1、第1章 現(xiàn)代光學的數(shù)學物理基礎(chǔ) Scalar Angle-Spectrum Theory of Diffraction,光場隨時間的變化關(guān)系: 由頻率n表征.,單色光場中某點 P(x,y,z)在時刻 t 的光振動可表為: u(P,t) = a(P)cos2pnt - j(P),可見光: n 1014Hz 嚴格單色光: n為常數(shù),光場隨空間的變化關(guān)系體現(xiàn)在:,(1) 空間各點的振幅可能不同 (2) 空間各點的初位相可能不同, 由傳播引起.,光場變化的空間周期為l.,光場變化的時間周期為1/ n.,由于u(P,t) 必須滿足波動方程， 可以導出a(P)、n、 j(P)必須滿足的關(guān)系,1-1 光波場

2、的復振幅描述1、光振動的復振幅和亥姆霍茲方程,1-1光波場的復振幅描述光振動的復振幅表示,光場隨時間的變化e -j2pnt不重要:,u(P,t)= a(P)cos2pnt - j(P) = ea(P)e-j2pnt -j(P) ,n 1014Hz, 無法探測 n為常數(shù),線性運算后亦不變,對于攜帶信息的光波, 感興趣的是其空間變化部分. 故引入復振幅U(P):,為了導出a(P)、n、 j(P)必須滿足的關(guān)系，將光場用復數(shù)表示,以利于簡化運算,= ea(P) e jj(P). e -j2pnt ,復數(shù)表示有利于將時空變量分開,U(P) = a(P) e jj(P),則 u(P,t)= e U(P)

3、 e -j2pnt ,1-1光波場的復振幅描述亥姆霍茲（Helmholtz)方程,可導出復振幅滿足的方程為：,將U(P)exp(j2pn t)代入波動方程,即亥姆霍茲（Helmholtz)方程 -不含時間的波動方程,稱為波數(shù)或傳播常數(shù)， 表示單位長度上產(chǎn)生的相位變化,在自由空間傳播的任何單色光擾動的復振幅都必須滿足亥姆霍茲方程。也就是說，可以用不含時間變量的復振幅分布完善地描述單色光波場。,1-1光波場的復振幅描述光振動的復振幅表示: 說明,U(P)是空間點的復函數(shù), 描寫光場的空間分布, 與時間無關(guān);,U(P) = a(P) e jj(P),U(P)同時表征了空間各點的振幅 |U(P)| =

4、 |a(P)| 和相對位相arg(U)= j(P),方便運算, 滿足疊加原理,實際物理量是實量. 要恢復為真實光振動:,u(P,t)= eU(P)exp(-j2pnt) 即可,1-1光波場的復振幅描述2、球面波的復振幅表示,點光源或會聚中心,球面波: 等相面為球面, 且所有等相面有共同中心的波,k = | k |=2p /l , 為波數(shù). 表示由于波傳播, 在單位長度上引起的位相變化, 也表明了光場變化的“空間頻率”,則P點處的復振幅:,j(P) = k . r k : 傳播矢量 球面波: k/r,a0: 單位距離處的光振幅,1-1光波場的復振幅描述會聚球面波,會聚球面波,1-1光波場的復振幅

5、描述球面波 : 空間分布,距離 r 的表達,若球面波中心在原點:,若球面波中心在 S (x0, y0, z0):,光波場的復振幅描述球面波 : 在給定平面的分布,以系統(tǒng)的光軸為z軸,光沿 z 軸正方向傳播.所考察的平面垂直于z 軸,令點光源位于z = 0的平面上坐標(x0, y0)處. 考察與其距離為z的x - y平面上的光分布,需要作近軸近似,光波場的復振幅描述球面波 : 近軸近似,只考慮 x - y平面上對源點 S 張角不大的范圍, 即,可以作泰勒展開 (1+D)1/2 1+ D /2,1-1光波場的復振幅描述二、球面波 : 近軸近似,已將球面波中心取在 z = 0的平面, 且光波沿 z

6、軸正方向傳播. 如果 z 0, 上式代表從 S 發(fā)散的球面波. 如果 z 0, 上式代表向 S 會聚的球面波.,球面波中心在原點:,x-y 平面上等位相線方程為 :,光波場的復振幅描述3、 平面波的復振幅表示,等相面為平面,且這些平面垂直于光波傳播矢量 k.,等相平面的法線方向k (kcosa, kcosb, kcosg),k 的方向余弦 均為常量,光波場的復振幅描述3、 平面波的復振幅表示,等相面為平面,且這些平面垂直于光波傳播矢量 k.,以 k 表示的等相平面方程為 k .r = const. 故平面波復振幅表達式為:,光波場的復振幅描述3、平面波: 在給定平面的分布,在x-y平面上的等位

7、相線 xcosa + ycosb = const 為平行直線族,在與原點相距為 z 的平面上考察平面波的復振幅:,光波場的復振幅描述4、平面波的空間頻率,在與原點相距為 z 的平面上考察平面波的位相分布.等位相線是平行直線族. 為簡單計, 先看k在x-z平面內(nèi): cosb =0,等位相面是平行于y 軸的一系列平面, 間隔為l,等位相面與x-y平面相交 形成平行于y軸的直線,復振幅分布:,光波場的復振幅描述四、平面波的空間頻率,復振幅分布:,定義 復振幅分布在x方向的空間頻率:,光波場的復振幅描述平面波的空間頻率: 一般情形,定義:復振幅變化空間周期的倒數(shù)稱為平面波的空間頻率,若波矢在x-z平面

8、或y-z平面中, a (b) 又常用它們的余角qx (qy)表示,故:,光波場的復振幅描述平面波的空間頻率-信息光學中最基本的概念,單位振幅的單色平面波, 波矢量k與x軸夾角為30, 與y軸夾角為60. (1)畫出z = z1平面上間隔為2p的等相線族, 并求出Tx、 Ty、T 和fx 、fy和 f。 (2)畫出y = y1平面上間隔為2p的等相線族, 并求出Tx、 Tz 和fx 、fz.,練習 1,光波場的復振幅描述平面波的空間頻率-信息光學中最基本的概念,如果平面波傳播方向在xz平面(或yz平面), 與z軸夾角為q, 則此平面波復振幅沿x方向(或y方向)的空間頻率為:,光波場的復振幅描述平面波的空間頻率-信息光學中最基本的概念,光波場的復振幅描述平面波的空間頻率-信息光學中最基本的概念,空間頻率的單位: cm-1, mm-1, 周/mm, 條數(shù)/mm 等,空間頻率的正負:表示傳播方向與x(或y)軸的夾角小于或大于90,在給定的座標系, 任意單色平面波有一組對應(yīng)的fx和fy,它僅決定于光波的波長和傳播方向. 反之, 給定一組fx和fy, 對于給定波長的單色平面波就能確定其傳播方向cosa =l,fx , cosb =l,fy,要與光的時間頻率嚴格區(qū)分開,空間比時間更具體,更直觀,是有形的,光波場的復振幅描述平面波的空間頻率-信息光學中最基本的概念,這樣平