1、命題及其關系,1.1.3 四種命題的相互關系,目標： （1）會分析四種命題的相互關系； （2）初步了解反證法的證明步驟。,回顧,交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是_ 同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是_ 交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題是_,逆命題。,否命題。,逆否命題。,原命題,逆命題,否命題,逆否命題,四種命題形式: 原命題: 逆命題: 否命題: 逆否命題:,若 p, 則 q 若 q, 則 p 若p, 則q 若q, 則p,互 逆,互 逆,互 否,互 否,互為 逆否,互為 逆否,四種命題之間的相互關系,逆命題:角的平分線上的點,到這個角的 兩邊距離相等. 否命題:到一

2、個角的兩邊距離不相等的點, 都不在這個角的平分線上.逆否命題:不在這個角的平分線上的點,到這 個角的兩邊距離不相等.,(1)到一個角的兩邊距離相等的點,都在 這個角的平分線上.,原命題 (真) 逆命題 (真) 否命題 (真) 逆否命題 (真),.,逆命題:兩個三角形的面積相等,則它們?nèi)? 否命題:兩個三角形不全等,則它們的面積不 相等. 逆否命題:兩個三角形的面積不相等,則它們 不全等.,(2)兩個三角形全等,則它們的面積相等.,原命題 (真) 逆命題 (假) 否命題 (假) 逆否命題 (真),逆命題: 對頂角相等. 否命題: 不相等的角不是對頂角. 逆否命題: 不是對頂角就不相等.,(3)

3、相等的角是對頂角,原命題 (假) 逆命題 (真) 否命題 (真) 逆否命題 (假),逆命題: 凡奇數(shù)都是質(zhì)數(shù). 否命題: 不是質(zhì)數(shù)就不是奇數(shù). 逆否命題: 不是奇數(shù)就不是質(zhì)數(shù).,(4)凡質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).,原命題 (假) 逆命題 (假) 否命題 (假) 逆否命題 (假),四種命題的真值表：,小結(jié)： 1、兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； 2、兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系。,例 證明：若p2q22，則pq2.,分析：將“若p2q22，則pq2”看成原命題。由于原命題和它的逆否命題具有相同的真假性，要證原命題為真命題，可以證明它的逆否命題為真命題。,反證法：,要證明某一結(jié)

4、論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯誤的，從而斷定A是正確的。 即反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導出矛盾來達到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學證明方法。,反證法的步驟：,假設命題的結(jié)論不成立，即假設結(jié)論的反面成立。 從這個假設出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾。 由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。,練習：p9,可能出現(xiàn)矛盾四種情況：,與題設矛盾； 與反設矛盾； 與公理、定理矛盾； 在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論。,練 用反證法證明：,圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。,已知：如圖，在O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直徑. 求證：弦AB、CD不被P平分.,反證法的步驟： (1)假設命題的結(jié)論不成立，即假設結(jié)論的反面成立 (2)從這個假設出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾 (3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確,若a2能被2整除，a是整數(shù)，求證：a也能被2整除.,證：假設a不能被2整除，則a必為奇數(shù)， 故可令a=2m+1(m為整數(shù)), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+