1、第2.2節(jié) 點估計量的求法,一、矩估計法,二、最大似然估計法,三、用次序統(tǒng)計量估計參數(shù)的方法,一、矩估計法,由于估計量是樣本的函數(shù), 是隨機變量, 故對不同的樣本值, 得到的參數(shù)值往往不同, 因此如何求得參數(shù) 的估計量便是問題的關(guān)鍵所在.,常用構(gòu)造估計量的方法: (三種),1. 矩估計法 2. 最(極)大似然估計法. 3. 次序統(tǒng)計量估計法,1. 矩估計法,基本思想：用樣本矩估計總體矩 .,理論依據(jù):,或格列汶科定理,它是基于一種簡單的“替換”思想建立起來的一種估計方法 .,是英國統(tǒng)計學家K.皮爾遜最早提出的 .,大數(shù)定律,記總體k階原點矩為,樣本k階原點矩為,記總體k階中心矩為,樣本k階中心

2、矩為,用樣本矩來估計總體矩, 用樣本矩的連續(xù)函數(shù)來估計總體矩的連續(xù)函數(shù), 這種估計法稱為矩估計法.,矩估計法的具體步驟:,設總體 X 的分布函數(shù)為,m個待估參數(shù) (未知),為來自總體X的簡單隨機樣本.,矩估計量的觀察值稱為矩估計值.,注,解,根據(jù)矩估計法,例1,解,例2,解方程組得到a, b的矩估計量分別為,解,解方程組得到矩估計量分別為,例3,上例表明:,總體均值與方差的矩估計量的表達式不因不同的總體分布而異.,一般地:,例4,設總體X的分布密度為,為來自總體X的樣本. 求參數(shù), 的矩估計量.,分析：,一般地，,只需要求：, 的矩估計量.,不含有，,故不能由此得到 的矩估計量.,解(方法1)

3、,要求：, 的矩估計量,(方法2),要求：, 的矩估計量：,注,此例表明：同一參數(shù)的矩估計量可不唯一.,例5(p43例2.9),解,建立方程,求解方程可得,矩法的優(yōu)點：簡單易行, 并不需要事先 知道總體是什么分布 .,缺點：當總體類型已知時，沒有 充分利用分布提供的信息. 一般場合下, 矩估計量不 具有唯一性 .,其主要原因在于建立矩法方程時，選取那些總體矩用相應樣本矩代替帶有一定的隨意性 .,小結(jié)：,二 、最大似然估計法,最大似然估計法是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法 .,它首先是由德國數(shù)學家 高斯在1821年提出的 ,Gauss,Fisher,然而，這個方法常歸功于 英國統(tǒng)計學

4、家Fisher .,Fisher在1921年重新發(fā)現(xiàn)了 這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì) .,Fisher資料,先看一個簡單例子：,一只野兔從前方竄過 .,是誰打中的呢？,某位同學與一位獵人一起外出打獵 .,如果要你推測，,你會如何想呢?,只聽一聲槍響，野兔應聲倒下 .,1 最大似然法的基本思想,你就會想，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率一般大于這位同學命中的概率. 看來這一槍是獵人射中的 .,這個例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了最大似然法的基本思想 .,設 XB(1, p), p未知. 設想我們事先知道 p 只有兩種可能:,問: 應如何估計p?,p=0.7 或 p=0.3,如今重復試驗3次,得

5、結(jié)果: 0 , 0, 0,由概率論的知識, 3次試驗中出現(xiàn)“1”的次數(shù),(k=0, 1, 2, 3),引例,(k=0, 1, 2, 3),依題設，“重復試驗3次, 得結(jié)果: 0 , 0, 0”,應如何估計p?,p=0.7 還是 p=0.3 ？,2 似然函數(shù),最大似然估計法,似然函數(shù)的定義,3.求最大似然估計的步驟,最大似然估計法也適用于分布中含有多個未知參數(shù)的情況. 此時只需令,對數(shù)似然方程組,對數(shù)似然方程,解,例6(p46例2.12),這一估計量與矩估計量是相同的.,解,X 的似然函數(shù)為,例7(p47例2.13),它們與相應的矩估計量相同.,例8(p47例2.14),設總體X服從柯西分布，其

6、分布密度為,解,由分布可知，其似然函數(shù)為,此方程只能求解其數(shù)值解，可以以樣本中位數(shù)為初始 值進行迭代。又因為此分布均值不存在，不可用矩估計.,解,例9(p48例2.15),4. 最大似然估計的性質(zhì),定理2.4,此性質(zhì)可以推廣到總體分布中含有多個未知參數(shù)的情況.,例10(p48例2.16),解,定理2.5,證,由因子分解定理可知,注,該定理說明最大似然估計充分利用了樣本中包含的參數(shù)的信息，因而是一種比較好的估計，通常情況下，最大似然估計不僅是相合估計，而且是漸近正態(tài)估計.,三、用次序統(tǒng)計量估計參數(shù)的方法,1. 用樣本中位數(shù)與樣本極差估計參數(shù),由1.4節(jié)可知，由于樣本中位數(shù)與樣本極差計算方便，因而通常情況下，可以用樣本中位數(shù)估計總體期望，用樣本極差估計總體的標準差。,定理2.6,因此,例10 (p51例2.18),某維尼綸廠20天內(nèi)生產(chǎn)正常，,隨機的抽樣得到20個纖度數(shù)值，等分成4組，每組5 個數(shù)值，如下表：,假設纖度服從正態(tài)分布，試估計總體的標準差。,解,計算平均極差,顯然兩種估計結(jié)果極為接近，但極差形式簡單.,再 見,費希