1、第八章存儲(chǔ)規(guī)劃,第八章存儲(chǔ)規(guī)劃,第一節(jié)： 現(xiàn)實(shí)中的存儲(chǔ)問(wèn)題 第二節(jié)： 存儲(chǔ)論的基本概念 第三節(jié)： 確定性存儲(chǔ)模型 第四節(jié)： 隨機(jī)性存儲(chǔ)模型 第五節(jié)： 存儲(chǔ)規(guī)劃的應(yīng)用,8.1現(xiàn)實(shí)中的存儲(chǔ)問(wèn)題,問(wèn)題1：某種物品每天要供應(yīng)的數(shù)量是固定的，采購(gòu)一次需要付出一筆采購(gòu)費(fèi)，未售出時(shí)每天每件要付出存貯費(fèi)。問(wèn)應(yīng)隔幾天采購(gòu)一次使總費(fèi)用最?。?問(wèn)題2：銀行里每天隨時(shí)有人前來(lái)提取現(xiàn)款，人們來(lái)不來(lái)提款，提多少款，雖然有一定的規(guī)律，但都是不確定的。銀行應(yīng)保持多少現(xiàn)金最合理呢？ 問(wèn)題3：報(bào)童問(wèn)題。報(bào)童每天到郵局訂報(bào)。訂多了賣不完，將造成積壓和打折扣出售的損失；訂少了不夠賣，引起缺貨的損失，他應(yīng)訂幾份報(bào)最合理？,集裝箱運(yùn)輸企

2、業(yè)面臨的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,從有利于攬貨，方便貨主的角度出發(fā)，空箱存儲(chǔ)量高是有利的，但無(wú)論是購(gòu)買還是租賃，成本昂貴；空箱存儲(chǔ)量少，由于箱子周轉(zhuǎn)及需求具有很大的不確定性，勢(shì)必影響攬貨或增加額外的租箱支出。如何合理地確定集裝箱空箱保存量。,8.2 存儲(chǔ)論的基本概念,5,存儲(chǔ)系統(tǒng) 存儲(chǔ)論的對(duì)象，是一個(gè)由補(bǔ)充、存儲(chǔ)、 需求三個(gè)環(huán)節(jié)緊密構(gòu)成的現(xiàn)實(shí)運(yùn)行系統(tǒng)， 并且以存儲(chǔ)為中心環(huán)節(jié)，故稱為存儲(chǔ)系統(tǒng)。,補(bǔ)充,需求,一、需求,有的需求是確定性的，有的需求是隨機(jī)性的。,二、補(bǔ)充,從訂貨到貨物進(jìn)入存儲(chǔ)往往需要一段時(shí)間，這段時(shí)間稱為備貨時(shí)間 (lead time) 備貨時(shí)間有可能是隨機(jī)性的，也可能是確定性的。,三、費(fèi)用,（1）

3、存儲(chǔ)費(fèi)：包括貨物占用資金應(yīng)付的利息以及使用倉(cāng)庫(kù)、保管貨物、貨物損壞變質(zhì)等支出的費(fèi)用。 （2）訂貨費(fèi)：一項(xiàng)是訂購(gòu)費(fèi)用（固定費(fèi)用）訂購(gòu)費(fèi)與訂貨次數(shù)有關(guān)而與訂貨數(shù)量無(wú)關(guān)。另一項(xiàng)是貨物的成本費(fèi)用，它與訂貨數(shù)量有關(guān)（可變費(fèi)用），如貨物本身的價(jià)格，運(yùn)費(fèi)等。 （3）生產(chǎn)費(fèi)：一項(xiàng)是裝配費(fèi)用，如更換模、夾具需要工時(shí)，或添置某些專用設(shè)備等屬于這項(xiàng)費(fèi)用，也用C3表示。另一項(xiàng)是與生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量有關(guān)的費(fèi)用如材料費(fèi)、加工費(fèi)等（可變費(fèi)用） （4）缺貨費(fèi)：當(dāng)存儲(chǔ)供不應(yīng)求時(shí)所引起的損失。在不允許 缺貨的情況下，在費(fèi)用上處理的方式是缺貨費(fèi)為無(wú)窮大。,8,四. 存儲(chǔ)策略,如前所述決定何時(shí)補(bǔ)充，補(bǔ)充多少數(shù)量的辦法稱之為存儲(chǔ)策略，常見

4、的策略有三種類型。 (1) t0-循環(huán)策略，每隔t0時(shí)間補(bǔ)充存儲(chǔ)量Q。 (2) (s,S)策略，每當(dāng)存儲(chǔ)量xs時(shí)不補(bǔ)充。當(dāng)xs時(shí)補(bǔ)充存儲(chǔ)。補(bǔ)充量Q=S-x(即將存儲(chǔ)量補(bǔ)充到S)。 (3) (t,s,S)混合策略，每經(jīng)過(guò)t時(shí)間檢查存儲(chǔ)量x，當(dāng)xs時(shí)不補(bǔ)充。當(dāng)xs時(shí)，補(bǔ)充存儲(chǔ)量使之達(dá)到S。 一個(gè)好的存儲(chǔ)策略，既可以使總費(fèi)用最小，又可避免因缺貨影響生產(chǎn)(或?qū)︻櫩褪バ庞?,存儲(chǔ)模型的兩大類型：,一類叫作確定性模型，即模型中的數(shù)據(jù)皆為確定的數(shù)值； 另一類叫作隨機(jī)性模型，即模型中含有隨機(jī)變量，而不是確定的數(shù)值。 由于具體條件有差別，制定存儲(chǔ)策略時(shí)又不能忽視這些差別，因而模型也有多種類型。本章將按確定性存

5、儲(chǔ)模型及隨機(jī)性存儲(chǔ)模型兩大類，分別介紹一些常用的存儲(chǔ)模型，并從中得出相應(yīng)的存儲(chǔ)策略。,第3節(jié) 確定性存儲(chǔ)模型 模型一：不允許缺貨，備貨時(shí)間很短,假設(shè)： (1) 缺貨費(fèi)用無(wú)窮大； (2) 當(dāng)存儲(chǔ)降至零時(shí)，可以立即得到補(bǔ)充(即備貨時(shí)間或拖后時(shí)間很短，可以近似地看作零)； (3) 需求是連續(xù)的、均勻的，設(shè)需求速度R(單位時(shí)間的需求量)為常數(shù)，則t時(shí)間的需求量為Rt； (4) 每次訂貨量不變，訂購(gòu)費(fèi)不變(每次備貨量不變，裝配費(fèi)不變)； (5) 單位存儲(chǔ)費(fèi)不變。 這些假設(shè)條件只是近似的正確，,分析模型一,其存儲(chǔ)量的變化 假定每隔t時(shí)間補(bǔ)充一次存儲(chǔ)，那么訂貨量必須滿足t時(shí)間的需求Rt，記訂貨量為Q，Q=R

6、t，訂購(gòu)費(fèi)為C3，貨物單價(jià)為K，則訂貨費(fèi)為C3+KRt；t時(shí)間的平均訂貨費(fèi)為,t 時(shí)間內(nèi)的平均存儲(chǔ)量為,(此結(jié)果由圖13-3中利用幾何知識(shí)易得出， 平均存儲(chǔ)量為三角形高的二分之一),單位時(shí)間內(nèi)單位物品的存儲(chǔ)費(fèi)用為C1，,t 時(shí)間內(nèi)所需平均存儲(chǔ)費(fèi)用為1/2 (RtC1）。 t 時(shí)間內(nèi)總的平均費(fèi)用為C(t）,只需對(duì)(8-1)式利用微積分求最小值的方法可求出。,經(jīng)濟(jì)批量公式,因,得,即存儲(chǔ)論中著名的經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)批量 (economic ordering quantity)公式。 簡(jiǎn)稱為E.O.Q公式，也稱平方根公式， 或經(jīng)濟(jì)批量(economic lot size)公式。,由于Q0、t0皆與K無(wú)關(guān)，所以

7、此后在費(fèi)用函數(shù)中略去K、R這項(xiàng)費(fèi)用。如無(wú)特殊需要不再考慮此費(fèi)用,(8-1)式改寫為,最佳費(fèi)用公式,將t 0代入(8-4)式得出最佳費(fèi)用,從費(fèi)用曲線(見圖8-4),也可以求出t0，Q0，C0。,費(fèi)用曲線,費(fèi)用曲線,C(t)曲線的最低點(diǎn)(min C(t)的橫坐標(biāo)t0與存儲(chǔ)費(fèi)用曲線、訂購(gòu)費(fèi)用曲線交點(diǎn)橫坐標(biāo)相同。即,解出t 0 ，,例8-1,某廠按合同每年需提供D個(gè)產(chǎn)品，不許缺貨。假設(shè)每一周期工廠需裝配費(fèi)C3元，存儲(chǔ)費(fèi)每年每單位產(chǎn)品為C1元，問(wèn)全年應(yīng)分幾批供貨才能使裝配費(fèi)，存儲(chǔ)費(fèi)兩者之和最少。 解 設(shè)全年分n批供貨，每批生產(chǎn)量Q=D/n，周期為1/n年(即每隔1/n年供貨一次)。,說(shuō)明,從例1中還看到

8、這些公式在實(shí)際應(yīng)用時(shí)還會(huì)有一點(diǎn)問(wèn)題，因?yàn)閠0(或Q0，n0)不一定是整數(shù)。假設(shè)t0=16.235(天)。很明顯，小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字對(duì)實(shí)際訂貨間隔的時(shí)間是沒有意義的，這時(shí)可以取近似的整數(shù)。取t016或t017都可以。 為了精確起見，可以比較C(16)、C(17)的大小，再?zèng)Q定t0=16或t0=17。,從圖13-4也可以看到C(t)在t0附近變化平穩(wěn)，t有變化時(shí)C(t)變化不大。利用數(shù)學(xué)分析方法可以證明當(dāng)t在t0點(diǎn)有增量t時(shí)， 總費(fèi)用的增量。 即當(dāng)t0時(shí)，C是t的高階無(wú)窮小量。 (證明的方法可參考微積分臺(tái)勞公式部分),例8-2,某一加油站每天需汽油5噸，以供來(lái)站汽車加油之需。長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)積累表明，每天的

9、需求量基本是穩(wěn)定的。汽油由石油公司供應(yīng)。石油公司能根據(jù)加油站的需要，立即派出油罐車向加油站及時(shí)供應(yīng)所需汽油量，但每供應(yīng)1次，不論供應(yīng)量多少，都收取訂購(gòu)費(fèi)用（包括運(yùn)輸費(fèi)、手續(xù)費(fèi)等）2000元。汽油價(jià)格為每噸3000元。汽油在汽油站每天的存儲(chǔ)費(fèi)用為200元每噸。問(wèn)：加油站以怎樣的方式向石油公司進(jìn)貨最為合理？,解： C1=200元/t.d，C3=200元/次，R=5t/d。因此經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)批量是,練習(xí)：某工廠生產(chǎn)載波機(jī)所需電容元件，正常生產(chǎn)每日需500個(gè)，存儲(chǔ)費(fèi)每個(gè)每周0.01美元，訂購(gòu)費(fèi)每次50美元，問(wèn)：經(jīng)濟(jì)訂貨量是多少？（2）一年訂購(gòu)幾次（一年按52周計(jì)）（3）一年的存儲(chǔ)費(fèi)和訂購(gòu)費(fèi)各是多少？,模型二

10、：不允許缺貨，生產(chǎn)需一定時(shí)間,本模型的假設(shè)條件，除生產(chǎn)需要一定時(shí)間的條件外，其余皆與模型一的相同。 設(shè)生產(chǎn)批量為Q，所需生產(chǎn)時(shí)間為T，則生產(chǎn)速度為P=Q/T。 已知需求速度為R，(RP)。生產(chǎn)的產(chǎn)品一部分滿足需求，剩余部分才作為存儲(chǔ)，這時(shí)存儲(chǔ)變化如圖8-6所示。,圖8-6,在0，T區(qū)間內(nèi)，存儲(chǔ)以(P-R)速度增加，在T，t區(qū)間內(nèi)存儲(chǔ)以速度R減少。 T與t皆為待定數(shù)。從圖8-6易知(P-R)T=R(t-T)，即PT=Rt(等式表示以速度P生產(chǎn)T時(shí)間的產(chǎn)品等于t時(shí)間內(nèi)的需求)，并求出,公式,公式,公式,例8-3 某廠每月需甲產(chǎn)品100件，每月生產(chǎn)率為500件，每批裝配費(fèi)為5元，每月每件產(chǎn)品存儲(chǔ)費(fèi)為

11、0.4元，求E.O.Q及最低費(fèi)用。,解 已知C3=5，C1=0.4，P=500，R=100，將各值代入公式(8-7)及(8-8)得,例8-4 某商店經(jīng)售甲商品成本單價(jià)500元，年存儲(chǔ)費(fèi)用為成本的20%，年需求量365件，需求速度為常數(shù)。甲商品的定購(gòu)費(fèi)為20元，提前期為10天，求E.O.Q及最低費(fèi)用。,解 此例題從表面上看，似乎應(yīng)按模型二處理。因?yàn)橥虾髸r(shí)間似乎與生產(chǎn)需一定時(shí)間意義差不多。其實(shí)不然，現(xiàn)將本題存儲(chǔ)變化情況用圖表示之(見圖8-7)，并與模型一、模型二的圖相比較，可看到與模型一完全相同。本題只需在存儲(chǔ)降至零時(shí)提前10天訂貨即可保證需求。,圖8-7,計(jì)算,訂貨點(diǎn),由于提前期為t1=0天，1

12、0天內(nèi)的需求為10單位甲商品，因此只要當(dāng)存儲(chǔ)降至10單位時(shí)，就要訂貨。一般設(shè)t1為提前期，R為需求速度，當(dāng)存儲(chǔ)降至L=Rt1的時(shí)候即要訂貨。 L稱為“訂購(gòu)點(diǎn)”(或稱訂貨點(diǎn))。 確定多少時(shí)間訂一次貨，雖可以用E.O.Q除以R得出to(to=Qo/R)，但求解的過(guò)程中并沒有求出to，只求出訂貨點(diǎn)L即可，這時(shí)存儲(chǔ)策略是：不考慮to，只要存儲(chǔ)降至L即訂貨，訂貨量為Qo，稱這種存儲(chǔ)策略為定點(diǎn)定貨。相對(duì)地每隔to時(shí)間訂貨一次稱為定時(shí)訂貨，每次訂貨量不變則稱為定量訂貨。,模型三：允許缺貨，備貨時(shí)間很短,模型一、模型二是在不允許缺貨的情況下推導(dǎo)出來(lái)的。本模型是允許缺貨，并把缺貨損失定量化來(lái)加以研究。由于允許缺

13、貨，所以企業(yè)可以在存儲(chǔ)降至零后，還可以再等一段時(shí)間然后訂貨。這就意味著企業(yè)可以少付幾次訂貨的固定費(fèi)用，少支付一些存儲(chǔ)費(fèi)用。一般地說(shuō)當(dāng)顧客遇到缺貨時(shí)不受損失，或損失很小，而企業(yè)除支付少量的缺貨費(fèi)外也無(wú)其他損失，這時(shí)發(fā)生缺貨現(xiàn)象可能對(duì)企業(yè)是有利的。,本模型的假設(shè)條件除允許缺貨外，其余條件皆與模型一相同。,設(shè) 單位時(shí)間單位物品存儲(chǔ)費(fèi)用為C1，每次訂購(gòu)費(fèi)為C3，缺貨費(fèi)為C2(單位缺貨損失)，R為需求速度。求最佳存儲(chǔ)策略，使平均總費(fèi)用最小(見圖8-8),假設(shè)最初存儲(chǔ)量為S,公式,公式,公式,公式,將(8-10)式，(8-11)式代入C(t,S),由于模型三中允許缺貨,在允許缺貨情況下，存儲(chǔ)量只需達(dá)到S0

14、即可，,顯然Q0S0，它們的差值表示在to時(shí)間內(nèi)的最大缺貨量。,說(shuō)明,在允 許缺貨條件下，經(jīng)過(guò)研究而得出的存儲(chǔ)策略是 ：每隔to時(shí)間訂貨一次，訂貨量為Qo，用Qo中的一部分補(bǔ)足所缺貨物，剩余部分So進(jìn)入存儲(chǔ)。很明顯，在相同的時(shí)間段落里，允許缺貨的訂貨次數(shù)比不允許缺貨時(shí)訂貨次數(shù)減少了。,例8-5 已知需求速度R=100件，C1=0.4元，C2=0.15元，C3=5元，求S0及C0。,解 利用(8-12)式，(8-13)式即可計(jì)算,模型一、二、三存儲(chǔ)策略之間的差別,可以看到不允許缺貨生產(chǎn)需要時(shí)間很短條件下得出的存儲(chǔ)策略：最大存儲(chǔ)量S0=Q0,在不允許缺貨、生產(chǎn)需一定時(shí)間條件下，得出存儲(chǔ)策略,在允許

15、缺貨、生產(chǎn)需時(shí)間很短條件下，得出存儲(chǔ)策略,模型二、三只是以模型一的存儲(chǔ)策略乘上相應(yīng)的因子，這樣可以便于記憶，再有,都是同一個(gè)數(shù)值，這樣就得出它們之間的差別與內(nèi)在聯(lián)系。,模型四：允許缺貨(需補(bǔ)足缺貨)、生產(chǎn)需一定時(shí)間,假設(shè)條件除允許缺貨生產(chǎn)需一定時(shí)間外，其余條件皆與模型一相同，其存儲(chǔ)變化如圖8-9所示,分析圖8-9,取0，t為一個(gè)周期，設(shè)t1時(shí)刻開始生產(chǎn)。 0,t2時(shí)間內(nèi)存儲(chǔ)為零，B表示最大缺貨量。 t1,t2時(shí)間內(nèi)除滿足需求外，補(bǔ)足0,t1時(shí)間內(nèi)的缺貨。 t2,t3時(shí)間內(nèi)滿足需求后的產(chǎn)品進(jìn)入存儲(chǔ)，存儲(chǔ)量以(P-R)速度增加。 S表示存儲(chǔ)量，t3時(shí)刻存儲(chǔ)量達(dá)到最大，t3時(shí)刻停止生產(chǎn)。 t3,t時(shí)

16、間存儲(chǔ)量以需求速度 R 減少。,由圖8-9易知：,最大缺貨量B=Rt1，或 B=(P-R)(t2-t1)；即Rt1=(P-R)(t2-t1)，得,最大存儲(chǔ)量 S=(P-R)(t3 - t2)，或S=R(t - t3) 即(P-R)(t3 - t2)=R(t - t3)，得,在0，t時(shí)間內(nèi)所需費(fèi)用：,存儲(chǔ)費(fèi)：,將(8-16)式代入消去t 3，得,在0，t時(shí)間內(nèi)所需費(fèi)用：,缺貨費(fèi)： 將(8-15)式代入消去t 1，得,在0，t時(shí)間內(nèi)所需費(fèi)用：裝配費(fèi)：C3,在0,t時(shí)間內(nèi)總平均費(fèi)用為：,為了得到最佳公式，分別求偏導(dǎo)數(shù)：,推導(dǎo),由(8-18)式得 ，,由(8-17)式得,推導(dǎo)：將(8-19)式代入上式

17、消去t2得,由(8-19)有,公式,S0(最大存儲(chǔ)量),B0(最大缺貨量),最小費(fèi)用：,運(yùn)籌學(xué),第13章 存貯論第3節(jié) 隨機(jī)性存儲(chǔ)模型,第四節(jié) 隨機(jī)性存儲(chǔ)模型,隨機(jī)性存儲(chǔ)模型的重要特點(diǎn)是需求為隨機(jī)的，其概率或分布為已知。在這種情況下，前面所介紹過(guò)的模型已經(jīng)不能適用了。例如商店對(duì)某種商品進(jìn)貨500件，這500件商品可能在一個(gè)月內(nèi)售完，也有可能在兩個(gè)月之后還有剩余。商店如果想既不因缺貨而失去銷售機(jī)會(huì)，又不因滯銷而過(guò)多積壓資金，這時(shí)必須采用新的存儲(chǔ)策略,可供選擇的策略主要有三種,(1) 定期訂貨，但訂貨數(shù)量需要根據(jù)上一個(gè)周期末剩下貨物的數(shù)量決定訂貨量。剩下的數(shù)量少，可以多訂貨。剩下的數(shù)量多，可以少訂

18、或不訂貨。這種策略可稱為定期訂貨法。 (2) 定點(diǎn)訂貨，存儲(chǔ)降到某一確定的數(shù)量時(shí)即訂貨，不再考慮間隔的時(shí)間。這一數(shù)量值稱為訂貨點(diǎn)，每次訂貨的數(shù)量不變，這種策略可稱之為定點(diǎn)訂貨法。 (3) 把定期訂貨與定點(diǎn)訂貨綜合起來(lái)的方法，隔一定時(shí)間檢查一次存儲(chǔ)，如果存儲(chǔ)數(shù)量高于一個(gè)數(shù)值s，則不訂貨。小于s時(shí)則訂貨補(bǔ)充存儲(chǔ)，訂貨量要使存儲(chǔ)量達(dá)到S，這種策略可以簡(jiǎn)稱為(s,S)存儲(chǔ)策略。,與確定性模型不同的特點(diǎn)還有：,不允許缺貨的條件只能從概率的意義方面理解，如不缺貨的概率為0.9等。存儲(chǔ)策略的優(yōu)劣通常以贏利的期望值的大小作為衡量的標(biāo)準(zhǔn)。 為了講清楚隨機(jī)性存儲(chǔ)問(wèn)題的解法，先通過(guò)一個(gè)例題介紹求解的思路。,例8-6

19、,某商店擬在新年期間出售一批日歷畫片，每售出一千張可贏利700元。如果在新年期間不能售出，必須削價(jià)處理，作為畫片出售。由于削價(jià)，一定可以售完，此時(shí)每千張賠損400元。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，市場(chǎng)需求的概率見表8-1。 每年只能訂貨一次，問(wèn)應(yīng)訂購(gòu)日歷畫片幾千張才能使獲利的期望值最大?,解 如果該店訂貨4千張，我們計(jì)算獲利的可能數(shù)值,訂購(gòu)量為4千張時(shí)獲利的期望值：,EC(4)=(-1600)0.05 +(-500)0.10+6000.25 +17000.35+28000.15 +28000.10 =1315(元),上述計(jì)算法及結(jié)果列于表8-2獲利期望值最大者標(biāo)有(*)記號(hào)，為1440元?？芍摰暧嗁?gòu)300

20、0張日歷畫片可使獲利期望值最大。,從相反的角度考慮求解,當(dāng)訂貨量為Q時(shí)，可能發(fā)生滯銷賠損(供過(guò)于求的情況)，也可能發(fā)生因缺貨而失去銷售機(jī)會(huì)的損失(求過(guò)于供的情況)。把這兩種損失合起來(lái)考慮，取損失期望值最小者所對(duì)應(yīng)的Q值。,訂購(gòu)量為2千張時(shí)，損失的可能值：,當(dāng)訂貨量為2千張時(shí)，缺貨和滯銷兩種損失之和的期望值,EC(2)=(-800)0.05 + (-400)0.10+00.25 +(-700)0.35+(-1400)0.15 +(-2100)0.10 = 745(元) 按此算法列出表8-3。,表8-3,比較表中期望值以-485最大，即485為損失最小值。 該店訂購(gòu)3000張日歷畫片可使損失的期望

21、值最小。 這結(jié)論與前邊得出的結(jié)論一樣，都是訂購(gòu)3000張。 這說(shuō)明對(duì)同一問(wèn)題可從兩個(gè)不同的角度去考慮： 一是考慮獲利最多，一是考慮損失最小。 這是一個(gè)問(wèn)題的不同表示形式。,模型五：需求是隨機(jī)離散的,報(bào)童問(wèn)題：報(bào)童每日售報(bào)數(shù)量是一個(gè)隨機(jī)變量。報(bào)童每售出一份報(bào)紙賺k元。如報(bào)紙未能售出，每份賠h元。每日售出報(bào)紙份數(shù)r的概率P(r)根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)是已知的，問(wèn)報(bào)童每日最好準(zhǔn)備多少份報(bào)紙? 這個(gè)問(wèn)題是報(bào)童每日?qǐng)?bào)紙的訂貨量Q為何值時(shí)，賺錢的期望值最大?反言之，如何適當(dāng)?shù)剡x擇Q值，使因不能售出報(bào)紙的損失及因缺貨失去銷售機(jī)會(huì)的損失，兩者期望值之和最小?，F(xiàn)在用計(jì)算損失期望值最小的辦法求解。,解 設(shè)售出報(bào)紙數(shù)量為r

22、，其概率P(r)為已知,設(shè) 報(bào)童訂購(gòu)報(bào)紙數(shù)量為Q。 供過(guò)于求時(shí)(rQ)，這時(shí)報(bào)紙因不能售出而承擔(dān)的損失，其期望值為： 供不應(yīng)求時(shí)(rQ)，這時(shí)因缺貨而少賺錢的損失，其期望值為：,綜合，兩種情況，當(dāng)訂貨量為Q時(shí)，損失的期望值為：,要從式中決定Q的值，使C(Q)最小。,由于報(bào)童訂購(gòu)報(bào)紙的份數(shù)只能取整數(shù)，r是離散變量，所以不能用求導(dǎo)數(shù)的方法求極值。為此設(shè)報(bào)童每日訂購(gòu)報(bào)紙份數(shù)最佳量為Q，其損失期望值應(yīng)有： C(Q)C(Q+1) C(Q)C(Q-1),從出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)有,由出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)有,報(bào)童應(yīng)準(zhǔn)備的報(bào)紙最佳數(shù)量Q應(yīng)按下列不等式確定：,從贏利最大來(lái)考慮報(bào)童應(yīng)準(zhǔn)備的報(bào)紙數(shù)量。 設(shè)報(bào)童訂購(gòu)報(bào)紙數(shù)量為Q，獲利的

23、期望值為C(Q)， 其余符號(hào)和前面推導(dǎo)時(shí)表示的意義相同。,此時(shí)贏利的期望值為：,當(dāng)需求rQ時(shí)，報(bào)童因?yàn)橹挥蠶份報(bào)紙可供銷售，贏利的期望值為 無(wú)滯銷損失。,由以上分析知贏利的期望值：,為使訂購(gòu)Q贏利的期望值最大，應(yīng)滿足下列關(guān)系式： C(Q+1)C(Q) C(Q-1)C(Q),從式推導(dǎo)，,經(jīng)化簡(jiǎn)后得,同理從推導(dǎo)出,用以下不等式確定Q的值， 這一公式與(8-25)式完全相同。,現(xiàn)利用公式(8-25)解例7的問(wèn)題。,已知：k=7, h=4, P(0)=0.05， P(1)=0.10，P(2)=0.25，P(3)=0.35,知該店應(yīng)訂購(gòu)日歷畫片3千張。,例8-7,某店擬出售甲商品，每單位甲商品成本50元

24、，售價(jià)70元。如不能售出必須減價(jià)為40元，減價(jià)后一定可以售出。已知售貨量r的概率服從泊松分布 (為平均售出數(shù)) 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，平均售出數(shù)為6單位（ =6），問(wèn)該店訂購(gòu)量應(yīng)為若干單位?,解 該店的缺貨損失，每單位商品為70-50=20。滯銷損失，每單位商品50-40=10，利用(15-13)式，其中k=20，h=10,因,故訂貨量應(yīng)為：7單位， 此時(shí)損失的期望值最小。,例8-8 上題中如缺貨損失為10元，滯銷損失為20元。在這種情況下該店訂貨量應(yīng)為若干?,解 利用(8-25)式，其中k=10,h=20,查統(tǒng)計(jì)表，找與0.3333相近的數(shù),F(4)0.3333F(5)，故訂貨量應(yīng)為甲商品5個(gè)單位。

25、,答 該店訂貨量為5個(gè)單位甲商品。 模型五只解決一次訂貨問(wèn)題，對(duì)報(bào)童問(wèn)題實(shí)際上每日訂貨策略問(wèn)題也應(yīng)認(rèn)為解決了。 但模型中有一個(gè)嚴(yán)格的約定，即兩次訂貨之間沒有聯(lián)系，都看作獨(dú)立的一次訂貨。 這種存儲(chǔ)策略也可稱之為定期定量訂貨。,模型六：需求是連續(xù)的隨機(jī)變量,設(shè) 貨物單位成本為K，貨物單位售價(jià)為P，單位存儲(chǔ)費(fèi)為C1，需求r是連續(xù)的隨機(jī)變量，密度函數(shù)為(r)，(r)dr表示隨機(jī)變量在r與r+dr之間的概率，其分布函數(shù) 生產(chǎn)或訂購(gòu)的數(shù)量為Q，問(wèn)如何確定Q的數(shù)值，使贏利的期望值最大?,解 首先我們來(lái)考慮當(dāng)訂購(gòu)數(shù)量為Q時(shí)，實(shí)際銷售量應(yīng)該是minr,Q。也就是當(dāng)需求為r而r小于Q時(shí)，實(shí)際銷售量為r；rQ時(shí)，實(shí)

26、際銷售量只能是Q,贏利的期望值：,記,為使贏利期望值極大化，有下列等式：,(8-26)式表明了贏利最大與損失極小所得出的Q值相同。 (8-27)式表明最大贏利期望值與損失極小期望值之和是常數(shù)。 從表8-2與表8-3中對(duì)應(yīng)著相同的Q，去掉8-3表中數(shù)據(jù)的負(fù)號(hào)后， 兩者期望值之和皆為19.25，稱為該問(wèn)題的平均盈利。,求贏利極大可以轉(zhuǎn)化為求EC(Q)(損失期望值)極小。,當(dāng)Q可以連續(xù)取值時(shí)，EC(Q)是Q的連續(xù)函數(shù)?？衫梦⒎址ㄇ笞钚?。,從此式中解出Q，記為Q*，Q*為EC(Q)的駐點(diǎn)。又因 知Q*為EC(Q)的極小值點(diǎn)，在本模型中也是最小值點(diǎn)。,令,若P-K0,顯然由于F(Q)0，等式不成立，此

27、時(shí)Q*取零值。即售價(jià)低于成本時(shí)，不需要訂貨(或生產(chǎn))。式中只考慮了失去銷售機(jī)會(huì)的損失，如果缺貨時(shí)要付出的費(fèi)用C2P時(shí)，應(yīng)有,按上述辦法推導(dǎo)得,模型五及模型六都是只解決一個(gè)階段的問(wèn)題。 從一般情況來(lái)考慮， 上一個(gè)階段未售出的貨物可以在第二階段繼續(xù)出售。 這時(shí)應(yīng)該如何制定存儲(chǔ)策略呢?,假設(shè) 上一階段未能售出的貨物數(shù)量為 I，作為本階段初的存儲(chǔ)，有,定期訂貨，訂貨量不定的存儲(chǔ)策略,模型七：(s,S)型存儲(chǔ)策略,1. 需求為連續(xù)的隨機(jī)變量 設(shè) 貨物的單位成本為K,單位存儲(chǔ)費(fèi)用為C1，每次訂購(gòu)費(fèi)為C2，需求r是連續(xù)的隨機(jī)變量 ，密度函數(shù)為， 分布函數(shù)， 期初存儲(chǔ)量為I，定貨量為Q，此時(shí)期初存儲(chǔ)達(dá)到S=I

28、+Q。問(wèn)如何確定Q的值，使損失的期望值最小 (贏利的期望值最大)?,本階段需訂貨費(fèi),本階段所需訂貨費(fèi)及存儲(chǔ)費(fèi)、缺貨費(fèi)期望值之和,Q可以連續(xù)取值，C(S)是S的連續(xù)函數(shù)。,本階段的存儲(chǔ)策略：,當(dāng)sS時(shí),不等式右端存儲(chǔ)費(fèi)用期望值大于左端存儲(chǔ)費(fèi)用期望值，右端缺貨費(fèi)用期望值小于左端缺貨費(fèi)用期望值；一增一減后仍然使不等式成立的可能性是存在的。 如有不止一個(gè)s的值使下列不等式成立， 則選其中最小者作為本模型(s,S)存儲(chǔ)策略的s。,相應(yīng)的存儲(chǔ)策略是：,每階段初期檢查存儲(chǔ)，當(dāng)庫(kù)存Is時(shí)，需訂貨，訂貨的數(shù)量為Q，Q=S-I。當(dāng)庫(kù)存Is時(shí)，本階段不訂貨。這種存儲(chǔ)策略是：定期訂貨但訂貨量不確定。訂貨數(shù)量的多少視期

29、末庫(kù)存I來(lái)決定訂貨量Q，Q=S-I。對(duì)于不易清點(diǎn)數(shù)量的存儲(chǔ)，人們常把存儲(chǔ)分兩堆存放，一堆的數(shù)量為s，其余的另放一堆。平時(shí)從另放的一堆中取用，當(dāng)動(dòng)用了數(shù)量為s的一堆時(shí)，期末即訂貨。如果未動(dòng)用s的一堆時(shí)，期末即可不訂貨，俗稱兩堆法。,例8-9 某市石油公司，下設(shè)幾個(gè)售油站。,石油存放在郊區(qū)大型油庫(kù)里，需要時(shí)用汽車將油送至各售油站。該公司希望確定一種補(bǔ)充存儲(chǔ)的策略，以確定應(yīng)儲(chǔ)存的油量。該公司經(jīng)營(yíng)石油品種較多，其中銷售量較多的一種是柴油。因之希望先確定柴油的存儲(chǔ)策略。,經(jīng)調(diào)查后知每月柴油出售量服從指數(shù)分布，平均銷售量每月為一百萬(wàn)升。其密度為：,柴油每升2元，不需訂購(gòu)費(fèi)。由于油庫(kù)歸該公司管轄，油池灌滿與

30、未灌滿時(shí)的管理費(fèi)用實(shí)際上沒有多少差別，故可以認(rèn)為存儲(chǔ)費(fèi)用為零。如缺貨就從鄰市調(diào)用，缺貨費(fèi)3元/升。求柴油的存儲(chǔ)策略。,解 根據(jù)條件知C1=0，C3=0，K=2，C2=3，計(jì)算臨界值。,利用(8-30)式,由觀察，它有唯一解s=S，,2需求是離散的隨機(jī)變量時(shí),本階段所需的各種費(fèi)用：,本階段所需的各種費(fèi)用：,本階段所需的各種費(fèi)用：,求解,(3) 求S的值使C(S)最小。因?yàn)?選出使C(Si )最小的S值，,由可推導(dǎo)出,因 即,由同理可推導(dǎo)出,綜合以上兩式，得到為確定Si的不等式,其中,綜合上面兩式，,例8-10,解 ：,下面對(duì)答案進(jìn)行驗(yàn)證,分別計(jì)算S為30，40，50所需訂貨費(fèi)及存儲(chǔ)費(fèi)期望值、缺貨

31、費(fèi)期望值三者之和。比較它們看是否當(dāng)S為40時(shí)最小(見表8-4)。,計(jì)算s的方法：考查不等式(8-32),分別將30，40代入(8-31),將30作為s值代入(8-31)式左端得 80030+1015(40-30)0.2+(50-30)0.4+(60-30)0.2 =40240 將40代入(8-31)式左端得 60+80040+40(40-30)0.2+1015(50-40)0.4+(60-40)0.2 =40260,解答,即左端數(shù)值為40240，右端數(shù)值為40260，不等式成立，30已是r的最小值故s=30。 例8-10 的存儲(chǔ)策略為 每個(gè)階段開始時(shí)檢查存儲(chǔ)量I，當(dāng)I30箱時(shí)不必補(bǔ)充存儲(chǔ)。當(dāng)I

32、30箱時(shí)補(bǔ)充存儲(chǔ)量達(dá)到40箱。,某機(jī)械廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每月都不定量地需要螺釘，歷史同期的每月需求量及其概率如表8-5所示。 每次訂貨費(fèi)為5000元；每千個(gè)螺釘一筐，每筐500元；每月每筐的保管費(fèi)用為10元，缺貨費(fèi)用為900元。試求訂貨點(diǎn)和目標(biāo)庫(kù)存水平；若原有庫(kù)存量 筐，則月初進(jìn)貨多少為宜？,例8-11,解：由題意知K=500，訂貨費(fèi)C3=5000，存儲(chǔ)費(fèi)C1=10元，缺貨費(fèi)C2=900元 計(jì)算臨界值 由于累計(jì)概率F(60)=0.4,F(70)=0.65,所以目標(biāo)庫(kù)存水平S=70筐。若原有庫(kù)存量I=30，則月初進(jìn)貨40筐。,下面計(jì)算訂貨點(diǎn)： 當(dāng)S=70時(shí)，由C(S)計(jì)算，得,當(dāng)S=30時(shí)，不訂貨

33、，計(jì)算總費(fèi)用,當(dāng)S=40時(shí)，不訂貨，計(jì)算總費(fèi)用,練習(xí)：某廠對(duì)原料需求量的概率為,P(r=80)=0.1，P(r=90)=0.2，P(r=100)=0.3 P(r=110)=0.3，P(r=120)=0.1 訂貨費(fèi)C3=2825元，K=850元 存儲(chǔ)費(fèi)C1=45元(在本階段的費(fèi)用) 缺貨費(fèi)C2=1250元(在本階段的費(fèi)用) 求該廠存儲(chǔ)策略。,：,求解,求解,答,該廠存儲(chǔ)策略每當(dāng)存儲(chǔ)I80時(shí)補(bǔ)充存儲(chǔ)，使存儲(chǔ)量達(dá)到100， 每當(dāng)存儲(chǔ)I80時(shí)不補(bǔ)充。,模型八：需求和備貨時(shí)間都是隨機(jī)離散的,(僅通過(guò)具體例題介紹求解法) 若t時(shí)間內(nèi)的需求量r是隨機(jī)的，其概率t(r)已知，單位時(shí)間內(nèi)的平均需求為也是已知的，

34、則t時(shí)間內(nèi)的平均需求為t。備貨時(shí)間x是隨機(jī)的，其概率P(x)已知。 設(shè) 單位貨物年存儲(chǔ)費(fèi)用為C1，每階段單位貨物缺貨費(fèi)用為C2，每次訂購(gòu)費(fèi)用為C3，年平均需求為D。由于需求、備貨時(shí)間都是隨機(jī)的，應(yīng)有緩沖(安全)存儲(chǔ)量B，以減少發(fā)生缺貨現(xiàn)象。 L：訂貨點(diǎn)，B：緩沖存儲(chǔ)量，x1,x2,備貨時(shí)間 (見圖8-10)。,圖8-10,問(wèn)如何確定緩沖存儲(chǔ)量B，訂貨點(diǎn)L，以及訂貨量Q0，使總費(fèi)用最小?,對(duì)這種類型問(wèn)題的解法,PL的計(jì)算很繁，簡(jiǎn)化計(jì)算,例8-12 (模型八)某廠生產(chǎn)中需用鋼材，t 時(shí)間內(nèi)需求的概率服從泊松分布：,年存儲(chǔ)費(fèi)用每噸為50元，每次訂購(gòu)費(fèi)用為1500元，缺貨費(fèi)用每噸為5000元，問(wèn)每年應(yīng)

35、分多少批次?又訂購(gòu)量Q，緩沖存儲(chǔ)量B，訂貨點(diǎn)L，各為何值才使費(fèi)用最少? 解： ,下面計(jì)算L及B，各步算出的數(shù)值列于表8-6。,續(xù) 表,續(xù) 表,根據(jù)表8-6算出PL、B和費(fèi)用的數(shù)值見表8-7。,說(shuō)明:, 備貨時(shí)間小于13，或大于18者，因?yàn)樗鼈兊母怕屎苄?，故略去?L的選值可以多一些，如保證可以選到最小值，L選值也可少一些。由表中可以看到當(dāng)L=25，B=10費(fèi)用588*為最小。據(jù)此即可確定存儲(chǔ)策略。,答 該廠定購(gòu)批量為146噸，定購(gòu)點(diǎn)為25噸，每年訂貨2.次(兩年訂貨5次)，緩沖存儲(chǔ)量為10噸。,當(dāng)清點(diǎn)存儲(chǔ)花費(fèi)勞動(dòng)多，或清點(diǎn)困難時(shí)，人們常把存儲(chǔ)物分成三堆存放。 以例13來(lái)說(shuō)，將緩沖存儲(chǔ)量B=10噸放一處，稱之為第三堆。將平均拖后時(shí)間內(nèi)的平均需求量DL=15噸放另一處稱第二堆。第三堆、 第二堆之和等于訂貨點(diǎn)25噸。 其余存儲(chǔ)另放一處稱第一堆。平日從第一堆取用，第一堆用完，動(dòng)用第二堆時(shí)，立即訂貨。動(dòng)用第三堆時(shí)，即需采取措施以防缺貨。,第五節(jié)* 存儲(chǔ)規(guī)劃的應(yīng)用,有些存儲(chǔ)問(wèn)題遠(yuǎn)較本章所述模型復(fù)雜，上述公式不能用來(lái)求解，也可以利用運(yùn)籌學(xué)的其他方法求解。如水庫(kù)儲(chǔ)水的