1、第5章測(cè)量誤差的基本知識(shí)、5-1測(cè)量誤差概要5-2評(píng)價(jià)測(cè)量精度的指標(biāo)5-3誤差傳播法則5-4等精度直接觀測(cè)平差5-5不等精度直接觀測(cè)平差、測(cè)量作業(yè)在一定的條件下進(jìn)行，由于外界環(huán)境、觀測(cè)者的技術(shù)水平和機(jī)器自身的構(gòu)造不完善等原因，有可能導(dǎo)致測(cè)量誤差的發(fā)生。 通常，設(shè)備、觀測(cè)者、外界環(huán)境三個(gè)方面統(tǒng)稱為觀測(cè)條件。 觀測(cè)條件不理想，不斷變化是測(cè)量誤差的根本原因。 通常，將觀測(cè)條件相同的各觀測(cè)稱為等精度觀測(cè)，將觀測(cè)條件不同的各觀測(cè)稱為不等精度觀測(cè)。 1、測(cè)量誤差的來(lái)源、5-1測(cè)量誤差的概要、外界條件：主要是指觀測(cè)環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度和亮度、風(fēng)力及大氣折射等因素的不斷變化，測(cè)量結(jié)果有誤差。 儀器條件：

2、儀器在加工、裝配等工藝過(guò)程中，不能保證儀器的結(jié)構(gòu)滿足各種幾何關(guān)系，這種儀器必然會(huì)給測(cè)量帶來(lái)誤差。 觀測(cè)者的自我條件：由于觀測(cè)者的官能鑒別能力的限制和技術(shù)熟練度的不同，機(jī)器對(duì)中、調(diào)和平瞄準(zhǔn)等也會(huì)產(chǎn)生誤差。 觀測(cè)結(jié)果有時(shí)會(huì)產(chǎn)生被稱為粗差的錯(cuò)誤。 粗差對(duì)于觀測(cè)結(jié)果是不允許的，但是為了消除粗差，除了細(xì)致的作業(yè)，還必須采取必要的核檢查措施。 二、測(cè)量誤差的分類、系統(tǒng)誤差：在相同的觀測(cè)條件下，觀測(cè)一定量n次，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào)相同或以一定的規(guī)則變化，則將該誤差稱為系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差一般具有累積性。 產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因之一是儀器設(shè)備制造不完善。 例如，用名義長(zhǎng)度為30米，實(shí)際長(zhǎng)度為30.04米的

3、鋼尺進(jìn)行量規(guī)。 誤差符號(hào)始終不變，有規(guī)律的誤差大小與測(cè)量距離成正比，有累積性。 另外，在測(cè)量誤差的分類中，例如，在水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，如果根據(jù)基準(zhǔn)軸和水準(zhǔn)管軸的不平行而產(chǎn)生夾角(I角)，則由于水準(zhǔn)尺的讀取值的誤差與從水準(zhǔn)尺到水準(zhǔn)尺的距離成比例，因此該誤差按照一定的規(guī)則變化。 消除系統(tǒng)誤差的一般有效方法：校準(zhǔn)儀器：最大限度地減少系統(tǒng)誤差。 求出修正數(shù)：修正觀測(cè)值，消除其影響。 采用合理的觀察方法：對(duì)向觀察等。 觀測(cè)誤差的分類、偶然誤差：在相同的觀測(cè)條件下，觀測(cè)了某量n次，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào)不一定，則該誤差又稱為偶然誤差，又稱為隨機(jī)誤差。 例如，用分為厘米的水平的尺子估計(jì)毫米時(shí)，既不會(huì)估計(jì)過(guò)大，也不

4、會(huì)估計(jì)過(guò)小就絕對(duì)相等，其影響的大小是偶然的。 偶然的誤差，對(duì)于其個(gè)別值，在觀測(cè)前不能預(yù)測(cè)其出現(xiàn)的大小和符號(hào)。 但是，如果多次觀測(cè)作為一定觀測(cè)條件的量，則誤差呈現(xiàn)一定的規(guī)則性，被稱為統(tǒng)一校正規(guī)則。 此外，隨著觀測(cè)次數(shù)的增加，偶然誤差的規(guī)律性更為顯著。 消除或減弱偶然誤差的有效方法：適當(dāng)提高設(shè)備等級(jí)。 例如，j-2經(jīng)緯儀比j-6經(jīng)緯儀在瞄準(zhǔn)、讀取值等方面減小偶然誤差的鋼尺比皮尺減小讀取誤差等。 進(jìn)行多馀的觀測(cè)，求出最大值。 測(cè)繪工作中被稱為必要的幾次觀測(cè)被稱為必要觀測(cè)，增加的幾次觀測(cè)被稱為多才觀測(cè)。 例如，為了獲得一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角值，在實(shí)測(cè)中觀察了其中的兩個(gè)角，并且第三個(gè)角可以通過(guò)校正運(yùn)算來(lái)獲

5、得。 第三個(gè)角的觀測(cè)是多才觀測(cè)，如果有多才觀測(cè)，就可以求出角度修正數(shù)，求出其最大似然值。I=lix (I=1，2，3，358 )，三，偶然誤差的特性從表中可以看出，偶然誤差在一定觀測(cè)條件下的有限次觀測(cè)中，偶然誤差的絕對(duì)值不超過(guò)一定的限制值，以及偶然誤差的絕對(duì)值不超過(guò)一定的限制值。 絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的頻度大，絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的頻度小絕對(duì)值相等的具有正、負(fù)誤差大致相等的頻率的觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，偶然誤差的理論平均值接近零。 式中，為了直觀表現(xiàn)偶然誤差的正負(fù)和大小的分布狀況，可以對(duì)表中的每個(gè)數(shù)據(jù)制作誤差頻度直方圖。 事實(shí)證明，觀測(cè)誤差必然具有上述4個(gè)特性。 而且，觀測(cè)的個(gè)數(shù)越大，該特性越顯著。

6、可以看出，正態(tài)分布具有偶然誤差的特性，例如： 換言之，f ()是偶函數(shù)，即，由絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差求出的f ()相等，因此曲線關(guān)于縱軸對(duì)稱。 f ()越小，f ()越大，f ()越小。=0時(shí)，f ()成為最大，其值是評(píng)價(jià)5-2精度的指標(biāo)，1、中誤差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、中誤差、*在一定的觀測(cè)條件下，標(biāo)準(zhǔn)偏差是一定的常數(shù)，中誤差是根據(jù)觀測(cè)次數(shù)的多寡和所讀取的觀測(cè)值的大小而變化的隨機(jī)的指標(biāo)，是反映一系列真誤差的偏差的程度的指標(biāo)、中誤差的修正、例題：用2臺(tái)機(jī)器分別觀測(cè)10次某三角形，每次觀測(cè)得到的三角形封閉差分別求出第1臺(tái)機(jī)器的結(jié)果(單位： ):3、-2、-4、2、0、-4、3、2、2，第2臺(tái)機(jī)器的結(jié)果

7、(單位： ):3、1、-2、2、0、-3 二、相對(duì)誤差、定義、誤差的絕對(duì)值與觀測(cè)值之比稱為該觀測(cè)值的相對(duì)誤差，通常以1/T的形式表示。 分別測(cè)量了100m和200m兩個(gè)距離，觀測(cè)值的中誤差都為2cm，試著比較了兩者的觀測(cè)成果的質(zhì)量。 中誤差的絕對(duì)值和觀測(cè)值之比稱為其觀測(cè)值的相對(duì)中誤差。 定義了反映容許誤差、極限誤差、容許誤差、5-3誤差傳播規(guī)律、一、誤差傳播規(guī)律的公式、觀測(cè)值和觀測(cè)值函數(shù)之間的誤差關(guān)系的規(guī)則。 公式、常用函數(shù)的中誤差公式、倍數(shù)函數(shù)、和差函數(shù)、線性函數(shù)必須正確列舉函數(shù)公式。 /用長(zhǎng)30m的鋼尺測(cè)量了10尺段。 如果各尺級(jí)的中誤差ml=5mm，則求全長(zhǎng)l和其中誤差。 二、誤差傳播規(guī)

8、律的應(yīng)用、(錯(cuò)誤)、(正確)、例如有函數(shù)式，若x的中心誤差mx已知，則求mz。 函數(shù)式中的各觀測(cè)值之間必須相互獨(dú)立，方法13360、方法23360、(錯(cuò)誤)、y1、y2不獨(dú)立，以5-4等精度觀測(cè)直接平均化，而平均化原則為最小二乘原理，例如所測(cè)量的某三角形的三個(gè)內(nèi)角的觀測(cè)值：其閉合差，如下表所示二、要求等精度直接平均化(一)的最大似然值算術(shù)平均值對(duì)某未知量進(jìn)行一組等精度觀測(cè)，設(shè)觀測(cè)值分別為L(zhǎng)1、L 2、Ln，其量的真值為x，各觀測(cè)值的真誤差為1、2，I=Li-x (I=1，2，n )，將各式相加(2)觀測(cè)值的校正因子通過(guò)將觀測(cè)值與觀測(cè)值之間的最大差或差(即，上面的公式)相加，總是使得一組觀測(cè)值的

9、校正因子之和為零。 這個(gè)特性可以作為校正運(yùn)算中的校正。 從真誤差中修正等精度觀測(cè)值中的誤差：因?yàn)椴恢勒嬷?，所以不知道真誤差的情況很多。 但是，有時(shí)可以將理論值視為真值。 例如，三角形內(nèi)角之和為180。/以等精度觀測(cè)n個(gè)三角形的3個(gè)內(nèi)角，嘗試根據(jù)三角形的閉合差來(lái)修正測(cè)角中的誤差。 解：三角形閉差：三，評(píng)價(jià)精度，根據(jù)中誤差傳播規(guī)律，三角形閉差得到的中誤差是：其中，m是測(cè)角中誤差。 將該式代入上式，該式為萩名菲列羅式，通常用于修正三角測(cè)量的測(cè)角中的誤差。 但是，當(dāng)三角形的個(gè)數(shù)大于20時(shí)，由此式計(jì)算的測(cè)角有誤差的方式可靠。 由中心誤差定義公式獲得的三角形閉合差的中心誤差取作某一量的n個(gè)等精度觀測(cè)值l

10、1、l2、ln，并且其真正誤差和校正數(shù)分別將上述的n個(gè)方程式的兩邊平方，獲得并將其和除以n。如果用上述方程式考慮的觀測(cè)值的中心誤差除以m，并且算術(shù)平均值的中心誤差除以m 當(dāng)將誤差傳播規(guī)則應(yīng)用于算術(shù)平均值的校正公式時(shí)，算術(shù)平均值的中心誤差被視為：算術(shù)平均值的中心誤差，例如，某個(gè)角等的精度被視為六次，并且其觀測(cè)值參照下表。 求觀測(cè)值的最大似然值、觀測(cè)值的中心誤差及最大似然值的中心誤差。 例如，5.5不均勻精度直接平均化，另一方面，假設(shè)廣義的算術(shù)平均值對(duì)未知量進(jìn)行了n次同精度觀測(cè)，現(xiàn)在將n個(gè)觀測(cè)值分為兩組，其中第一組有n-1個(gè)觀測(cè)值，第二組有n-2個(gè)觀測(cè)值。 對(duì)兩組觀測(cè)值分別進(jìn)行平均修正。 假設(shè)分別

11、求出兩組觀測(cè)值的算術(shù)平均值，將(1)、觀測(cè)值的中心誤差設(shè)為m，則它們的中心誤差為，(2)根據(jù)所有的同精度觀測(cè)值求出其未知量的最大似然值，為了得到根據(jù)在(3)中得到的不同精度的觀測(cè)值求出被觀測(cè)測(cè)測(cè)定的最大似然值的通式，將(2)式可知在測(cè)定作業(yè)中，如果設(shè)為(6)、(7)，則Li的精度越高則mi越小，pi越大則對(duì)應(yīng)的Li在x上的比重越大。 相反，Li的精度越低，即mi越大，pi越小，對(duì)應(yīng)的Li在x上的比重越小。 因此，pi值的大小權(quán)衡觀測(cè)值Li在x中所占的比重的大小，并且也將pi稱作Li的權(quán)重。 對(duì)于同精度觀測(cè)值的算術(shù)平均值l來(lái)說(shuō)，其權(quán)重是與修正運(yùn)算有關(guān)的觀測(cè)值的次數(shù)。 當(dāng)對(duì)某個(gè)未知量進(jìn)行n次不同的

12、精度觀測(cè)，其相應(yīng)的權(quán)重求出該量的最大似然值時(shí)，求出(7)式、上式為廣義的算術(shù)平均值，或求出(6)式、即式中任意的常數(shù)。 這個(gè)值有什么意義呢？ 此時(shí)，是權(quán)重等于1的觀測(cè)值的中心誤差，通常將等于1的權(quán)重稱為單位權(quán)重，將權(quán)重為1的觀測(cè)值稱為單位權(quán)重觀測(cè)值。 單位權(quán)重觀測(cè)值的中誤差，簡(jiǎn)稱單位權(quán)重中誤差。 權(quán)重反映了觀測(cè)值之間的相互精度關(guān)系。 為了校正p值，不決定權(quán)重本身的數(shù)值的大小而決定它們的比例關(guān)系。 根據(jù)式(5)可知，(m )的值的差異不影響x值的校正運(yùn)算，即，不改變最大似然值的校正運(yùn)算結(jié)果。 在(5)、距離測(cè)量中由邊的長(zhǎng)度決定權(quán)重的例子：以相同的精度測(cè)量三邊的長(zhǎng)度，得到S1、S2、S3，相應(yīng)的長(zhǎng)

13、度為3km、4km、6km。我們來(lái)確認(rèn)一下3邊長(zhǎng)的觀測(cè)值的權(quán)重。 解：因?yàn)橐韵嗤木冗M(jìn)行測(cè)量，所以每千米的測(cè)量誤差是相同的。 設(shè)每千米的測(cè)量中的誤差為mkm，則邊長(zhǎng)Si的中心誤差通過(guò)將其代入權(quán)重的定義式來(lái)獲得。在本例中，設(shè)c為12km，則S1、S2和S3的權(quán)重分別為4、3和2。 此時(shí)s為12km時(shí)的權(quán)重為1。 也就是說(shuō)，如果將12km的觀測(cè)作為單位權(quán)重來(lái)觀測(cè)，意味著相應(yīng)的權(quán)重為單位權(quán)重，相應(yīng)的中心誤差為單位權(quán)重的中心誤差。 由此也可知，上式中c的意思是單位權(quán)觀測(cè)。 級(jí)別測(cè)量中根據(jù)級(jí)別路由長(zhǎng)度和站數(shù)定義權(quán)重的例子： 1個(gè)級(jí)別網(wǎng)絡(luò)由同一級(jí)別的4個(gè)級(jí)別路由構(gòu)成。 將四條水準(zhǔn)路線路線長(zhǎng)設(shè)為S1=4k

14、m、S2=2km、S3=1km、S4=3km、對(duì)應(yīng)的站數(shù)設(shè)為n1=50、n2=25、n3=10、n4=40，將這四個(gè)級(jí)別的路徑觀測(cè)臺(tái)階的權(quán)利分別設(shè)為路徑長(zhǎng)度和站數(shù)解：由于這四條水準(zhǔn)路線是在同一等級(jí)上觀測(cè)到的，所以它們每千米的觀測(cè)臺(tái)階的誤差mkm和每站的觀測(cè)臺(tái)階的誤差m站是相同的，第I條路線的觀測(cè)臺(tái)階的中誤差，用其代入權(quán)的定義式得到：命令，第I條水準(zhǔn)路線的觀測(cè)臺(tái)階的權(quán)利用各水準(zhǔn)線路長(zhǎng)度決定時(shí)用各水準(zhǔn)線路的站數(shù)決定權(quán)重時(shí)，設(shè)c為100，則各水準(zhǔn)線路的觀測(cè)臺(tái)階的權(quán)重分別為2、4、10、2.5。 如果觀測(cè)不等精度的角度，并將各觀測(cè)結(jié)果的中心誤差分別設(shè)為m1=1、m2=2、m3=3，則它們的權(quán)重分別為二

15、、不等精度觀測(cè)值的最大似然值，對(duì)某未知量進(jìn)行一組不等精度觀測(cè)、觀測(cè)值的修正公式為、三、評(píng)定精度、加權(quán)平均式用從c得到的o點(diǎn)的三個(gè)標(biāo)高觀測(cè)值Hi和各水準(zhǔn)路線的長(zhǎng)度Li，求出o點(diǎn)標(biāo)高的最大似然值Ho和其中的誤差m。 總結(jié)1 .測(cè)量誤差及其原因機(jī)器的原因人的原因外界環(huán)境的影響2 .測(cè)量誤差的分類和處理原則在系統(tǒng)誤差-相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果出現(xiàn)的誤差在符號(hào)和數(shù)值兩者中相同，或者以一定的規(guī)則變化，則將該誤差稱為“系統(tǒng)誤差”的偶然誤差-在相同的觀測(cè)條件下， 對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小不同，表面上就沒(méi)有任何規(guī)律性，種類誤差稱為“偶然誤差”。 隨后，誤差處理原則系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響顯著，必須盡可能修正、抵消或減弱。 對(duì)于情況不明的系統(tǒng)誤差，采用了不同時(shí)間的多次觀測(cè)。 消除系統(tǒng)誤差的一般有效方法：校準(zhǔn)儀器：求修正數(shù)采用合理的觀測(cè)方法。 消除或減弱偶然誤差的有效方法