1、初二數(shù)學(xué)全等三角形綜合復(fù)習(xí)初二數(shù)學(xué)全等三角形綜合復(fù)習(xí) 切記： “有三個角對應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的兩個三角形不 一定全等。 1. 1. 如圖，在ABC中，BE是的平分線，AD BE，垂足為D。求證：2 1C。 2. 2. 如圖，在ABC中，AB BC，ABC 90。F為AB延長線上一點，點E在BC上， BE BF，連接AE,EF和CF。求證：AE CF。 3. 3. 如圖，AP,CP分別是ABC外角MAC和NCA的平分線， 它們交于點P。 求證：BP 為MBN的平分線。 5. 5. 如 圖 ， 在ABC中 ，A B A C，12，P為AD上 任 意 一 點 。 求 證 ：

2、 AB AC PB PC。 1 / 10 一、選擇題： 2. 根據(jù)下列條件，能畫出唯一ABC的是() A.AB 3，BC 4，CA 8 C.C 60，B 45，AB 4 B.AB 4，BC 3，A 30 D.C 90，AB 6 3. 如圖，已知1 2，AC AD，增加下列條件：AB AE；BC ED； C D；B E。其中能使ABC AED的條件有( ) A. 4 個B. 3 個C. 2 個D. 1 個 4. 如圖，1 2，C D，AC,BD交于E點，下列不正確的是() A.DAE CBEB.CE DE D.EAB是等腰三角形C.DEA不全等于CBE 5. 如圖，已知AB CD，BC AD，B

3、 23，則D等于() A. 67 B. 46 C. 23 D. 無法確定 二、填空題： 6. 如 圖 ， 在ABC中 ，C 90，ABC的 平 分 線BD交AC于 點D， 且 ，AC 10cm，則點D到AB的距離等于cm；CD: AD 2 : 3 7. 如圖，已知AB DC，AD BC，E,F是BD上的兩點，且BE DF，若 AEB 100，ADB 30 ，則BCF ； 2 / 10 8. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，BC,BD為折痕，則CBD的大小為； 9. 如圖，在等腰RtABC中，C 90，AC BC，AD平分BAC交BC于D， DE AB于E，若AB 10，則BDE的周長等于；

4、10. 如圖， 點D,E,F,B在同一條直線上，ABCD，AECF， 且A E C F， 若BD 10， BF 2，則EF ； 三、解答題： 11. 如圖，點M,N分別在BC,AC上， 且BM CN，AM與BNABC為等邊三角形， 交于Q點。求AQN的度數(shù)。 12. 如圖，ACB 90，AC BC，D為AB上一點，AE CD，BF CD， 交CD 延長線于F點。求證：BF CE。 3 / 10 4 / 10 答案答案 例例 1. 1. 思路分析：思路分析：從結(jié)論ACF BDE入手，全等條件只有AC BD；由AE BF兩邊 同時減去EF得到AF BE，又得到一個全等條件。還缺少一個全等條件，可以

5、是 CF DE，也可以是AB。 由條件AC CE，BD DF可得ACE BDF 90， 再加上AE BF，AC BD， 可以證明ACE BDF，從而得到AB。 解答過程解答過程：AC CE，BD DF ACE BDF 90 在RtACE與RtBDF中 AE BF AC BD RtACE RtBDF() A B AE BF AE EF BF EF，即AF BE 在ACF與BDE中 AF BE A B AC BD ACF BDE() 解題后的思考解題后的思考：本題的分析方法實際上是“兩頭湊”的思想方法： 一方面從問題或結(jié)論 入手， 看還需要什么條件； 另一方面從條件入手， 看可以得出什么結(jié)論。 再

6、對比 “所需條件” 和“得出結(jié)論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。 小結(jié)：小結(jié)： 本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件， 而且告訴我們?nèi)绾稳シ?析一個題目，得出解題思路。 例例 2. 2. 思路分析：思路分析：直接證明2 1C比較困難，我們可以間接證明，即找到， 證明2 且 1C。也可以看成將2“轉(zhuǎn)移”到。 那么在哪里呢？角的對稱性提示我們將AD延長交BC于F， 則構(gòu)造了， 可以通 過證明三角形全等來證明2=，可以由三角形外角定理得1+C。 解答過程解答過程：延長AD交BC于F 在ABD與FBD中 ABD FBD BD BD ADB FDB 90 又 ABD FBD

7、(2DFB DFB 1C2 1C。 解題后的思考解題后的思考： 由于角是軸對稱圖形， 所以我們可以利用翻折來構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。 5 / 10 例例 3. 3. 思路分析：思路分析：可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等，關(guān)鍵是要找到這兩個三角 形。以線段AE為邊的ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90到CBF的位置，而線段CF正好是 CBF的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯伞?解答過程解答過程：ABC 90，F(xiàn)為AB延長線上一點 ABC CBF 90 在ABE與CBF中 AB BC ABC CBF BE BF ABE CBF() AE CF。 解題后的思考解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點，不但有利于尋找全等三角

8、形， 而且有利于找對應(yīng)邊和 對應(yīng)角。 小結(jié)：小結(jié)： 利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法， 但有時不容易找到需證明的三 角形。 這時我們就可以根據(jù)需要利用平移、 翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點來尋找或利用輔助 線構(gòu)造全等三角形。 例例 4. 4. 思路分析：思路分析：關(guān)于四邊形我們知之甚少，通過連接四邊形的對角線，可以把原問題轉(zhuǎn) 化為全等三角形的問題。 解答過程解答過程：連接AC ABCD，ADBC 12，3 4 在ABC與CDA中 1 2 AC CA 4 3 ABC CDA() AB CD。 解題后的思考解題后的思考：連接四邊形的對角線，是構(gòu)造全等三角形的常用方法。 例例 5. 5. 思路

9、分析：思路分析：要證明“BP為MBN的平分線” ，可以利用點P到BM,BN的距離相 等來證明，故應(yīng)過點P向BM,BN作垂線；另一方面，為了利用已知條件“AP,CP分別是 ，也需要作出點P到兩外角兩邊的距離。MAC和NCA的平分線” 解答過程解答過程：過P作PD BM于D，PE AC于E，PF BN于F 6 / 10 AP平分MAC，PD BM于D，PE AC于E PD PE CP平分NCA，PE AC于E，PF BN于F PE PF PD PE，PE PF PD PF PD PF，且PD BM于D，PF BN于F BP為MBN的平分線。 解題后的思考解題后的思考：題目已知中有角平分線的條件，

10、或者有要證明角平分線的結(jié)論時， 常過 角平分線上的一點向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)或判定來解答問題。 例例 6.6. 思路分析：思路分析：要證明“AC 2AE” ，不妨構(gòu)造出一條等于2AE的線段，然后證其等于 AC 。因此，延長AE至F，使EF AE。 解答過程解答過程：延長AE至點F，使EF AE，連接DF 在ABE與FDE中 AE FE AEB FED BE DE ABE FDE() B EDF ADF ADBEDF，ADC BADB 又ADBBAD ADF ADC AB DF，AB CD DF DC 在ADF與ADC中 AD AD ADF ADC DF DC ADF ADC()

11、AF AC 又AF 2AE AC 2AE。 7 / 10 解題后的思考解題后的思考： 三角形中倍長中線， 可以構(gòu)造全等三角形， 繼而得出一些線段和角相等， 甚至可以證明兩條直線平行。 例例 7. 7. 思路分析：思路分析：欲證AB AC PB PC，不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系來證 明。由于結(jié)論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來證明， 從而想到構(gòu)造線段AB AC。而構(gòu) 造AB AC可以采用“截長”和“補(bǔ)短”兩種方法。 解答過程解答過程：法一： 在AB上截取AN AC，連接PN 在APN與APC中 AN AC 1 2 AP AP APN APC() PN PC 在BPN中，PB PN BN

12、PB PC AB AC，即。 法二： 延長AC至M，使AM AB，連接PM 在ABP與AMP中 AB AM 1 2 AP AP ABP AMP() PB PM 在PCM中，CM PM PC AB AC PB PC。 8 / 10 解題后的思考解題后的思考：當(dāng)已知或求證中涉及線段的和或差時，一般采用“截長補(bǔ)短”法。具體 作法是： 在較長的線段上截取一條線段等于一條較短線段， 再設(shè)法證明較長線段的剩余線段 等于另外的較短線段，稱為“截長” ；或者將一條較短線段延長，使其等于另外的較短線段， 然后證明這兩條線段之和等于較長線段，稱為“補(bǔ)短” 。 小結(jié)：小結(jié)：本題組總結(jié)了本章中常用輔助線的作法， 以后隨著學(xué)習(xí)的深入還要繼續(xù)總結(jié)。 我 們不光要總結(jié)輔助線的作法，還要知道輔助線為什么要這樣作，這樣作有什么用處。 同步練習(xí)的答案同步練習(xí)的答案 一、選擇題： 1. A2. C3. B4. C5. C 二、填空題： 6. 47. 70 8. 90 9. 1010. 6 三、解答題： 11. 解：ABC為等邊三角形 AB BC，ABC C 6