1、房山區(qū)房山區(qū) 20132013 年高考第一次模擬試卷年高考第一次模擬試卷 數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) （文科） 2013.04 本試卷共 4 頁，150 分?？荚嚂r(shí)間長120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié) 束后，將答題卡交回。 一、選擇題：本大題共一、選擇題：本大題共 8 8 小題小題, ,每小題每小題 5 5 分分, ,共共 4040 分分. .在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中, ,選出符合題目要求的一項(xiàng)選出符合題目要求的一項(xiàng). . 1.已知全集U R R，集合 M x| x(x3)0，則CR RM A. 0,3 B. (0,3) C. (,3 D. (,0) U

2、 (3,) 開始 2.已知a n 為等差數(shù)列，S n 為其前n項(xiàng)和.若a 1 + a 9 = 18,a 4 = 7，則S 10 = S 0, n 1 A. 55 B.81 C.90 D.100 S S n 3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸出S 15， 則框圖中 n2n 處可以填入 A.n 4 B.n 8 否 C.n 16 是 D.n16 輸出S 4.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5 次，兩人成績的統(tǒng)計(jì)表如下表所示，則 環(huán)數(shù) 頻數(shù) 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 環(huán)數(shù) 頻數(shù) 5 3 6 1 9 1 結(jié)束 甲乙 A.甲成績的平均數(shù)小于乙成績的平均數(shù) B. 甲成績的中位數(shù)等于乙成績的中位數(shù)

3、C.甲成績的方差小于乙成績的方差 D. 甲成績的極差小于乙成績的極差 2f (x) x 2x m 存在零點(diǎn)”的 m 2 5. “”是“函數(shù) A. 充分但不必要條件 B. 必要但不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 uuu ruuu ruuu r uuu r 6.在正三角形ABC中，AB3，D是BC上一點(diǎn)，且BC 3BD，則AB AD 159 A. 2 B. 2 C. 9 D.6 7.某三棱椎的三視圖如圖所示，該三棱錐 的四個(gè)面的面積中，最大的是 A.4 3 B.8 C.4 7 D.8 3 8. 設(shè) 集 合M是R R的 子 集 ， 如 果 點(diǎn)x 0 R R滿 足 ： a 0,x

4、M,0 x x0 a，稱x 0 為 集合M的聚點(diǎn).則下列集合中以0為聚點(diǎn)的有： n2 |nN N；x| xR R,x 0； |nN N*；Z Z n1n A. B. C. D. 二、填空題二、填空題: :本大題共本大題共 6 6 小題小題, ,每小題每小題 5 5 分分, ,共共 3030 分分. . 2i 9. 復(fù)數(shù) . 1i 10.在ABC 中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，A,a 2,c 2,則角C的大小為 . 4 11.直線x y 2 0與圓x2 y22x 1相交于A,B兩點(diǎn)，則線段AB的長等于 . x y 50, 12.若不等式組y kx5,表示的平面區(qū)域是一個(gè)銳角三角形，則

5、k的取值范是 . 0 x 2 13.某商品在最近100天內(nèi)的單價(jià)f (t)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是 t 22(0 t 40,tN N) 4 f (t) t 52(40 t 100,tN N) 2 日銷售量g(t)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是g(t) 的日銷售額的最大值為 . 14.已知函數(shù)f (x)的定義域是 D，若對于任意x 1,x2 D，當(dāng)x 1 x 2 時(shí)，都有f (x 1) f (x2 )， 則稱函數(shù)f (x)在 D 上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)f (x)在0,1上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè) 條件：f (0) 0；f ( ) t109 (0t 100,tN N).則這種商品 33 x 5 14 f (x)

6、；f (1 x) 1 f (x).則f ( ) ， 1 . 25 f () 12 三、解答題三、解答題: : 本大題共本大題共 6 6 小題小題, ,共共 8080 分分. .解答應(yīng)寫出文字說明解答應(yīng)寫出文字說明, , 演算步驟或證明過程演算步驟或證明過程. . 15.(本小題滿分 13 分) 已知函數(shù)f (x) 2cos2x 2 3sin xcosx 1 （）求函數(shù)f (x)的最小正周期； （）求函數(shù)f (x)在區(qū)間0, 上的最小值和最大值 16. （本小題滿分 14 分） 在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC/AD， P 2 ADC 90，BC CD 1 AD，PA PD，

7、E,F為AD,PC 2 D E F 的中點(diǎn) （）求證：PA/平面 BEF； （）求證：AD PB 17. （本小題滿分 13 分） A C B PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組 織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米:75微克/ 立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo) 某城市環(huán)保局從該市市區(qū)2012年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)的抽取6天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如 莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉） () 若從這6天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出2天，求至多有一

8、天空氣質(zhì)量超 標(biāo)的概率； ()根據(jù)這6天的PM2.5日均值來估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況， 則一年 （按365天計(jì)算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級？ 18. (本小題滿分 13 分) PM2.5日均值(微克/立方米) 3 33 3 4 48 8 7 79 9 9 97 7 1 1 3 3 1 2 1 x alnx(aR R,a 0) . 22 （）當(dāng)a 2時(shí)，求曲線y f (x)在點(diǎn)(1,f (1)處的切線方程； （）求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間； 已知函數(shù)f (x) （）若對任意的x1,)，都有f (x) 0成立，求 a 的取值范圍. 19. (本小題滿分 14 分) x2y2 已知橢圓C

9、 :1和點(diǎn)P(4,0)，垂直于x軸的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，連結(jié)PB交橢圓C于另一 43 點(diǎn)E. （）求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率； （）證明直線AE與x軸相交于定點(diǎn). 20.（本小題滿分 13 分） 對于實(shí)數(shù)x，將滿足“0 y 1且x y為整數(shù)”的實(shí)數(shù)y稱為實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分，用記號 x 表示例如 1.2 0.2, 1.2 0.8, 1 a 1 a，a n1 a n 0 （）若a 81 .對于實(shí)數(shù)a，無窮數(shù)列a n滿足如下條件：77 a n 0, 其中n 1,2,3, L . a n 0, 3 ，求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式； 11 1 （）當(dāng)a 時(shí)，對任意的nN N* *，都有a n a，求符合

10、要求的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合A； 2 p （）設(shè)a （p是正整數(shù)，p與2013互質(zhì)） ，對于大于2013的任意正整數(shù)n，是否都有an 0成 2013 立，證明你的結(jié)論 房山區(qū)高三年級第一次模擬考試參考答案房山區(qū)高三年級第一次模擬考試參考答案 數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) （文科） 2013.04 一、選擇題：本大題共一、選擇題：本大題共 8 8 小題小題, ,每小題每小題 5 5 分分, ,共共 4040 分分. . 1 1、A 2A 2、D 3D 3、B 4B 4、C 5C 5、B 6B 6、A 7A 7、C 8C 8、A A 二、填空題二、填空題: :本大題共本大題共 6 6 小題小題, ,每小題每小題 5 5 分

11、分, ,共共 3030 分分. . 9. 1i ； 10. 或30， 11. 6 6 12. (1,0) 13. 808.5；14., 2 4 ； 1 1 三、解答題三、解答題: : 本大題共本大題共 6 6 小題小題, ,共共 8080 分分. . 15、 （本小題滿分 13 分） 2 （） f (x) 2cos x 2 3sin xcos x 1 cos2x 3sin 2x 4 分 2(cos2x 周期為T 1 2 3 sin 2x) 2sin(2x ) 6 分 26 2 .7 分 2 7 （）0 x 2x 9 分 2666 ) 1此時(shí)f (x) max 2 11 分 26 71 當(dāng)2x

12、時(shí)，sin(2x ) 此時(shí)f (x)min 113 分 6662 當(dāng)2x 6 時(shí)，sin(2x 16、 （本小題滿分 14 分） （）證明：連接 AC 交 BE 于 O，并連接 EC,FO 1 BC /AD,BC AD,E為AD中點(diǎn) 2 AE/BC,且 AE=BC四邊形 ABCE 為平行四邊形 1 分 O 為 AC 中點(diǎn).2 分 又F 為 AD 中點(diǎn)OF/PA.4 分 OF 平面BEF,PA 平面BEF .5 分 PA/平面BEF .7 分 （）連接PE P F D E O B C A Q PA PD,E為AD中點(diǎn)AD PE.8 分 1 Q BC/ AD,BCAD,E為AD中點(diǎn)BCDE為平行四

13、邊形BE/ CD 2 Q AD CDAD BE .9 分 PEBE EAD 平面PBE .12 分 Q PB 平面PBEAD PB .14 分 17、 （本小題滿分 13 分） 解：由莖葉圖可知：6 天有 4 天空氣質(zhì)量未超標(biāo)，有2 天空氣質(zhì)量超標(biāo)2 分 記未超標(biāo)的 4 天為w 1,w2 ,w 3,w4 ，超標(biāo)的兩天為c 1,c2 ，則從 6 天抽取 2 天的所有情況為： w 1w2 ,w 1w3 ,w 1w4 ,w 1c1,w1c2 ,w 2w3 ,w 2w4 ,w 2c1,w2c2 ,w 3w4 ,w 3c1,w3c2 ,w 4c1,w4c2 ,c 1c2 ， 基本事件總數(shù)為 154 分

14、（）記“至多有一天空氣質(zhì)量超標(biāo)”為事件A，則“兩天都超標(biāo)”為事件A， 1114 ，所以P(A) 1P(A) 19 分 151515 42 （）6天中空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級的頻率為11 分 63 21 365 243 ， 33 1 所以估計(jì)一年中平均有243天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級. 13 分 3 易得P(A) （說明：答 243 天，244 天不扣分） 18、 （本小題滿分 13 分） （）a 2時(shí)，f (x) f (x) x 1 2 1 x 2ln x, 22 f (1) 0 1 分 2 分 2 , x f (1) 1 曲線y f (x)在點(diǎn)(1,f (1)處的切線方程x y 1 03 分

15、 ax2a （）f (x) x xx (x 0) 4 分 x2a 0恒成立，函數(shù)f (x)的遞增區(qū)間為0, 當(dāng)a 0時(shí)， f (x) x 6 分 當(dāng)a 0時(shí)，令f (x) 0，解得x x ( 0, 減 a或x a a ) a ( ( a,) ,1) + 增 f(x)- f(x) 所以函數(shù)f (x)的遞增區(qū)間為 a, ，遞減區(qū)間為(0,a) 8 分 （）對任意的x1,)，使f (x) 0成立，只需任意的x1,)，f (x)min 0 當(dāng)a 0時(shí)，f (x)在1,+)上是增函數(shù)， 所以只需f (1) 0 而f (1) 11 aln1 0 22 所以a 0滿足題意； 9 分 當(dāng)0a 1時(shí)，0 所以只

16、需f (1) 0 a 1，f (x)在1,+)上是增函數(shù)， 11 aln1 0 22 所以0a 1滿足題意；10 分 而f (1) 當(dāng)a 1時(shí)， a 1，f (x)在1, a上是減函數(shù)， a,+)上是增函數(shù)， 所以只需f ( a) 0即可 而f ( a) f (1) 0 從而a 1不滿足題意； 12 分 綜合實(shí)數(shù)a的取值范圍為(,0) U (0,113 分 19、 （本小題滿分 14 分） （）由題意知： a =4, 2b2=3, 所以c2=a2b2=1 ；離心率e=所以，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0) c1 = 4 分 a2 （）由題意知：直線PB 的斜率存在，設(shè)直線PB 的方程為y=k(x4) 5

17、分 B(x 1, y 1) ，E(x2, y 2 ) ，則A(x 1, y 1) ， 由 y k(x4) 2222 得(3+4k )x 32k x64k 12 0 22 3x 4y 12 32k264k212 ,x 1x2 = 則x 1 +x 2 = (1) 8 分 3+4k23+4k2 y 2 +y 1(x x 2 )，令y=0，得x=x 2 y 2 (x 2 x 1) (2) 10 分 x 2 x 1 y 1+y2 2x 1x2 4(x 1 +x 2 ) (3) x 1 +x 2 8 直線 AE 的方程為y y2= 又y1=k(x 1 4) ，y2=k(x24)代入(2)式，得x= 把(1

18、)代入(3)式，整理得x=1，所以直線 AE 與x軸相交于定點(diǎn)(1,0).14 分 20、 （本小題滿分 13 分） （）a1 1112131133 ，a 3 ，a 4 2 0，a 2 a 1 33a 2 22a 3 1111 321 ,a 2 ,a 3 ,a n 0(n 4)4 分 1132 111 （）Q a1 a a，a 則 a 1，從而1 2 22a 所以a 1 則a 2 111 1 a所以a2 a 1 0 a 1 aa 解得：a 15 1 15 ,1，舍去）.6 分,（a 22 2 5 2 1 所以集合Aa .7 分 （）結(jié)論成立.8 分 易知a是有理數(shù)，所以對一切正整數(shù)n，a n 為 0 或正有理數(shù)， 設(shè)an 由a1 p n （pn是非負(fù)整數(shù)，q n 是正整數(shù)，且pn,qn互質(zhì)） q n pp 1 ，可得0 p1 2013；9 分 2013q 1 若 p n 0，設(shè)q n p n （0 p n ， ,是非負(fù)整數(shù)） 則 q n p n 1q n ，而由an 得 a n