1、3.2 等差數(shù)列（第一課時(shí)）永州一中 徐映霞,一、由具體例子歸納等差數(shù)列的定義,看下面的數(shù)列： 4，5，6，7，8，9，10 ； 3，0，3，6，； 下面是全國統(tǒng)一鞋號(hào)中成年女鞋的各種尺碼（表示鞋長、單位是cm） 21，21 ，22，22 ，23，23 ，24，24 ，25 ; 一張?zhí)葑?從高到低每級(jí)的寬度依次為（單位cm） 40，50，60，70，80，90，100； 每級(jí)之間的高度相差分別為 40，40，40，40，40，40. ,從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)差都等于1,這就是說，這些數(shù)列具有這樣的共同特點(diǎn)： 從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一常數(shù)。,從第2項(xiàng)起， 每一項(xiàng)與前一項(xiàng)差都等

2、于3,從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)差都等于10,從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)差都等于0,問：這6個(gè)數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？,數(shù)學(xué)語言： anan1=d （d是常數(shù)，n2，nN*）,定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。 這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差，用字母d表示。,二、由定義歸納通項(xiàng)公式,a2 a1=d，,a3 a2=d，,a4 a3=d，,則 a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d,an1an2=d,an an1=d.,這（n1）個(gè)式子迭加,an a1= (n1)d,當(dāng)n=1時(shí)，上式兩邊均等于a1，即等式也成

3、立的。這表明當(dāng)nN*時(shí)上式都成立，因而它就是等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式。,等差數(shù)列的圖象1,（1）數(shù)列：-2，0，2，4，6，8，10，,等差數(shù)列的圖象2,（2）數(shù)列：7，4，1，-2，,等差數(shù)列的圖象3,（1）數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4，,三、鞏固通項(xiàng)公式,an=a1+(n1)d (nN*),（一）求通項(xiàng)an,若已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)a1和公差d，即可求出an 例如：a1=1, d=2, 則,an=1+(n1)2=2n1,已知等差數(shù)列8，5，2，求 an及a20(第20項(xiàng))。,解： a1=8, d=58=3,a20=49,an=8+(n1)(3)=3n+11,練習(xí)：已知等差數(shù)列3，7，11

4、， 則 an=_ a4=_ a10=_,an=a1+(n1)d (nN*),4n-1,15,39,(二)求首項(xiàng)a1,例如 ：已知a20=49, d=3 則，,由a20=a1+(201)(3),得a1=8,練習(xí)：a4=15 d=3 則a1=_,6,an=a1+(n1)d (nN*),(三)求項(xiàng)數(shù)n,例如： 已知等差數(shù)列8，5，2問49是第幾項(xiàng)?,解 ：a1=8, d=3,則 an=8+(n1)(3),49=8+(n1)(3),得 n=20。,an=a1+(n1)d (nN*),問400是不是等差數(shù)列5，9，13， 的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？,解：a1=5,d=4 an=5+(n1)(4),則,由題

5、意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n， 使得 401=5+(n1)(4)成立,所以400不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng),an=a1+(n1)d (nN*),解2：這些三位數(shù)為100，101，102，999可組成首 項(xiàng)a1=100，公差d=1，末項(xiàng)為an=999的等差數(shù)列。 由 an=a1+(n1)1得999=100+（n1）1 n=999100+1=900,練習(xí)：10 100是不是等差數(shù)列2，9，16，的項(xiàng)？如果 是，是第幾項(xiàng)？ 如果不是，說明理由. 20 在正整數(shù)集合中，有多少個(gè)三位數(shù)？ 30 在三位正整數(shù)集合中有多少個(gè)是7的倍數(shù)？,第15項(xiàng),an=a1+(n1)d (nN*),(四)求公差d,例如 一張?zhí)?/p>

6、子最高一級(jí)寬33cm，最低一級(jí)寬110cm,中 間還有 10級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列。求公差d及中間各級(jí)的寬度。,分析：用an表示梯子自上而下各級(jí)寬度所成的等差數(shù)列。,由題意知 a1=33, a12=110, n=12 由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7,從而可求出 a2=33+7=40 a3=40+7=47 a4=54。,總結(jié)：在 an=a1+(n1)d nN* 中，有an,a1,n,d 四個(gè)量,已知其中任意3個(gè)量即可求出第四個(gè)量。,那么如果已知一個(gè)等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)，能否求出an呢？,an=a1+(n1)d (nN*),（五）小綜合,在等差數(shù)列an

7、中已知a5=10, a12=31, 求a1、d及an,an=2+(n1)3=3n5,知識(shí)延伸：,由定義，可知： a6=a5+d a7=a6+d=a5+2d=a5+(75)d a8=a7+d=a5+3d=a5+(85)d a12=a5+(125)d,猜想：任意兩項(xiàng)an和am之間的 關(guān)系：,an=am+(nm)d,證明：am=a1+(m1)d an=a1+(m1)d+(nm)d =a1+(n1)d,本題也可以這樣處理： 由a12=a5+(125)d 得 31=10+7d d=3 又 a5=a1+4d a1=2,練習(xí)：等差數(shù)列an中, 已知 a3=9, 且 a9=3, 則 a12=_,課后思考： 能

8、否對(duì)上面的結(jié)論進(jìn)行推廣： 若ap=q 且aq=p (pq) 則ap+q= 0 ?,0,四、能力培養(yǎng)： 兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，和3，7，11，都有100項(xiàng)， 求：這兩個(gè)數(shù)列相同項(xiàng)的個(gè)數(shù),解法一：已知兩個(gè)等差數(shù)列 an: 5，8，11，公差為3 bn: 3，7，11，公差為4 通項(xiàng)公式分別是an=5+(n1)3=3n+2 bn=3+(n1)4=4n1,假設(shè)an的第n項(xiàng)與bn的第k項(xiàng)相同，即 an=bk 則 3n+2=4k1 n=k1 nN* k必是3的倍數(shù) k=3,6, 9, 12,， 組成新的等差數(shù)列cn 而相應(yīng)的 n=3,7,11,15,， 組成新的等差數(shù)列dn 即 a3=b3, a7=b6, a11=b9, a15=b12，,解法二：已知兩個(gè)等差數(shù)列an：5，8，11， 和bn：3, 7, 11, 則 通項(xiàng)公式分別是an=5+(n1)3 bn=3+(n1)4,觀察： 5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41， 3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，,因此，這兩個(gè)數(shù)列相同項(xiàng)