1、第三章 尺度分析與基本方程組的簡(jiǎn)化（SCALE ANALYSIS OF THE BASIC EQUATIONS）,為什么要簡(jiǎn)化基本方程組？,物理上：影響大氣運(yùn)動(dòng)的因子很多，重點(diǎn)不突出 數(shù)學(xué)上：方程組是高度非線性的，求解上異常困難,原因：描述大氣運(yùn)動(dòng)的基本方程組非常復(fù)雜,因此：需要簡(jiǎn)化,物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用； 數(shù)學(xué)上：略去方程中相對(duì)較小的項(xiàng)，保留大項(xiàng)，使方程簡(jiǎn)單，容易求解,最終結(jié)果：,使簡(jiǎn)化的方程反映的物理規(guī)律更加清晰，求解起來(lái)更加方便。,具體來(lái)說(shuō)，大氣中存在各種不同尺度的運(yùn)動(dòng)，雖然它們都用同一個(gè)基本方程組來(lái)描述，但由于運(yùn)動(dòng)的尺度不同，使其運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不一樣。 當(dāng)我們研究某一特

2、定尺度運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有抓住決定該尺度運(yùn)動(dòng)的主要因子，忽略那些次要因子，才能把握該運(yùn)動(dòng)的基本特性。,途徑：尺度分析,一般，采用尺度分析方法。它是一種對(duì)物理方程進(jìn)行分析和簡(jiǎn)化的有效方法。 這一方法是恰尼（1948年）首先倡導(dǎo)的。以后經(jīng)伯格（Burger,1958年）、菲利普斯（1963）等人進(jìn)一步發(fā)展完善，現(xiàn)在大氣動(dòng)力學(xué)和數(shù)值天氣預(yù)報(bào)的研究中得到廣泛的應(yīng)用。,一、尺度的概念,由實(shí)際觀測(cè)資料可知，任一物理量都有一定的變動(dòng)范圍，我們可以用各物理量場(chǎng)具有代表意義的量值來(lái)表示它的基本特征。 各物理量具有代表意義的量值稱為該物理量的特征值。這一特征值就是尺度。一般是用它的數(shù)量級(jí)來(lái)表征它的大小。,例如，在天氣圖上

3、常見(jiàn)的天氣系統(tǒng)中（中低層大氣），水平風(fēng)速大致在5到25ms-1 之間，故可取10ms-1 作為它的尺度。 若水平速度尺度（特征值）記作V，實(shí)際水平速度可以寫(xiě)為：u=Vu* v=Vv*，u*、v*為一無(wú)量綱量，其量值在0.5-2.5之間。,將任一物理量寫(xiě)作：,其中： Q特征量， 表示該物理量的一般大??； 常量；有量綱,無(wú)量綱量， 量級(jí)在 100左右，表示物理量的具體大??；變量；沒(méi)有量綱,這里的q是廣義的，不僅包括氣象要素，還包括方程各項(xiàng)。 比較物理量的大小，可以比較特征量Q的大?。础俺叨取保?。 如：已知：,則：,二、“尺度分析”概念,依據(jù)表征某類運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)各場(chǎng)變量的特征值，來(lái)估計(jì)大氣運(yùn)動(dòng)方程中各

4、項(xiàng)量級(jí)大小的一種方法。根據(jù)尺度分析的結(jié)果，結(jié)合物理上的考慮，略去小項(xiàng)，保留大項(xiàng)，以得到突出某類運(yùn)動(dòng)特征的簡(jiǎn)化方程。,“尺度分析”的步驟：,明確要分析的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)， 即（大、中、小）尺度運(yùn)動(dòng)； 了解該尺度運(yùn)動(dòng)中各基本物理量的特征量的量級(jí)大??； 將q=Qq*代入方程，寫(xiě)出方程中各項(xiàng)的特征量； 計(jì)算各項(xiàng)特征量的量級(jí)； 比較大小，保留大項(xiàng)，略去小項(xiàng)。,在中高緯度大尺度大氣運(yùn)動(dòng)中，各物理量的特征量為：,10-4 10-4 10-5 10-3 10-6 10-3 10-12 ms-2,其中：,三、運(yùn)動(dòng)方程的尺度分析,10-4 10-4 10-5 10-3 10-3 10-12 ms-2,10-7 10-7

5、10-8 101 101 10-3 10-15 ms-2, 分子粘性力可以忽略 不考慮分子粘性和湍流粘性“自由大氣”,對(duì)短期天氣過(guò)程來(lái)說(shuō)，分子粘性很小，即日常天氣過(guò)程可以不計(jì)； 對(duì)氣候?qū)W來(lái)說(shuō)，分子粘性累積起來(lái)就很大了，所以不能忽略！,討論：, 取“零級(jí)近似”， 即只保留量級(jí)最大項(xiàng)，得到的簡(jiǎn)化方程為：,水平方向上：,水平氣壓梯度力水平科氏力0,地轉(zhuǎn)平衡,“零級(jí)近似”的特點(diǎn)：,這表明“大尺度”運(yùn)動(dòng)中水平氣壓梯度力與科氏力基本相平衡的，運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)地轉(zhuǎn)的。,矢量形式：,(Geostrophic balance),地轉(zhuǎn)平衡關(guān)系的重要性：,揭示了風(fēng)場(chǎng)與氣壓場(chǎng)之間最簡(jiǎn)單，最基本的聯(lián)系。大尺度運(yùn)動(dòng)處于準(zhǔn)地轉(zhuǎn)平衡

6、狀態(tài)，這是大尺度運(yùn)動(dòng)一個(gè)重要性質(zhì)。,The geostrophic balance is a diagnostic expression that gives the approximate relationship between the pressure field and horizontal velocity in large-scale extratropical systems.,地轉(zhuǎn)平衡運(yùn)動(dòng)的特征： 動(dòng)力學(xué)特征： 水平壓力梯度力與科氏力相平衡 運(yùn)動(dòng)學(xué)特征： 風(fēng)沿等壓線吹；背風(fēng)而立，高壓在右， 低壓在左（南半球相反）。,地轉(zhuǎn)風(fēng)的表達(dá)式：,南半球：,在南半球：高壓反氣旋逆時(shí)針,垂直方

7、向上：,靜力平衡,上式表示：在垂直方向上氣壓梯度力與重力基本平衡，在大尺度運(yùn)動(dòng)中，任何一點(diǎn)的氣壓相當(dāng)精確地等于該點(diǎn)以上單位截面積的重量。 注意：這不意味沒(méi)有垂直運(yùn)動(dòng)，只是近似平衡。這個(gè)關(guān)系不僅成立于大尺度系統(tǒng)，還成立于中小尺度系統(tǒng)。,Hydrostatic equilibrium,靜力平衡關(guān)系的重要性：,給出了瞬時(shí)氣壓場(chǎng)、密度場(chǎng)、溫度場(chǎng)之間的關(guān)系。,大尺度運(yùn)動(dòng)經(jīng)常處于準(zhǔn)靜力平衡狀態(tài)，這是大尺度運(yùn)動(dòng)又一重要性質(zhì)。,運(yùn)動(dòng)方程的零級(jí)近似式中不含有氣象要素的時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，稱其為診斷方程。不能對(duì)速度場(chǎng)作確定，因此不能作為預(yù)報(bào)方程。,注意：,四、連續(xù)方程的零級(jí)簡(jiǎn)化形式：,水平無(wú)輻散,連續(xù)方程的零級(jí)簡(jiǎn)化說(shuō)明大

8、尺度運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)水平無(wú)幅散的。,小結(jié)：,“零級(jí)近似”得到的平衡方程：,這組方程中不含有時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，所以稱之為“平衡簡(jiǎn)化方程組”。 這組方程中不含有熱力學(xué)方程,由此可見(jiàn)，中高緯度大尺度大氣運(yùn)動(dòng)的主要特征是：準(zhǔn)地轉(zhuǎn)平衡、準(zhǔn)靜力平衡、準(zhǔn)水平無(wú)輻散、準(zhǔn)水平、準(zhǔn)定常。,五、一級(jí)簡(jiǎn)化方程,一級(jí)簡(jiǎn)化方程組可稱為“非平衡簡(jiǎn)化方程組”。在這一方程組中，運(yùn)動(dòng)方程是不含有W項(xiàng)。由于垂直運(yùn)動(dòng)對(duì)于大氣變化有重要影響，雖在運(yùn)動(dòng)方程中一般對(duì)流項(xiàng)比其它項(xiàng)要小，但作為預(yù)報(bào)方程，一般還應(yīng)保留對(duì)流項(xiàng)。一級(jí)簡(jiǎn)化方程組中的連續(xù)方程不含時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，這表明密度場(chǎng)基本上是定常的，可作為預(yù)報(bào)方程有時(shí)也保留時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。,此外，熱力學(xué)方程此時(shí)常采用

9、絕熱形式：,由尺度分析可以證明，氣壓的全導(dǎo)數(shù)幾乎由垂直運(yùn)動(dòng)決定。對(duì)于中緯度大尺度運(yùn)動(dòng),尺度分析得：,略去小項(xiàng)有：,由此得到熱力學(xué)一級(jí)簡(jiǎn)化方程：,其中，,上式改寫(xiě)為：,靜力平衡關(guān)系,這說(shuō)明大尺度運(yùn)動(dòng)中溫度的局地變化主要是由溫度平流和垂直運(yùn)動(dòng)決定的。 一級(jí)簡(jiǎn)化方程與原方程組最大的差異在于垂直運(yùn)動(dòng)方程采用了靜力平衡關(guān)系，這樣簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)處理，它能濾去聲波。,六、無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)參數(shù),在動(dòng)力氣象學(xué)中，經(jīng)常利用特征尺度，引進(jìn)無(wú)量綱變量，將動(dòng)力學(xué)方程無(wú)量綱化，并由此得到一些由基本尺度 和環(huán)境參數(shù) 組成的無(wú)量綱參數(shù)，這些無(wú)量綱參數(shù)都具有明確的物理意義。無(wú)量綱方程和無(wú)量綱參數(shù)在對(duì)大氣運(yùn)動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力分析時(shí)十分有用。,方

10、程無(wú)量綱化的步驟：,1）把方程各項(xiàng)寫(xiě)作 “特征量無(wú)量綱量”的形式。,2）化為“無(wú)量綱方程” ： 用方程中某一項(xiàng)的特征量同除方程的每一項(xiàng)（量綱齊次性原理） 無(wú)量綱方程 各項(xiàng)前面的系數(shù)無(wú)量綱（數(shù)） 體現(xiàn)各項(xiàng)的相對(duì)重要性。,例：,兩邊同除以科氏力的特征量,以水平運(yùn)動(dòng)方程的“一級(jí)近似”為例,其中：,（Rossy數(shù)）,（所以可以通過(guò)Rossy數(shù)判斷是否準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）,上式即無(wú)量綱方程,特征無(wú)量綱參數(shù),又：,R0=1時(shí)，非線性平流項(xiàng)不能忽略，因此，方程式非線性的，相對(duì)渦度大于或等于牽連渦度，運(yùn)動(dòng)的平流時(shí)間小于或等于慣性運(yùn)動(dòng)時(shí)間，這樣的運(yùn)動(dòng)過(guò)程稱為快過(guò)程。,a) 中緯度大尺度運(yùn)動(dòng)：,準(zhǔn)地轉(zhuǎn),Rossby數(shù)的應(yīng)

11、用：,b) 中緯度中小尺度運(yùn)動(dòng)：,非地轉(zhuǎn),c) 熱帶大尺度運(yùn)動(dòng)：,非地轉(zhuǎn),d) 海洋情形：,準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),中高緯度,七、地轉(zhuǎn)參數(shù)的簡(jiǎn)化、及平面近似,現(xiàn)對(duì)地轉(zhuǎn)參數(shù)來(lái)進(jìn)行分析。將f在緯度0處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，則有：,若令L代表運(yùn)動(dòng)的徑向水平尺度，則（）式前兩項(xiàng)之比為：,因此，在中緯度地區(qū)，若運(yùn)動(dòng)的經(jīng)向水平尺度遠(yuǎn)小于地球半徑時(shí) ，可以取 既把f作為常數(shù)處理，這種近似稱為 近似。取這種近似相當(dāng)于完全沒(méi)有考慮地球球面性所引起的f隨緯度的變化。 高一級(jí)近似是所謂 平面近似，其主要內(nèi)容是： （一）當(dāng)f處于系數(shù)地位不被微商時(shí)，?。?； （二）當(dāng)f處于對(duì)y求導(dǎo)時(shí)，取 為常數(shù)。 即：f=f0+y,局地直角坐標(biāo)系中，垂

12、直坐標(biāo)軸Z是以長(zhǎng)度（米）為單位來(lái)度量，描述大氣運(yùn)動(dòng)方程組的物理意義比較清楚。在這種坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)方程中（如氣壓梯度力）與連續(xù)方程中均含有密度項(xiàng)。,八、P坐標(biāo),But：“密度”一般不是常規(guī)測(cè)量的物理量，這樣分析對(duì)比不同高度處氣壓梯度力時(shí)很不方便。,于是，在氣象學(xué)中常采用氣壓P作為垂直坐標(biāo)，在這種坐標(biāo)系中，氣壓梯度力已不含密度的因子，用起來(lái)較方便，所以在實(shí)際工作中也進(jìn)行等壓面圖的分析。,1、P坐標(biāo)系的概念,用氣壓P替換z坐標(biāo)系中的垂直坐標(biāo)就可得到P坐標(biāo)系。水平坐標(biāo)x,y不變。 把z坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為P坐標(biāo)的基本關(guān)系是靜力平衡方程 : 它與z的坐標(biāo)方向相反。,2. 垂直坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換（Z P）,任一氣象要素F F(x,y,z,t)=F(x,y,z(x,y,p,t),t)=F(x,y,p,t),兩種坐標(biāo)中偏導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：,3.P坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)方程組,4、P坐標(biāo)系的優(yōu)缺點(diǎn),優(yōu)點(diǎn)： 1、P坐標(biāo)系使大氣運(yùn)動(dòng)方程組中減少了密度這一變量。它的影響隱含在等壓面位勢(shì)變化之中。氣壓梯度力項(xiàng)變成了線性項(xiàng)，形式簡(jiǎn)單。 2、連續(xù)方程具有較簡(jiǎn)單的形式，成為一個(gè)診斷方程； 3、日常業(yè)務(wù)工作常采用等壓面分析，便于利用P坐標(biāo)系進(jìn)行診斷