，即要進(jìn)行分解因式，先進(jìn)行整式的乘法，待到式子化簡(jiǎn)后，再分解因式

5、進(jìn)行說明.五、因式分解的實(shí)際應(yīng)用例8 已知大正方形的周長(zhǎng)和小正方形的周長(zhǎng)相差88 cm，它們的面積相差836 cm2，求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng).分析：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為x cm，小正方形的邊長(zhǎng)為y cm，則根據(jù)它們的周長(zhǎng)相差88 cm，可得4(x-y)=88.又因?yàn)樗鼈兊拿娣e相差836 cm2，所以x2-y2=836，根據(jù)這兩個(gè)方程可求出x，y的值，但是兩個(gè)方程的數(shù)值較大，計(jì)算復(fù)雜，因此可以考慮將x2-y2=836用因式分解法變形，求解.解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為x cm，小正方形的邊長(zhǎng)為y cm，根據(jù)題意得 方程組等價(jià)于將代入，得x+y=38.和組成方程組得解得x=30，y=8.所以大正方形的邊長(zhǎng)是

6、30 cm，小正方形的邊長(zhǎng)是8 cm.誤區(qū)點(diǎn)撥誤區(qū)一因式對(duì)分解的概念理解不透徹例1 下列從左到右的變形是分解因式的是( )A. B.C. D.=錯(cuò)解：選B、C、D.錯(cuò)因分析：B中只是將部分寫成積的形式，不符合因式分解的概念，C中是整式的乘法，和因式分解正好互為逆運(yùn)算；D中的a-1實(shí)質(zhì)上是，不是整式，而分解因式是要求把多項(xiàng)式寫成整式的積的形式，所以不正確.正解：選A.誤區(qū)二 多項(xiàng)式分解不徹底例2 因式分解a4-2a2+1.錯(cuò)解： a4-2a2+1=(a2) 2-2a2+1=(a2-1)2.錯(cuò)因分析：括號(hào)內(nèi)的a2-1還可以利用平方差分解，然后利用積的平方寫成(a+1)2 (a-1)2.正解 ：a4-2a2+1=(a2) 2-2a2+1=(a2-1)2=(a+1)2 (a-1)2.誤區(qū)三 利用公式出現(xiàn)偏差例3 因式分解 (x+y)2-4xy.錯(cuò)解 ：(x+y)2-4xy=（x+y+2xy）(x+y-2xy).錯(cuò)因分析： 4xy不是一個(gè)整式的平方的形式，不能直接利用平方差公式分解.正解： (x+y)2-4xy=x2+y2+2xy-4xy=x2+y2-2xy=(x-y)2.誤區(qū)四 提公因式漏項(xiàng)例4 分解因式 3a2bc3-12abc2+3abc.錯(cuò)