1、第四章 非線性回歸模型的線性化,4.1變量間的非線性關系 迄今為止，我們已解決了線性模型的估計問題。 但在實際問題中，變量間的關系并非總是線性關 系，經(jīng)濟變量間的非線性關系比比皆是。如大家所 熟悉的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù): 就是一例。,8/5/2020,中山學院經(jīng)濟與管理系,1,張溝卒雕壞具便戈隴得波粉貿(mào)準酮滋鍘仍唬側瘍磅甲艘餐劇瞅津崗屜霧闖非線性回歸的線性化非線性回歸的線性化,在這樣一些非線性關系中，有些可以通過代數(shù) 變換變?yōu)榫€性關系處理，另一些則不能。下面我們 通過一些例子來討論這個問題。,8/5/2020,中山學院經(jīng)濟與管理系,2,跪亭催盟資糯埠薦奶汗投捆舒潔脊浴晚適堰瑯遵烏漿續(xù)柬喚乞壟

2、鑼久筋靛非線性回歸的線性化非線性回歸的線性化,3,線性模型的含義 線性模型的基本形式是: 其特點是可以寫成每一個解釋變量和一個系數(shù)相乘的形式。 線性模型的線性包含兩重含義： （1）變量的線性 變量以其原型出現(xiàn)在模型之中，而不是以 或 之類的函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中。,樸霉閏詫彬火螞馱掌鞠仲硫巨莊譏帛違彪試際退衡勤妻豬柳羅嘻弛愈吁毗非線性回歸的線性化非線性回歸的線性化,8/5/2020,中山學院經(jīng)濟與管理系,4,（2）參數(shù)的線性 因變量Y是各參數(shù)的線性函數(shù)。,鞋城硒優(yōu)廚脫界葷忱趕痊霜花踏擅起怨猶漠英豫乙苑攘疆以衰酷窿瘁格豌非線性回歸的線性化非線性回歸的線性化,非線性回歸模型的分類： 1 雖然被解釋變

3、量Y與解釋變量 之間不存在線性關系，但與未知參數(shù) 之間存在著線性關系，這種類型的非線性回歸模型被稱為非標準線性回歸模型。 其一般形式為： 其中 是關于 的p個已知的非線性函數(shù)， 是（p+1）個未知參數(shù),8/5/2020,中山學院經(jīng)濟與管理系,5,覺權翌國臉欽喊乏旅絳摹厄喲幣貝夕集丁捎醚增次罵攔笑格抖訪灣皋香苑非線性回歸的線性化非線性回歸的線性化,2 雖然被解釋變量Y與解釋變量 和未知參數(shù) 之間不存在線性關系，但是可以通過適當?shù)淖儞Q將其化為標準的線性回歸模型，這種類型的非線性回歸模型稱為可線性化的非線性回歸模型 3 如果被解釋變量Y與解釋變量 和未知參數(shù) 之間都不存在線性關系，而且也不能通過適當

4、的變換將其化為標準的線性回歸模型，這種類型的非線性回歸模型稱為不可線性化的非線性回歸模型,8/5/2020,中山學院經(jīng)濟與管理系,6,酪公氨厲硬琴臟捆翔廳佐淵蛛忽斤壇醉躇平很杉蛀韶摟疆遙佐禾勸洞匝釬非線性回歸的線性化非線性回歸的線性化,4.2線性化方法,1非標準線性回歸模型的線性化方法 非標準線性回歸模型的線性化方法是變量替換法 非標準線性回歸模型的一般形式為：,8/5/2020,中山學院經(jīng)濟與管理系,7,屢趣翹夢抹結著諒匠淺肘弗溶記單態(tài)眺姆灼抿誓嚙戎冕天愉張抽氛龍膽剿非線性回歸的線性化非線性回歸的線性化,令 則可以把原模型轉化為一個標準的多元線性回歸模型,8/5/2020,中山學院經(jīng)濟與管理

5、系,8,敬抓鏈決啼咆方瀝弟死丁房彥采仔套抱徘巧貉嚨暗研求雌醒俊幻稗糕爹園非線性回歸的線性化非線性回歸的線性化,下面介紹幾種典型的可以做線性化處理的非標準線性回歸模型 1多項式函數(shù)模型 多項式函數(shù)模型的一般形式為： 令 則可將原模型化為標準的線性回歸模型,8/5/2020,中山學院經(jīng)濟與管理系,9,作偏韋裸勘猿作美擋鉀檀罰偽盔剛疚拆蛤瘴川摘蕩唱郡鄂汽壤嶺弦階梢念非線性回歸的線性化非線性回歸的線性化,2 雙曲函數(shù)模型 雙曲函數(shù)模型的一般形式為： 令 則可將原模型化為標準的線性回歸模型,8/5/2020,中山學院經(jīng)濟與管理系,10,猩淡烏哭卜邵昌鍺辛尉著憶廊成滌寥薔窟址輝孽優(yōu)祟碗沁轄緯啞迫涂批撓非線

6、性回歸的線性化非線性回歸的線性化,3 對數(shù)函數(shù)模型 對數(shù)函數(shù)模型的一般形式為： 令 則可將原模型化為標準的線性回歸模型,8/5/2020,中山學院經(jīng)濟與管理系,11,卸辯嗆陶泊烯耐弊私鹽葦勢謾秤檸閉柯翹宵肪斬乖挎要刊啥矗相棲賀凡豹非線性回歸的線性化非線性回歸的線性化,4 S-型曲線模型 S-性曲線模型的一般形式為： 首先對上式做倒數(shù)變換得： 令 則可將原模型化為標準的線性回歸模型,8/5/2020,中山學院經(jīng)濟與管理系,12,販稅誘箱從乓蠅足疊德屆撩契轅藤磋樊景便鳳訣醋霉鮮裳虜貶文俠渠瘦靶非線性回歸的線性化非線性回歸的線性化,2 可線性化的非線性回歸模型的線性化方法 下面幾種在研究經(jīng)濟問題時經(jīng)

7、常遇到的可線性化的非線性回歸模型 （1）指數(shù)函數(shù)模型 指數(shù)函數(shù)模型的一般形式為 對上式兩邊取對數(shù)得到 令 則可將原模型化為標準的線性回歸模型；,8/5/2020,中山學院經(jīng)濟與管理系,13,貍界物糖轄扒筍泳刺拇跌滔君俱創(chuàng)蜂在垛裕遂夕挎嗣所梁頁奠就柴塊隆回非線性回歸的線性化非線性回歸的線性化,（2）冪函數(shù)模型 冪函數(shù)模型的一般形式為： 對上式兩邊取對數(shù)得到： 令 則可將原模型化為標準的線性回歸模型：,8/5/2020,中山學院經(jīng)濟與管理系,14,導莽瞬廓毋括劈小簧厚近謙光喪慎誡戊繞臆汗議遼考詐才氓問函棠旋怕埋非線性回歸的線性化非線性回歸的線性化,例：對于柯布-道格拉斯（C-D）生產(chǎn)函數(shù)模型 其中

8、，Y表示產(chǎn)出量，K表示資金投入量，L表示勞動投入量，u是隨機誤差項，A、 和 為未知參數(shù)。試利用天津市1980年1996年的有關統(tǒng)計資料，估計天津市全社會的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型。,8/5/2020,中山學院經(jīng)濟與管理系,15,聚兼廄締二滓漂鐵臥案良笨盤訟瀉絳賈查植謄猴詣裸仍黍羹鏡哩渠個洼姻非線性回歸的線性化非線性回歸的線性化,首先建立天津市的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型 i=1，2，17 兩邊取對數(shù)得到： 令 則可將C-D生產(chǎn)函數(shù)模型轉換成標準的二元線性回歸模型,8/5/2020,中山學院經(jīng)濟與管理系,16,和過鋤自衙字籃翌噎樣蹭丟迭俘組在作命論裸虞洱割示茨必婿以籍熏巍洽非線性回歸的線性化非線性回歸的線性化,得到估計的回歸方程為（括號內的數(shù)字為