1、一元二次方程 根與系數(shù)的關(guān)系,21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系,通?？谝恢?楊克權(quán),學(xué)習(xí)目標：,1.通過觀察，歸納，猜想根與系數(shù)的關(guān)系，并證明成立，使學(xué)生理解其理論依據(jù)；,2.使學(xué)生會用根與系數(shù)關(guān)系解決有關(guān)問題；,3.培養(yǎng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神。,學(xué)習(xí)重難點：,重點：根與系數(shù)的關(guān)系及推導(dǎo),難點：正確理解根與系數(shù)的關(guān)系。,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的的解的情況怎樣確定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,探究活動：,探究1：完成下列表格,問題：,觀察兩根之和與兩根之積與方程的系數(shù)， 你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？,用語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,兩根之和等于一次項系

2、數(shù)的相反數(shù)； 兩根之積等于常數(shù)項,3,5,6,2,-5,-3,-10, 將（x-x1)(x-x2)=0化為一般式 為：,與x2+px+q=0對比，得出： p=_; q=_.,x1x2,-(x1+x2),x2-(x1+x2)x+x1x2=0,探究2：完成下列表格,設(shè) x1 、 x2是下列一元二次方程的兩個根，填寫下表,猜想：,根據(jù)所填寫的表格，請你猜想出x1 + x2 ， x1 x2與 方 程 的系數(shù)有什么關(guān)系嗎？,問題：探究1發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？,-1,1,用語言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：,ax2+bx+c=0的兩根是x1,x2.用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律： x1+x2=_,x1x2=_.,兩根之和等于

3、一次項系數(shù)與二次項系數(shù)比的相反數(shù)。兩根之積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比,證明你們的猜想,已知：如果一元二次方程 的兩個根分別是 、 。,求證：,已知：如果一元二次方程 的兩個根分別是 、 。,已知：如果一元二次方程 的兩個根分別是 、 。,已知：如果一元二次方程 的兩個根分別是 、 。,已知：如果一元二次方程 的兩個根分別是 、 。,已知：如果一元二次方程 的兩個根分別是 、 。,已知：如果一元二次方程 的兩個根分別是 、 。,已知：如果一元二次方程 的兩個根分別是 、 。,已知：如果一元二次方程 的兩個根分別是 、 。,求證：,已知：如果一元二次方程 的兩個根分別是 、 。,求證：,已知：如果

4、一元二次方程 的兩個根分別是 、 。,證明：,如果一元二次方程 的兩個根分別是 、 ，那么：,這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也叫韋達定理。,歸納：,注意：根與系數(shù)的關(guān)系使用的前提條件是：必須是一元二次方程；根的判別式0.,韋達（15401603）是法國數(shù)學(xué)家,最早發(fā)現(xiàn)代數(shù) 方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，因此，人們把這個關(guān)系 稱為韋達定理。韋達最重要的貢獻是對代數(shù)的推進，他 最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號，推進了方程論的發(fā)展。韋達用 “分析”這個詞來概括當(dāng)時代數(shù)的內(nèi)容和方法。他創(chuàng)設(shè)了大 量的代數(shù)符號，用字母代替未知數(shù)，系統(tǒng)闡述并改良了三、 四次方程的解法，著有分析方法入門、論方程的識 別與訂正等多部

5、著作。,典型訓(xùn)練：,例1：不解方程，求出方程的兩根之和與兩根之積（直接口答）,x2+3x-1=0 x2+6x+2=0 3x2-4x+1=0 4x2-2x-7=0,x1+x2= -3,x1x2= -1,x1+x2= -6,x1x2= 2,例2 已知關(guān)于x的方程 x2+mx-3=0的一個根是-1，求m的值及方程的另一個根。,方法1 解：把x=-1代入方程得：1-m-3=0 m=-2.方程為x2-2x-3=0 (x-3)(x+1)=0 x1=3 x2= -1 m的值為-2，另一個根為3.,方法2 設(shè)另一根為x1,由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+(-1)=-m x1(-1)=-3 x1=3 m=-2,例3：

6、關(guān)于x的方程kx2+(k+2)x+ =0有兩個不相等的實數(shù)根。 求k的取值范圍； 是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由。,解：由題意得：=b2-4ac=(k+2)2-4k 0 k-1,假設(shè)存在這樣的實數(shù)滿足條件，設(shè)方程的兩個根為x1,x2.則,k=-2,又k-1,不存在。,鞏固訓(xùn)練:,1.如果一元二次方程x2-5x-7=0的兩個根為，.則+的值為_.,2.設(shè)x1,x2是方程2x2-6x+3=0的兩個根，則x12+x22的值為_.,3.一元二次方程x2-x-3=0的兩個根為x1，x2.則 _.,5,6,4.若x1,x2是方程x2-2x-1=0的

7、兩個根，則(x1+1)(x2+1)的值為_.,5.已知x1,x2是方程2x2-7x+4=0的兩個根，則(x1- x2)2_=_.,6.已知一元二次方程x2 +2x-8=0的一個根是2，則另一個根是_.,2,- 4,7.方程x2-(m+1)x+2m-1=0,當(dāng)m=_時，此方程兩個根互為相反數(shù)；當(dāng)m=_時，兩根互為倒數(shù).,-1,1,8.【2015.鄂州中考】關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有兩個不相等的實數(shù)根. 求實數(shù)k的取值范圍； 若方程兩實根為x1,x2.滿足 求k的值。,解：由題意得：=b2-4ac=(2k+1)2-4(k2+1) 0 k,(2),2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時，首先要把已知方程