1、三角形,第2章,等腰三角形,2.3,如圖,把一張長(zhǎng)方形紙片按圖中的虛線對(duì)折,AC和AB有什么關(guān)系?這個(gè)三角形有什么特點(diǎn)?,然后沿著虛線剪去一部分,再把它展開(kāi),得ABC.,定義：兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.,邊：等腰三角形中,相等的兩條邊叫做腰，,另一條邊叫做底邊.,角：等腰三角形中,兩腰的夾角叫做頂角，,腰和底邊的夾角叫做底角.,任意畫(huà)一個(gè)等腰三角形ABC， 其中AB =AC， 如圖, 作ABC 關(guān)于頂角平分線AD 所在直線的軸反射， 由于1 =2， AB=AC， 因此：,射線AB的像是射線AC， 射線AC的像是射線 ；線段AB的像是線段AC， 線段AC的像是線段 ； 點(diǎn)B的像是點(diǎn)C，

2、點(diǎn)C的像是點(diǎn) ； 線段BC的像是線段CB. 從而等腰三角形ABC關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng).,AB,AB,B,AD,由于點(diǎn)D 的像是點(diǎn)D, 因此線段DB 的像是線段 ， 從而AD 是底邊BC上的 . 由于射線DB的像是射線DC, 射線DA的像是射線 , 因此BDA=CDA= , 從而AD是底邊BC上的 . 由于射線BA 的像是射線CA , 射線BC 的像是射線 ,因此B C.,DC,中點(diǎn),DA,90,高,CB,=,等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是頂角平分線所在的直線.,等腰三角形的兩底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”）,在ABC中， AC=AB（已知 ） B=C（等邊對(duì)等角）,幾何語(yǔ)言：,等腰三角形底邊上的高、

3、中線及頂角平分線重合（簡(jiǎn)稱(chēng)“三線合一”）,在ABC中，AB =AC, 點(diǎn) D在BC上 1、AD BC = ， = . 2、AD是中線， ， = . 3、AD是角平分線， ， = .,幾何語(yǔ)言：,BAD CAD,BD CD,BD CD,BAD CAD,AD BC,AD BC,在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求 ABC各角的度數(shù) .,解：在ABC中，AB=AC ABC=ACB,A+ABC+ACB=180 在ABD中，BD=AD ABD=A，BDC=A+ABD, 即BDC=2A 在BDC中，BD=BC BDC=BCD, A+2ACB=180 即 A+4A=180 A=36

4、ABC=BCA=2A=72,如圖（1）在等腰ABC中， AB =AC, A = 36,則B = ,C= .,變式練習(xí)： 1、如圖（2）在等腰ABC中，A = 50, 則B = ，C= . 2、如圖（3）在等腰ABC中，A = 120則B = ，C= .,72 ,72 ,65 ,65 ,30 ,30 ,如圖， ABC 是等邊三角形， 那么A， B，C的大小之間有什么關(guān)系呢？,因?yàn)锳BC 是等邊三角形， 所以ABBCAC, 從而C AB 由三角形內(nèi)角和定理可得： ABC 60,等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，且都等于60.,由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有三條對(duì)稱(chēng)軸，分

5、別是三個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線.,舉 例,例1,已知： 如圖， 在ABC中， AB=AC， BDAC， 垂足為點(diǎn)D. 求證： DBC= A.,舉 例,F,作AFBC于FAB=AC AFBCCAF=BAF= BACAFBC BDACCAF+C=DBC+C=90DBC =CAFDBC= BAC,解題規(guī)律： 在等腰三角形中，做頂角平分線或作底邊上 高或作底邊上中線是一種常用的輔助線.,舉 例,例2 已知： 如圖, 在ABC 中, AB = AC, 點(diǎn)D, E在邊BC上, 且AD = AE. 求證： BD = CE.,證明：作AFBC,垂足為點(diǎn)F, 則AF 是等腰三角形ABC 和等腰三角 形ADE 底

6、邊上的高, 也是底邊 上的中線. BF = CF， DF = EF， BF DF = CF EF， 即BD = CE.,如圖 的三角測(cè)平架中,AB=AC,在BC的中點(diǎn)D 掛一個(gè)重錘,自然下垂,調(diào)整架身, 使點(diǎn)A恰好在鉛垂線上 (1) AD與BC是否垂直,試說(shuō)明理由; (2) 這時(shí)BC處于水平位置,為什么?,本節(jié)課你學(xué)習(xí)了等腰三角形的哪些重要性質(zhì)?,例,已知：在ABC中,AC=BC,ACB=900, 點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn).,證明：點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，AC=BC，ACB=900 CDAB，ACD=BCD=450 CAD=CBD=450 CAE=BCG 又BFCE CBG+BCF=900 又ACE+BCF=900 ACE=CBG 又AC=BC， AECCGB（ASA) AE=CG,（1）直線BF垂直于CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖）， 求證：AE=CG；,（2）直線AH垂直CE,垂足為H,交CD的延長(zhǎng) 線于點(diǎn)M（如圖）,找出圖中與BE相等的線段, 并說(shuō)明. 求證:BE=CM,證明