1、第 三 章 點(diǎn)、直線、平面的投影,一、內(nèi)容簡(jiǎn)介,本章主要介紹了：投影的概念及分類；正投影的基本性質(zhì)；各種位置的點(diǎn)、直線、平面的投影規(guī)律；直線上的點(diǎn)、平面上的直線和點(diǎn)的作圖方法。,重點(diǎn)：各種位置的點(diǎn)、直線、平面的投影規(guī)律；根據(jù)點(diǎn)、直線、平面的兩面或三面投影判斷其空間位置；直線上的點(diǎn)、平面上的直線和點(diǎn)的作圖方法。難點(diǎn)：根據(jù)點(diǎn)、直線、平面的兩面或三面投影想出其空間位置；,二、學(xué)習(xí)目標(biāo)與要求,1.了解投影的概念及分類；2.掌握正投影的基本性質(zhì)； 3.掌握各種位置的點(diǎn)、直線、平面的投影規(guī)律；4.能根據(jù)點(diǎn)、直線、平面的兩面或三面投影想出其空間位置；5.掌握直線上的點(diǎn)、平面上的直線和點(diǎn)的作圖方法。,三、 重

2、點(diǎn)和難點(diǎn),31 投影法的基本知識(shí),投影方法,中心投影法,平行投影法,直角投影法（正投影法）,斜角投影法,畫透視圖,畫斜軸測(cè)圖,畫工程圖樣及正軸測(cè)圖,投影的形成及常用的投影方法,中心投影法,投射中心、物體、投影面三者之間的相對(duì)距離對(duì)投影的大小有影響。 度量性較差,投影特性,投射線,投射中心,投影面,投影,物體位置改變，投影大小也改變,投影特性動(dòng)畫,平行投影法,斜角投影法,投 影 特 性,投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。 度量性較好,工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。,正投影法的基本性質(zhì),采用多面投影。,過空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。,點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)

3、的空間位置。,一、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影,a,22 點(diǎn)的投影,二、點(diǎn)的三面投影,投影面,正面投影面（簡(jiǎn)稱正 面或V面）,水平投影面（簡(jiǎn)稱水 平面或H面）,側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱側(cè) 面或W面）,投影軸,OX軸 V面與H面的交線,OZ軸 V面與W面的交線,OY軸 H面與W面的交線,三個(gè)投影面互相垂直,空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影,空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不動(dòng),投影面展開,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,點(diǎn)的投影規(guī)律:, aaOX軸, aax= aaz=y=A到V面的距離,aax= aay=z=A到H面的距離,

4、aay= aaz=x=A到W面的距離,aaOZ軸,例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通過作45線使aaz=aax,解法二:,用圓規(guī)直接量取aaz=aax,三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置,兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。,判斷方法：, x 坐標(biāo)大的在左, y 坐標(biāo)大的在前, z 坐標(biāo)大的在上,b,a,a,a,b,b,B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。,X,YH,YW,Z,重影點(diǎn)：,空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。,A、C為H面的重影點(diǎn),a,a,c,被擋住的投影加( ),( ),a c,23 直線的投影,兩點(diǎn)確定一條

5、直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。, 直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性,一、直線的投影特性,直線垂直于投影面 投影重合為一點(diǎn) 積聚性,直線平行于投影面 投影反映線段實(shí)長 ab=AB,直線傾斜于投影面 投影比空間線段短 ab=ABcos, 直線在三個(gè)投影面中的投影特性,投影面平行線,投影面垂直線,正平線（平行于面）,側(cè)平線（平行于面）,水平線（平行于面）,正垂線（垂直于面）,側(cè)垂線（垂直于面）,鉛垂線（垂直于面）,一般位置直線,統(tǒng)稱特殊位置直線, 投影面平行線, 在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長， 并反映直線與另兩投影面傾角的實(shí)大。, 另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影 軸

6、。,水平線,側(cè)平線,正平線,投 影 特 性：,與H面的夾角: 與V面的角: 與W面的夾角: ,實(shí)長,實(shí)長,實(shí)長,反映線段實(shí)長。且垂直 于相應(yīng)的投影軸。, 投影面垂直線,鉛垂線,正垂線,側(cè)垂線, 另外兩個(gè)投影，, 在其垂直的投影面上，,投影有積聚性。,投影特性:, 一般位置直線,投影特性：,三個(gè)投影都縮短。即: 都不反映空間線段的實(shí)長及與三個(gè)投影面夾角的實(shí)大，且與三根投影軸都傾斜。,二、直線與點(diǎn)的相對(duì)位置, 若點(diǎn)在直線上, 則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。并將線段的同名投影分割成與空間相同的比例。即：,若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上， 則該點(diǎn)必不在此直線上。,判別方法：,AC/CB=ac/

7、cb= ac / cb,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,點(diǎn)C不在直線AB上,例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。,點(diǎn)C在直線AB上,例2：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。,a,b,因k不在a b上， 故點(diǎn)K不在AB上。,應(yīng)用定比定理,a,b,k,a,b,k,三、兩直線的相對(duì)位置,空間兩直線的相對(duì)位置分為： 平行、相交、交叉。, 兩直線平行,投影特性：,空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判斷圖中兩條直線是否平行。,對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,

8、b,a,c,對(duì)于特殊位置直線，只有兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線不一定平行。,求出側(cè)面投影后可知：,AB與CD不平行。,例2：判斷圖中兩條直線是否平行。,求出側(cè)面投影, 兩直線相交,判別方法：,若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。,交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn),例：過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。,先作正面投影,1(2 ),3(4 ), 兩直線交叉,投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。, “交點(diǎn)”是兩直線上的一 對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。,、是面的重影點(diǎn)，、是H面的重影點(diǎn)。,為什么？,兩直線相交嗎？, 兩直

9、線垂直相交（或垂直交叉）,直角的投影特性：,若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。（直角定理）,設(shè) 直角邊BC/H面 因 BCAB, 同時(shí)BCBb 所以 BCABba平面,直線在H面上的投影互相垂直,即 abc為直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,證明：,a,b,c,a,b,c,例：過C點(diǎn)作直線與AB垂直相交。, 小 結(jié) ,點(diǎn)與直線的投影特性，尤其是特殊位置 直線的投影特性。 點(diǎn)與直線及兩直線的相對(duì)位置的判斷方 法及投影特性。 定比定理。 直角定理，即兩直線垂直時(shí)的投影特性。,重點(diǎn)掌握：,一、點(diǎn)的投影規(guī)律, aaOX軸, aax= aaz=y=A到

10、V面的距離,aax= aay=z=A到H面的距離,aay= aaz=x=A到W面的距離,aaOZ軸,二、各種位置直線的投影特性, 一般位置直線,三個(gè)投影與各投影軸都傾斜。, 投影面平行線,在其平行的投影面上的投影反映線段實(shí)長及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個(gè)投影平行于相應(yīng)的投影軸。, 投影面垂直線,在其垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。另兩個(gè)投影反映實(shí)長且垂直于相應(yīng)的投影軸。,三、直線上的點(diǎn), 點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。, 點(diǎn)分線段成定比，點(diǎn)的投影必分線段的投影 成定比定比定理。,四、兩直線的相對(duì)位置, 平行, 相交, 交叉（異面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，且符合空間

11、一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。,同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律?！敖稽c(diǎn)”是兩直線上一對(duì)重影點(diǎn)的投影。,五、相互垂直的兩直線的投影特性, 兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，在該 投影面上的投影反映直角。, 兩直線中有一條平行于某一投影面時(shí)， 在該投影面上的投影反映直角。, 兩直線均為一般位置直線時(shí)， 在三個(gè)投影面上的投影都不 反映直角。,直角定理,作業(yè),工程制圖： P6(全作)、P7 (全作)、P8 (全作) 機(jī)械制圖： P24 (全作)、P25 (全作)、P26 (全作)、P27 (全作),2.4 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn),直線及線外一點(diǎn),兩平行直線,兩相交

12、直線,平面圖形,二、平面的投影特性,實(shí)形性,類似性,積聚性, 平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性, 平面在三投影面體系中的投影特性,平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面,平行于某一投影面， 垂直于另兩個(gè)投影面,與三個(gè)投影面都傾斜,a,b,c,a,c,b,c,b,a, 投影面垂直面,類似性,類似性,積聚性,鉛垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。,另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。,為什么？, 投影面平行面,積聚性,積聚性,實(shí)形性,水平面,投影特性：,在它

13、所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。,另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。, 一般位置平面,三個(gè)投影都類似。,投影特性：,三、平面上的直線和點(diǎn), 平面上取任意直線,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試 在平面內(nèi)任作一條直線。,解法一,解法二,根據(jù)定理二,根據(jù)定理一,有無數(shù)解。,例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到 H面的距 離為10mm。,n,m,n,m,唯一解！, 平面上取點(diǎn),先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。,例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。,面上取點(diǎn)的方法：,首先面上取線

14、,利用平面的積聚性求解,通過在面內(nèi)作輔助線求解,k,b,例2：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形 ABCD的水平投影。,解法一,解法二,2.5 直線與平面及兩平面的相對(duì)位置,相對(duì)位置包括平行、相交和垂直。,一、平行問題,直線與平面平行,平面與平面平行, 直線與平面平行,a,c,b,m,a,b,c,m,例1：過M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。,有無數(shù)解,正平線,例2：過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面 ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解, 兩平面平行, 若一平面上的兩相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。, 若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必

15、相互平行。,二、相交問題, 直線與平面相交,直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。,要討論的問題：, 求直線與平面的交點(diǎn)。, 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可 見性。,我們只討論直線與平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m, 平面為特殊位置,例：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性。,空間及投影分析,平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。, 求交點(diǎn), 判別可見性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。,還可通過重影點(diǎn)判別可見性。,1(2),作 圖,k,m(n),b,m,n,c

16、,b,a,a,c, 直線為特殊位置,空間及投影分析,直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。, 求交點(diǎn), 判別可見性,點(diǎn)位于平面上，在前；點(diǎn)位于MN上，在后。故k 2為不可見。,1(2),作圖,用面上取點(diǎn)法, 兩平面相交,兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。,要討論的問題：, 求兩平面的交線,方法：, 確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。, 確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。,只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。, 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見性。,可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。,a,b,c,d,e,f,c,

17、f,d,b,e,a,m(n),空間及投影分析,平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影。, 求交線, 判別可見性,作 圖,從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。,能!,如何判別？,例：求兩平面的交線MN并判別可見性。,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空間及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。ab與ef的交點(diǎn)m 、 b c與f h的交點(diǎn)n即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故mn即MN的正面投影。, 求交線, 判別可見性,點(diǎn)在FH上，點(diǎn)在BC上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在下

18、，故fh可見，n2不可見。,作 圖,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N點(diǎn)的水平投影n位于def的外面，說明點(diǎn)N位于DEF所確定的平面內(nèi)，但不位于DEF這個(gè)圖形內(nèi)。 所以ABC和DEF的交線應(yīng)為MK。,互交, 小 結(jié) ,重點(diǎn)掌握：,二、如何在平面上確定直線和點(diǎn)。,三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面 內(nèi)的兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行。,四、直線與平面的交點(diǎn)及平面與平面的交線是 兩者的共有點(diǎn)或共有線。,解題思路：,空間及投影分析,目的是找出交點(diǎn)或交線的已知投影。,判別可見性,尤其是如何利用重影點(diǎn)判別。,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的 投影特性。,要 點(diǎn),一、各種位置平面的投影特性, 一般位置平面, 投影面垂直面, 投影面平行面,三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類似多邊形類似性。,在其垂直的投影面上的投影積聚成直線 積聚性。 另外兩個(gè)投影類似。,在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形 實(shí)形性。 另外兩個(gè)投影積聚為直線。,二、平面上的點(diǎn)與直線,三、平行問題, 直線與平面平行 直線平行于平面內(nèi)的一條直線。, 兩平面平行 必須是一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線對(duì)應(yīng)平行 于另一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線。,四、相交問題, 求直線與平面的交點(diǎn)的方法, 一般位置直線與