1、現(xiàn)代設計方法優(yōu)化設計部分,黃正東，吳義忠 2015 年,自然現(xiàn)象,螞蟻搬家 鳥群覓食 人類進化,本章主要內(nèi)容 優(yōu)化設計概述 優(yōu)化設計的數(shù)學基礎 一維探索優(yōu)化方法 無約束優(yōu)化方法 約束問題優(yōu)化方法 優(yōu)化設計若干問題,本章重難點 優(yōu)化設計數(shù)學模型的構建方法 （模型的組成與設計要求的定量表述） 最優(yōu)化數(shù)學理論 （模型的性質(zhì)與最優(yōu)解的表征） 優(yōu)化模型的求解方法 (一維搜索、無約束方法、有約束方法) Matlab工具的使用,本章主要內(nèi)容 優(yōu)化設計概述 優(yōu)化設計的數(shù)學基礎 一維探索優(yōu)化方法 無約束優(yōu)化方法 約束問題優(yōu)化方法 優(yōu)化設計若干問題,優(yōu)化設計的作用 優(yōu)化設計的數(shù)學模型 求解方法分類 優(yōu)化設計的軟件

2、實現(xiàn),優(yōu)化設計概述 優(yōu)化設計的作用 逆向確定設計方案中的待定參數(shù) 所確定的設計參數(shù)能保證實現(xiàn)預定的設計要求 參數(shù)確定過程的自動化 基于設計方案定量化的產(chǎn)品性能優(yōu)化,例 1：籬笆圍墻設計,優(yōu)化設計的數(shù)學模型,例 2：階梯型懸臂粱設計,優(yōu)化設計的數(shù)學模型,截面尺寸,彈性模量,最大容許應力,總長,工作載荷,確定尺寸b, h, l 使端部偏轉最小、 用材最少，同時不會斷裂！,例 3：壓縮彈簧設計 有一個螺旋壓縮彈簧，已知載荷為F，彈簧材料的剪切彈性模量為G，能承受的剪切應力上限為 ，彈簧的非工作圈數(shù)為n2，軸向變形量為。試設計這個彈簧使其體積最小。,彈簧鋼絲直徑 d； 彈簧的平均直徑 D2； 彈簧的工

3、作圈數(shù) n1.,其它參數(shù)： 旋繞比 C= D2/d ，取值58 曲度系數(shù),設計變量： （1）彈簧鋼絲直徑 d； （2）彈簧的平均直徑 D2； （3）彈簧的工作圈數(shù) n1.,強度條件：,穩(wěn)定性條件：,變形條件：,目標函數(shù),約束條件 性能約束,幾何約束,d0 mm； D20 mm； n10.,p=(0.280.5)D2, H=pn1+(1.52)d,人生規(guī)劃也是一個優(yōu)化問題 目標：財富、學術？ 要求：健康、家庭？ 怎么做：哪些能力、身體鍛煉、學什么、找對象，,優(yōu)化模型的一般形式,工程優(yōu)化問題模型,Find: x=(x1,x2,xn) Rn Minimize: F(x)= Subject to: h

4、i(x)=0, i=1,2, p gi(x)0, i=1,2, q,min F(x) s. t. hi(x)=0, i=1,2, p gi(x)0, i=1,2, q,優(yōu)化模型三要素,設計變量 x=(x1,x2,xn) 目標函數(shù) F(x)=(f1(x), f2(x), , fm(x) 約束條件 等式約束 hi(x)=0, i=1,2, p 不等式約束 gi(x)0, i=1,2, q,優(yōu)化問題分類 單目標優(yōu)化問題 多目標優(yōu)化問題,設計變量,1.設計變量 設計過程中，進行選擇和調(diào)整，最終必須確定的獨立參數(shù)稱為設計變量；固定不變，需要事先給定的參數(shù)稱為設計常量。 （1）維數(shù)：設計變量的個數(shù)稱為設計

5、問題的維數(shù)。設計變量愈多，設計自由度愈大，可供選擇方案愈多，設計愈靈活，難度愈大，求解愈復雜。,設計變量,（2）設計空間: n 個設計變量的坐標軸所形成的n維實空間稱為設計空間，用Rn表示。設計空間中，n 個設計變量的坐標值組成一個設計點，并代表一個設計方案，可采用如下向量表示：,其中，最優(yōu)設計方案用 表示，稱為最優(yōu)點或優(yōu)化點。,設計變量,二維設計空間,三維設計空間,X =x1 x2T,x1,X= x1 x2 x3 T,目標函數(shù),目標函數(shù) 優(yōu)化設計的任務是在許多可行的方案中找出最優(yōu)的方案，所謂最優(yōu)方案是在設計變量中能最好的滿足所追求的某些特點的目標，而這些目標又可表達為設計變量的函數(shù)，稱為目標

6、函數(shù)。目標函數(shù)可用來評價設計方案的好壞，又稱為評價函數(shù)。常表示為：,目標函數(shù)表征的是設計的某項或某些最重要的特征。 優(yōu)化設計就是要通過優(yōu)選設計變量使目標函數(shù)達到最優(yōu)值。 目標函數(shù)總可以轉化成求最小值的統(tǒng)一形式。,目標函數(shù),等值曲線（面）: 目標函數(shù)值相等的所有設計點的集合稱為目標函數(shù)的等值曲面。二維：等值線；三維：等值面；三維以上：等超越面。,z,等值線族（投影）形象地反映了目標函數(shù)值的變化規(guī)律，越靠近極值點的等值線，表示的目標函數(shù)值越小，其分布也越密集。,x,y,o,等高線,x*（中心極值點）,等值線族,二維設計變量下的等值線投影,約束條件（函數(shù)）,對任何設計都有若干不同的要求和限制，將這些

7、要求和限制表示成設計變量的函數(shù)，并寫成一系列不等式和等式表達式，就構成了設計的約束條件簡稱約束。其作用是對設計變量的取值加以限制。,約束條件（函數(shù)）,根據(jù)對設計變量取值的限制形式： 顯約束（直接限制）: 如 axb 隱約束（間接限制）: 如 g(x)0 根據(jù)性質(zhì)的不同： 邊界約束: 直接限制每個設計變量的取值范圍或彼此相互關系的一些輔助的區(qū)域約束。 性能約束: 由產(chǎn)品性能或設計者要求推導出來的用以間接限制設計變量取值范圍的一種約束。,約束條件（函數(shù)）,（2）可行域 任何一個不等式約束都把設計空間分為兩部分，一部分是滿足約束條件的稱為可行域，另一部分是不滿足約束條件的稱為非可行域，這兩部分的分界

8、是 (約束方程)。 在約束邊界上的點稱為邊界點 兩個以上約束邊界的交點稱為角點,例1：作出下列約束條件構成的可行域,約束條件（函數(shù)）,可行域在約束邊界的哪一邊怎么確定？,例2：作出下列約束條件構成的可行域,約束條件（函數(shù)）,起作用約束 （Active constraints）,設X為設計空間中的一個點： 滿足所有約束條件的點稱為可行點（內(nèi)點和邊界點）; 不滿足所有約束條件的點稱為非可行點（外點）; X 在某個約束邊界上，則這個約束條件稱為X的起作用約束; X 不在某個約束邊界上，則這個約束條件稱為X的不起作用約束.,約束條件（函數(shù)）,起作用約束,設計點X(k)的所有起作用約束的函數(shù)序號下標集合

9、用Ik表示，即,約束條件（函數(shù)）,優(yōu)化模型的幾何解釋,優(yōu)化模型的幾何解釋,最優(yōu)解是等值線在函數(shù)值下降方向上與可行域的最后一個交點。,X*=(20,24),優(yōu)化模型的幾何解釋,最優(yōu)解是等值線在函數(shù)值下降方向上與可行域的最后一個交點。,優(yōu)化模型的幾何解釋,注意！,非線性問題的最優(yōu)解要么是一個內(nèi)點，要么是一個邊界點； 非線性問題的最優(yōu)解如果是一個邊界點，那么它必定是等值線（面）在函數(shù)值下降方向上與可行域的最后一個交點； 線性問題的最優(yōu)解必定是等值線（面）在函數(shù)值下降方向上與可行域的最后一個交點；,一般情況下：,優(yōu)化問題分類,單目標 多目標,無約束優(yōu)化 約束優(yōu)化,線性規(guī)劃 非線性規(guī)劃,確定性 非確定性

10、,線性規(guī)劃 二次規(guī)劃 動態(tài)規(guī)劃 幾何規(guī)劃 整數(shù)規(guī)劃 隨機規(guī)劃 凸規(guī)劃,按模型特征的二分類：,常見特殊優(yōu)化問題：,優(yōu)化問題求解方法,基于一維搜索 基于區(qū)域搜索 基于方程求解 基于直接采樣,f(x)=0,基于一維搜索的優(yōu)化過程,迭代法的基本思想：,從一個初始點 出發(fā)，按照一個可行的搜索方向和適當?shù)牟介L走一步，到達 ，再從 出發(fā)，選一個可行的搜索方向和適當?shù)牟介L走一步，達到 ，并保證每一步函數(shù)值都是下降的，即必須滿足 （這稱為新點的適用性） ，這樣一步一步地重復進行數(shù)值計算，直至達到目標函數(shù)的極小點。,無約束優(yōu)化問題,第k個迭代點,從第k個迭代點出發(fā)尋找下一個迭代點的搜索方向 沿 前進的步長,由于每

11、次迭代求得的新點均為使函數(shù)值有所下降的適用點（如果不是適用點，可改變方向和步長另行搜索適用點），則所得各點必將逐步向該函數(shù)的極小值點逼近，最后總可求得非常接近該函數(shù)理論最優(yōu)點的近似最優(yōu)點 。,約束優(yōu)化問題,對于約束優(yōu)化問題，除了檢查每個新點的適用性外，還要檢查其可行性，即是否滿足 的約束條件，如果適用性和可行性兼?zhèn)?，再進行下一次迭代，最終自然也能求得非常接近約束最優(yōu)點的近似最優(yōu)點 。,綜上所述，采用數(shù)值法進行迭代尋優(yōu)時，除了選擇初始點 以外，如何確定迭代方向 和步長 成為非常重要的環(huán)節(jié)，他們將直接決定著搜索的效率、函數(shù)值逐步下降的穩(wěn)定性和優(yōu)化過程所需的時間等。,A. 點距準則,根據(jù)相鄰兩迭代點 與 間的距離足夠小而建立的準則，點距準則可表示為 或,數(shù)值迭代終止準則（計算精度 的確定）,有什么缺陷？,B. 值差準則,根據(jù)相鄰的兩迭代點的函數(shù)值下降量足夠小而建立的準則。 絕對下降量準則： 相對下降量準則：,有什么缺陷？,C. 梯度準則,根據(jù)迭代點的函數(shù)梯度達到足夠小而建立的準則，表示為,或,迭代法必須要解決的三個問題 迭代算法具有收斂性； 在收斂性前提下，選擇比較好的初始點X(0) 和適宜的終止判據(jù)及收斂精度 ； 選取使目標函數(shù)值下