1、,主要內(nèi)容,1.定義,2.性質(zhì) 5條,3.展開定理,4.幾個(gè)重要結(jié)果,范德蒙行列式,P.15例2,三角形行列式的值等于對(duì)角元之乘積,1,行列式的計(jì)算方法小結(jié),可從計(jì)算方法和行列式特征兩個(gè)角度總結(jié)。,1. 直接用定義（非零元素很少時(shí)可用）,2. 化三角形行列式法,此法特點(diǎn)：,(2) 靈活性差，死板。,程序化明顯，對(duì)階數(shù)較低的數(shù)字行列式和一些較特殊的 字母行列式適用。,3.降階法,利用性質(zhì)，將某行(列)的元盡可能化為0，然后按行(列)展開.,此法靈活多變，易于操作，是最常用的手法。,一.方法,2,*4. 遞推公式法 (見附錄1),*5、數(shù)學(xué)歸納法 (見附錄2),*6. 加邊法（升階）(見附錄3),

2、3,二、特征,. 階數(shù)不算高的數(shù)字行列式，可化為三角形行列式或結(jié)合展開定理計(jì)算.,. 非零元素很少的行列式，可直接用定義或降階法。,一些特殊行列式的計(jì)算（包括一些重要結(jié)果）,4,例,1. “箭形”行列式 化成三角形行列式,如:練習(xí)冊(cè)P.2 6(2)題,5,例,2. 除對(duì)角線以外各行元素對(duì)應(yīng)相同,可化成三角形行列式或箭形行列式,另,可化箭形行列式,如 P.20 例8,6,例 P.41 33題,n階,n-1階,n-1階,3. 某行（列）至多有兩個(gè)非零元素的行列式，可用降 階法或定義或遞推公式法或歸納法,7,4. 各行(列)總和相等的行列式 (趕鴨子法),例 計(jì)算行列式(P.18 例6,將a 換為y

3、),8,*或 y 乘第1列加到后面各列：,*,9,例如 (P.37 13(4) ，P.38 17(3), 21, P.39 25(2)題,如：P.39 22題, 25(3)題,1列(行)“1”的巧妙利用,10,5 范德蒙(Vandermonde)行列式（重要結(jié)果）,11,將一不含的非零元化成零，某行可能會(huì)出現(xiàn)公因子，提公因子，可降次。,6. 部分對(duì)角線上含參數(shù)的行列式,例 為何值時(shí),D=0?,12,*附錄1. 遞推公式法,特征：某行（列）至多有兩個(gè)非零元素。,方法：按此行（列）展開，可能會(huì)導(dǎo)出遞推公式。,13,例1,按第一行展開好，還是按第一列展開好？,14,由此得遞推公式：,因此有：,D2=

4、?,解法2：從最后一列開始每列乘以x加到前一列，再按第一列展開。,15,例2,16,由此可得遞推公式：,因此有,又因?yàn)?故,則,遞推公式法的 步驟：,1. 降階，得到遞推公式；,2. 利用高中有關(guān)數(shù)列的知識(shí)，求出行列式 。,17,附錄2、數(shù)學(xué)歸納法,例 證明范德蒙(Vandermonde)行列式,18,證明(數(shù)學(xué)歸納法),，結(jié)論成立。,按第1列展開,19,根據(jù)歸納假設(shè)有：,綜上所述，結(jié)論成立 。,20,附錄3. 加邊法（升階）,要點(diǎn)：將行列式加一行一列，利用所加的一行（列）元素 ，將行列式化成三角形行列式。,例 用加邊法計(jì)算,n+1階,還可用趕鴨子法！,21,將第1行的(-1)倍分別加到第2行

5、，第3行，.，第n+1行得：,(1) 若m=0，則,n+1階,“箭形”行列式,從加邊前的Dn 得出,22,23,綜合練習(xí)題,2. 用多種方法計(jì)算下列行列式,(2).,(3).,(1).,24,3. 計(jì)算行列式,設(shè)m階行列式|A|=a, n階行列式|B|=b,*4. 計(jì)算行列式,25,綜合練習(xí)題解答,因此,因?yàn)? 對(duì)于任何兩個(gè)數(shù)碼 ,在一排列中要么構(gòu)成逆序,要么不構(gòu)成逆序.,如:,26,2. (1),解法一：,化成三角形行列式,解法二：把 化成0, 再按第三行展開,27,解法三：,28,(2).計(jì)算行列式,解法一：,解法二：,注意：若按圖示法計(jì)算不易化簡。,29,(3). 解法一,30,解法二:用趕鴨子法,提公因子,化三角形行列式或降成二階,31,3. 計(jì)算行列式,設(shè)m階行列式|A|=a, n階行列式|B|=b,解,將第n+1列作n次相鄰交換