1、第十三章 軸對稱,13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題,學(xué)習(xí)目標(biāo)： 能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想 學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題,如圖所示，從A地到B地有三條 路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？ 學(xué).科.網(wǎng).zxxk,兩點(diǎn)之間,線段最短, ,()兩點(diǎn)在一條直線異側(cè),已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。,P,連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)P ，就是所求。,思考？ 為什么這樣做就能得到最短距離呢？ 學(xué).科.網(wǎng).zxxk.,根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.,如圖，要在

2、燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？,P,所以泵站建在點(diǎn)P可使輸氣管線最短,應(yīng)用,B/,點(diǎn)P的位置即為所求.,作法： 作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B/., 連接AB/,交直線l于點(diǎn)P.,() 兩點(diǎn)在一條直線同側(cè),已知：如圖,A、B在直線L的同一側(cè)，在L上求一點(diǎn)，使得PA+PB最小.,為什么這樣做就能得到最短距離呢？,MA + MBPA+PB ,即MA + MBPA+PB,三角形任意兩邊之和大于第三邊,問題：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短,練習(xí),請你自己動(dòng)手 試

3、一試！,只有A、C、B在一直線上時(shí)，才能使AC+BC最小作點(diǎn)A關(guān)于直線“街道”的對稱點(diǎn)A，然后連接AB，交“街道”于點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是所求的點(diǎn),1. 如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）,A, B,作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E. 2.連接AE交河對岸與點(diǎn)M,則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋. 證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE, 所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若橋的位置建在CD

4、處，連接 AC.CD.DB.CE,則AB兩地的距離為： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN 所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短。,A,B,M,N,E,C,D,4. 如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。 作法:1.作點(diǎn)C關(guān)于直線 OA 的 對稱點(diǎn)點(diǎn)F, 2. 作點(diǎn)D關(guān)于直線 OB 的對稱點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接EF分別交直線OA.OB于點(diǎn)G.H， 則CG+GH+DH最短,F,A,O,

5、B,D , C,E,G,H,A/,B/,P,Q,證明：在直線OA 上另外任取一點(diǎn)G，連接 點(diǎn)F,點(diǎn)C關(guān)于直線OA對稱，點(diǎn)G.M在OA上，GF=GC,FM=CM, 同理HD=HE，ND=NE, CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE, CG+GH+HD=FG+GH+HE, 在四邊形EFGH中， FG+GH+HEFE（兩點(diǎn)之間，線段最短）， 即CG+GH+HDCM+MN+ND即CM+MN+ND最短,()一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部,已知：如圖A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小.,B,C,D,E,分析：當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長度恰好能夠體

6、現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長最小,()一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部,已知：如圖A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小.,分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對稱點(diǎn)A，A；連接A，A，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求,3.某班舉行晚會(huì)，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？ 作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線 OA 的 對稱點(diǎn)點(diǎn)D, 2.作點(diǎn)C關(guān)于直線 OB的對稱點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接DE分別交直線OA.OB于M.N， 則CM+MN+CN最短,A,O,B,. .,E,D,M,N,G,H,證明：在直線OA 上另外任取一點(diǎn)G，連接 點(diǎn)D,點(diǎn)C關(guān)于直線OA對稱， 點(diǎn)G.H在OA上，DG=CG, DM=CM, 同理NC=NE，HC=HE