1、拉普拉斯方程的格林函數(shù)法,4.1 拉普拉斯方程邊值問(wèn)題的提法,設(shè) 滿足拉普拉斯方程,描述穩(wěn)恒狀態(tài)下的物理過(guò)程。 通常表示成 不存在初始條件.,拉普拉斯方程的解稱為調(diào)和函數(shù),1） 第一邊值問(wèn)題,狄利克雷(Direchlet)問(wèn)題,邊界條件:,2)第二邊值問(wèn)題,紐曼(Neumann)問(wèn)題,4.2 格 林 公 式,高斯公式：設(shè) 是以光滑曲面 為邊界的有界區(qū)域， ， ， 在閉域 上連 續(xù),在 內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則,其中 為 的外法向量。,高斯公式可簡(jiǎn)記為,令,則,等式左端,所以,第一格林公式,交換 的位置, 有,兩式相減, 得,第二格林公式,1) 牛曼內(nèi)問(wèn)題有解的必要條件 設(shè) 是在以 為邊界的區(qū)域

2、內(nèi)的調(diào)和函數(shù), 在 上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則在第二格林公式中取 為上述調(diào)和函數(shù), , 則有 . 所以牛曼內(nèi)問(wèn)題( )有解的必要條件為函數(shù) 滿足,事實(shí)上, 這也是牛曼內(nèi)問(wèn)題有解的充分條件.,2) 拉普拉斯方程解的唯一性問(wèn)題 設(shè) 是定解問(wèn)題的兩個(gè)解，則它們的差 必是原問(wèn)題滿足零邊界條件的解。對(duì)于狄利克雷問(wèn)題， 滿足,對(duì)于牛曼問(wèn)題, 滿足,在第一格林公式中取 , 由 是調(diào)和函數(shù)，可得,在兩個(gè)邊界條件下，都有,所以,故在 內(nèi)必有 , 即,可得,，其中 為常數(shù).,對(duì)于狄利克雷問(wèn)題, 由于 , 故 從而 .,結(jié)論 狄利克雷問(wèn)題在 內(nèi)的解是唯一確定的, 牛曼問(wèn)題的解在相差一個(gè)常數(shù)下也 是唯一確定的.,3)

3、調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式,所謂調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式, 是指用調(diào)和函數(shù)及其在區(qū)域邊界 上的法向?qū)?shù)沿 的積分來(lái)表達(dá)調(diào)和函數(shù)在 內(nèi)任一點(diǎn)的值.,設(shè) 是 內(nèi)一固定點(diǎn), 下面求調(diào)和函數(shù)在這一點(diǎn)的值.,為此構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù),可以證明函數(shù) 除點(diǎn) 外處處滿足拉普拉斯方程, 它稱為三維拉普拉斯方程的基本解.,為了利用格林公式，我們?cè)?內(nèi)挖去 的球形鄰域 ， 是其球面。,在區(qū)域 內(nèi)及其邊界 上， 是任意可導(dǎo)的。,在第二格林公式中, 取 為調(diào)和函數(shù), 并假定它在 上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 而取 , 在區(qū)域 上應(yīng)用公式得,在球面 上,因此,同理可得,我們可得,令 , 則 ,于是,4)平均值公式 設(shè)函數(shù) 在某區(qū)域 內(nèi)是調(diào)和函

4、數(shù), 是 內(nèi)任一點(diǎn), 表示以 為中心, 為半徑且完全落在 內(nèi)的球面, 則有,4.3 格林函數(shù),能不能直接提供狄利克雷問(wèn)題和牛曼問(wèn)題的解 ？,調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式,為得到狄利克雷問(wèn)題的解, 必須消去 , 這需要引入格林函數(shù)的概念.,設(shè) 為 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)并且在 上 有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，利用第二格林公式,可得,與,相加得,如果能找到調(diào)和函數(shù) , 使得 , 那么上式意味著,令,則,稱為拉普拉斯方程的格林函數(shù).,如果能找到格林函數(shù)中的, 并且它在,上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，,則狄利克雷問(wèn)題,的解如果存在, 必可以表示為,類似的，泊松問(wèn)題,的解若存在, 必可以表示為,說(shuō)明 格林函數(shù)僅依賴于選取的區(qū)域, 而與原定解

5、問(wèn)題中的非齊次項(xiàng)、邊界條件無(wú)關(guān).如果求得某個(gè)區(qū)域的格林函數(shù), 就可以解決該區(qū)域的一切狄利克雷問(wèn)題.,求解,狄利克雷問(wèn)題,要想確定格林函數(shù), 需要找一個(gè)調(diào)和函數(shù) , 它滿足: . 對(duì)于一般的區(qū)域, 確定 并不容易, 但對(duì)于一些特殊的區(qū)域, 如半空間，球域等, 格林函數(shù)可以通過(guò)初等方法得到. 我們通常使用“電象法”求解。,4.4 特殊區(qū)域的格林函數(shù) 及狄利克雷問(wèn)題的解,所謂電象法，就是在 放置的單位正電荷，在區(qū)域 外找出 關(guān)于邊界 的象點(diǎn) ，然后在象點(diǎn)放置適當(dāng)單位的負(fù)電荷，由它產(chǎn)生的負(fù)電位與 處的單位正電荷所產(chǎn)生的正電位在曲面 上互相抵消。而 和 處的點(diǎn)電荷在 內(nèi)的電位就是所要求的格林函數(shù)。,1

6、半空間的格林函數(shù) 求解拉普拉斯方程在半空間 的狄利克 雷問(wèn)題，即求函數(shù) 滿足,首先找格林函數(shù) . 在半空間 的 點(diǎn)放置單位正電荷， 關(guān)于邊界 的對(duì)稱點(diǎn)為 ，,下面以半空間、球域?yàn)槔f(shuō)明電象法的應(yīng)用。,由于 在上半空間 內(nèi)為調(diào)和函數(shù)，在閉域 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因此,就是半空間 的格林函數(shù).,在 放置單位負(fù)電荷，則它與 處的單位正電荷所產(chǎn)生的正電位在平面 上互相抵消。,為了求解狄利克雷問(wèn)題, 需要計(jì)算 。,由于外法線方向恰好是 軸的負(fù)向, 所以,原問(wèn)題的解,2 球域的格林函數(shù),設(shè)有一個(gè)球心在原點(diǎn),半徑為 的球面 , 在球內(nèi)任取一點(diǎn) 連接 并延長(zhǎng)至點(diǎn) 使得 , 點(diǎn) 稱為 關(guān)于球面的反演點(diǎn). 在點(diǎn) 放置單位正電荷，在點(diǎn) 放置 單位的負(fù)電荷，使這兩種電荷產(chǎn)生的電位在球面上互相抵消, 即 有,利用條件得到,由此可