1、第5章 微分方程與差分方程,重點(diǎn)：微分方程的解法 難點(diǎn)：建立微分方程模型,5.1 微分方程基礎(chǔ),5.1.1 實(shí)際背景,建立這一問題 的數(shù)學(xué)模型如下：,微分方程,初值條件,指數(shù)增長模型 設(shè)人口數(shù)量N(t)的增長速度與現(xiàn)有人口數(shù)量成正比, 求N(t). (P235),設(shè)開始時(shí)人口數(shù)量為N0,年增長率為r,建立這一問題的數(shù)學(xué)模型如下：,微分方程,初值條件,5.1.2 基本概念,定義 凡含有自變量、未知函數(shù)及其微商(或微分)的方程,稱為微分方程. 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程,否則稱為偏微分方程. 本書只討論常微分方程，以后所說的微分方程都是指常微分方程. 微分方程中未知函數(shù)微商的最高階

2、數(shù)稱為微分方程的階.,線性微分方程,未知函數(shù)及其各階微商都是一次的微分方程稱為線性微分方程.,回答這個(gè)問題并不重要, 重要的是要會(huì)求解它,它可變形為,微分方程的解,微分方程的解是指能使微分方程成為恒等式的已知函數(shù). 微分方程的通解：含有 n 個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)的解,其中 n 是微分方程的階數(shù).,初值條件：確定通解中 n 個(gè)任意常數(shù)的條件. 微分方程的特解：滿足初值條件的解.,5.2 一階微分方程,5.2.1 可分離變量的微分方程,5.2.2 齊次(微分)方程,5.2.3 一階線性微分方程,微分方程.,解法：先求解相應(yīng)的齊次線性微分方程,分離變量,得,兩邊積分后,得,由此得,常數(shù)變易法,由此解

3、出,一階線性微分方程的求解技巧,這種方法的優(yōu)點(diǎn)是無需記公式，而且比公式法的計(jì)算量小.,練習(xí) 解下列微分方程,可化為一階線性微分方程,分析 這種類型微分方程的特點(diǎn)是,其中有一個(gè)變量是一次的.,令 x = C(y) y 代入(*)得,原方程的通解為x = y3/2 + Cy.,貝努利方程(P246-247),5.2.4 微分方程的應(yīng)用(連續(xù)模型),微分方程在實(shí)際中的應(yīng)用是十分廣泛的. 如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為微分方程模型？大多數(shù)情況下所研究的變量是隨時(shí)間而變化的,建立微分方程模型的關(guān)鍵,是要弄清楚該變量的變化率(微商)與該變量之間的關(guān)系. 在求解微分方程時(shí),要注意其初值條件. 求解得到結(jié)果時(shí)，一般要解

4、釋結(jié)果的實(shí)際意義. 例如指數(shù)增長模型比較適用于短期預(yù)測,而不太適用于長期預(yù)測,因?yàn)楫?dāng)時(shí)間變量趨于無窮大時(shí)，所研究的變量趨于無窮大,這與實(shí)際是不相符的.,阻滯增長模型(Logistic模型),這就是非常著名的 Logistic 增長模型(即阻滯增長模型).阻滯增長模型用途十分廣泛,除了用于預(yù)測人口增長外,也可完全類似地用于蟲口增長、疾病的傳播、謠言的傳播、技術(shù)革新的推廣、銷售預(yù)測等.,藥物總量模型,這類模型研究在一個(gè)容器內(nèi)物質(zhì)總量隨時(shí)間而變化的情況,目標(biāo)是測定某一時(shí)刻物質(zhì)在容器內(nèi)的總量.依據(jù)是物質(zhì)總量的變化率等于物質(zhì)進(jìn)入容器的速率減去物質(zhì)離開容器的速率.(P249),5.3 二階微分方程,5.3

5、.1 可降階的二階方程,代入原方程,然后求解一階微分方程,可降階的二階方程,解得C( x) = 2x2 + C, 從而 p = 2x + C/x.,可降階的二階方程,積分得 arctany = x + C, 由 y(1) = 0得 y = tan(x 1),5.3.2 二階常系數(shù)線性微分方程,線性微分方程解的結(jié)構(gòu),二階常系數(shù)齊次線性微分方程,二階常系數(shù)齊次線性微分方程,代入(*)得,二階常系數(shù)齊次線性微分方程,二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解,練習(xí) 解下列方程 y 2y 3y = 0 y + 2y + y = 0 y + 2y + 5y = 0,二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形式,5.4 差分方程,5.4.1 差分方程基礎(chǔ),5.4.2 一階常系數(shù)線性差分方程,形如,5.4.3 二階常數(shù)線性差分方程,二階常系數(shù)非齊次線性差分方程,5.4.4 差分方程的應(yīng)